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江西省赣州市2024-2025学年高一下学期6月期末考试
数学试题
一、单选题
1．复数 的虚部为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
2．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．-2 B．4 C．1 D．-1
3．如图， 是水平放置的 的直观图， ，则原 的面积
为（ ）
A． B． C．6 D．8
4．已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， 均为锐角，且 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
7．勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，
“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽
弦图，在正方形 和 中， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 上的投影数量为
8．若实数 ，满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复平面内表示复数： 的点为 ，则下列结论中正确的为（ ）
A．若 ，则 B．若 在直线 上，则
C．若 为纯虚数，则 D．若 在第四象限，则
10．已知正方体 的棱长为定值，E，F分别为棱 ， 的中点，H是线段 上的动点，
则下列结论正确的有（ ）
A． 平面 B．四面体 的体积为定值
C． 平面 D．直线 ， ， 三线共点
11．在 中，a，b，c为内角A，B，C的对边， ， ，点P满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的面积最大值为 D．线段 的长度最大值
三、填空题
12．已知 ，则 .
13．如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高 ，在与塔底B同一水平面上选取C，D
两点，分别测得 ， ， ， ，则塔高 .（用 ， ， ，
表示）
14．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器 ，其中盛有一定体积的水，当底面
ABC水平放置时，水面高为 ，当侧面 水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几
何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题15．已知向量 ， ， .
(1)求 和 的值；
(2)求 与 的夹角的余弦值.
16．已知函数 ，若 的一个零点为0，且图象上相邻两条对
称轴的距离为 .
(1)求 的解析式，并写出 的单调递减区间；
(2)把 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到函数 的图象，求 在区间
上的值域.
17．如图1，在等腰梯形 中， ， ， ， ，把三角形 沿着
翻折，得到图2所示的四棱锥 ， ，记二面角 的平面角为 .
图1 图2
(1)证明： 平面 ；
(2)当 时，求证： 平面 ；
(3)当 时，求点 到平面 的距离.
18．如图，在平而四边形 中， ， ， ， .(1)若 ， ，求 的大小；
(2)若 ，求四边形 面积的最大值.
19．在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为 ，双曲正弦函数为
.
(1)判断函数 的奇偶性，并证明你的结论：
(2)求函数 的最小值；
(3)求证：对 ， .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D A A C A CD BD
题号 11
答案 ACD
1．B
由复数乘法、虚部的概念即可求解.
【详解】 的虚部为1.
故选：B.
2．D
由数量积为0列方程求解即可.
【详解】已知向量 ， ，若 ，则 ，解得 .
故选：D.
3．A
根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积.
【详解】由直观图可得如下平面图形，
则 ， ， ，
则原 的面积为 .
故选：A.
4．D
根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误.
【详解】若 ，则 或 ，故A不正确；
若 ，则 或 与 相交，故B不正确；若 ，则 或 与 相交，故C不正确；
若 ，则由面面垂直的判定定理可知 ，故D正确.
故选：D.
5．A
利用投影公式计算即可得出结果．
【详解】根据题意 ，
则 在 方向上的投影向量为 .
故选：A
6．A
应用两角差的余弦公式计算求解得出 ，进而应用同角三角函数关系计算求解正切.
【详解】因为 ， 均为锐角， ， ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
则
故选：A.
7．C
建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，故B错误；
对于C，因为 ，
所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，所以 在 上的投影数量为 ，而 ，
故D错误.
故选：C.
8．A
构造函数，再结合函数的导数得出函数的单调性得出选项即可.
【详解】实数 ，满足 ，所以 ，
设 ，则 ，
实数 关于原点对称， ，所以 为偶函数，
所以 ，
单调递增，
所以 .故选：A.
9．CD
根据复数的基本概念直接判断选项即可.
【详解】对于A，若 ，则 ，得 ，故A错误；
对于B，因为 在直线 上，所以 ，则 ，故B错误；
对于C，若 为纯虚数，则 ，即 ，此时虚部不为0，故C正确；
对于D，若 在第四象限，则 ，解得 ，故D正确.
故选：CD
10．BD
当点H与 重合时，可得 与平面 不平行，判断A；通过证明 平面 ，可得四面体
的体积为定值，判断B；先证 ，假设 ，可得矛盾，可判断C；延长 交
延长线与点 ，延长 交 延长线与点 ，可证 重合，判断D.
【详解】A选项：H是线段 上的动点，当点H与 重合时，
因为 平面 ，所以 与平面 不平行，A错误；
B选项：因为 则
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
H是线段 上的动点，所以H到平面 的距离为定值，又 ，所以四面体 的体积为定值，B正确；
C选项：当点H与 重合时，由 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ，
若 ，则 平面 ，而显然 与平面 不垂直，
所以 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，C错误；
D选项：延长 交 延长线与点 ，延长 交 延长线与点 ，
因为 ，且 ，
所以 ，同理 ，
所以 重合，所以直线 ， ， 三线共点，D正确.11．ACD
对于A，由题意得 ，结合余弦定理即可判断；对于B，由向量的线性运算即可判断；对于
C，由余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式即可判断；对于D，所求为三角形 外接圆的直径.
【详解】对于A，由 及正弦定理得 ，
化简可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，因为 ，故 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， 的面积为 ,
由余弦定理有 ，等号成立当且仅当 ，
所以 的面积最大值为 ，故C正确；
对于D，三角形 外接圆的直径是 ，线段 的长度最大值为三角形 外接圆的直
径，即 ，故D正确.故选：ACD.
12．
利用诱导公式化简求值.
【详解】根据题意， ，
则 .
故答案为：
13．
在三角形 中，由正弦定理求出 ，在直角三角形 中，由 可求出结果.
【详解】在三角形 中，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
在直角三角形 中， .
故答案为： .
14．
根据体积求出 可得 ，设正方形 外接圆圆心为 ，取 ，设矩
形 外接圆圆心为 ，求出 ，设外接球的球心为 ，外接球半径R，利用勾股定理可得答
案.
【详解】 ，如图，当侧面 水平放置时，水平面与 分别相交于
点 ，则平面 平面 ，
，
，
，即 ，
由 到 的距离为 ，得 到 的距离为 ，
设正方形 外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，
设矩形 外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ；
设几何体 的外接球的球心为 ，外接球半径R，
球心 的位置可能有2种情况，如图，
则 ，或 ，
由 得无解；由 得 ，故外接球表面积为 .
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）由向量模长坐标运算得 ，再利用向量数量积定义及向量数量积运算率求解即可；
（2）由向量夹角余弦值计算公式计算求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ，
；
（2）由 ，
所以 与 的夹角的余弦值为 .
16．(1) ；单调递减区间为
(2)
（1）根据所选条件求出 、 ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先根据三角函数的变换规则求出 的解析式，由 的取值范围，求出 的取值范围，结合正
弦函数的性质求得值域.
【详解】（1）因为函数 的一个零点为0，所以 ，即 ，得 ，因为 ，所以 .
因为函数 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以 .
因为 ， ，所以 ，
所以函数 的解析式为 ，
由 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递减区间为 .
（2）把 的图象向右平移 个单位得到
，
再将 向上平移 个单位得到 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
当 时，即 时， ，
当 时，即 时， ，
所以函数 在 的值域为 .
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析(3)
（1）在平面EBM中构造辅助线OM，利用相似证明 ，即可证明线面平行；
（2）首先确定二面角 的平面角 ，由 推出 ，进而利用线面垂直证明
，然后由勾股定理推出 ，即可证明线面垂直.
（3）作辅助线 与 ，证明 平面ABCE（MG即为四棱锥 的高），求出对应
线段长度，利用等体积法求点 到平面 的距离.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
由题意知 , ，易知 ，则有 .
因为 ，所以 ，
根据相似性得 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）如图，因为翻折前 ，所以翻折后 ， ，
由二面角的定义可知，二面角 的平面角 ，
当 时， ，即 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，易知 ， ， ，
满足： ，由勾股定理可知， ，
因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 .
（3）过点D作 于点H，， ， ，
作 于 ，连接 ，
因为 ， ， ,CE、ED 平面CDE，
所以 平面CDE，又MG 平面CDE，所以 MG，
因为 MG， ， 、AE、EC 平面ABCE，
所以 平面ABCE，
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 为等腰三角形，且 边上的高 ，
所以 ，
令 到平面 的距离为 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 .18．(1)
(2)
（1）先在 用余弦定理求 长度，再根据等腰三角形性质求 ，进而得 ，然后在
用正弦定理求 ，结合几何情况确定 大小.
（2）把四边形面积拆成 与 面积之和，根据 范围求面积最大值.
【详解】（1）由已知 ， ，得 ，
所以 ，得 .
在 中，因为 ， ，所以 ，
又 ，由正弦定理得 ，
得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
（2）由已知得 ，所以 ，
在 中
所以 ，
又因为 ，得 ，
所以四边形 面积
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时，即 时， .
19．(1)奇函数，证明见解析(2)
(3)证明见解析
（1）根据奇偶性定义直接判断；
（2） ，设 ，则 ，利用单调性求最值；
（3）当 时， ， ，利用 和 的奇偶性和单调性证明，当
时， ，设 ，即可得证.
【详解】（1）因 的定义域为 ，
由 可得函数 为奇函数.
（2）
，
设 ，则 ，当且仅当 时取“=”，
则 在 上单调递增，
所以 .
所以函数 的最小值为 .
（3）① 当 时， ， .
对于 ，因 ，则 为偶函数；设 ，则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 在 上单调递增.
所以当 时， .
对于 ，类似的方法可得： 为奇函数，在 上单调递增，
所以当 时， .
所以 ；
② 当 时， .
由 可得 ，
所以 ，
即 .
