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第一章 集合与常用逻辑用语
总分：120分时间：120分钟
一、单选题（总分48分，每题4分)
1．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，则M∩N=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ．故选B．
2．下列元素与集合的关系表示正确的是( )
① N*；② ∉Z；③ ∈Q；④π∈Q
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】① 不是正整数，∴ N*错误；② 是无理数，∴ 正确；
③ 是有理数，∴ 正确；④π是无理数，∴π∈Q错误；∴表示正确的为②③．
故选:B．
3．设命题 ，则 为( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题 ，则 为: ,故选C.
4．已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则∁U M=( )
A．{x|-13} D．{x|x≤-1或x≥3}
【答案】C【解析】由题意，全集 ，集合 ，所以 或 ，
故选C.
5． 是 的_________条件；（ ）
A.必要不充分 B.充要
C.充分不必要 D.既不充分也不必要
【答案】C
【解析】因为 ，但是 ，所以， 是 的充分不必要条件，
故选C。
6．设全集 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】全集 ， ， ，
.故选B.
7．下列各式中，正确的个数是:① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对①，集合与集合之间不能用 符号，故①不正确；
对②，由于集合两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；
对③，空集是任何集合的子集，故③正确；
对④，空集是不含任何元素的集合，而 是含有1个元素的集合，故④不正确；
对⑤，集合 是数集，含有2个元素，集合 是点集，只含1个元素，故⑤不正确；
对⑥，元素与集合只能用 或 符号, 故⑥不正确.8．已知集合A＝{x|y ，x∈Z}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
【答案】D
【解析】因为 且 ，所以 ，故集合 的真子集个数为： .
9．已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A．M∪N
B．∁U (M∪N)
C．(∁U M)∩N
D．∁U (M∩N)
【答案】B
【解析】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是 ，
所以图中阴影部分所表示的集合为 的 补集，
即图中阴影部分所表示的集合为 ，故选B.
10．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则M－(M－P)等于( )
A．P B．M
C．M∩P D．M∪P
【答案】C
【解析】由题意，作出Venn图，如图所示：可得M－(M－P)= M∩P，故选C.
11．已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为( )
⊆
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C【解析】根据题意，M集合一定含有元素1,2，且为集合{1,2,3,4,5}的真子集，所以集合M的个数为23－1
＝7个,故选C.
12．对于实数 ，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边。
故选B.
二、填空题（总分16分，每题4分)
13．若 ，且 ，则 的可能取值组成的集合中元素的个数为_____．
【答案】3
【解析】当 时， ；当 ；
当 ；当 ，故 的可能取值组成的集合中元素的个数
为3.
14．已知集合 ，则A中元素的个数为_____.
【答案】9
【解析】法一：将满足 的整数 全部列举出来，即
，共有9个.
法二：根据集合 的元素特征及圆的方程，在坐标系中作出图形，如图所示，
易知在圆 中有9个整点，即为集合 的元素个数.15．已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围
是_________。
【答案】 .
【解析】由题意可得： ，
据此结合题意可得： ，即 ，
即实数 的取值范围是 .
16．有下列命题：
①“若 ，则 ”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若 ，则 的解集是 ”的逆命题；
④“若 是无理数，则 是无理数”的逆否命题．
其中正确命题的序号是____________
【答案】①③④
【解析】对于①“若 ，则 ”的逆命题为“若 ，则 ”故逆命
题为真命题，则否命题也为真，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边
形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，故②错误；对于③其逆命题为：若
的解集是 ，则 ，当该不等式解集为 时，1. 时，不合题意，
2. 解得 ，故逆命题为真，即③正确；对于④，原命题为真，故逆否
命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④，故答案为①③④.
三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)
17．已知集合 ， 或 ．（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）当 时， ， ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
解得： .
18．若A＝{3,5}，B＝{x|x2＋mx＋n＝0}，A∪B＝A，A∩B＝{5}，求m，n的值．
【答案】
【解析】解：∵A∪B＝A，A∩B＝{5}，A＝{3,5}，
∴B＝{5}．
∴方程x2＋mx＋n＝0只有一个根为5，
∴
∴解得
19．已知全集 ，集合 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ;（2） 的取值范围是
【解析】（1）∵ 或 ， ，∴ .
（2） ，
①当 即 时， ；
②当 即 时，要使 ，有 ∴
又 ，∴ ，∴ 的取值范围是 .
20．已知集合 ， ．
（1）当 时，求 ， ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）当 时， ， ，
，
∴ ， }．
（2）因为 ，
所以 或
解得 或 ，
所以a的取值范围是 ．21．已知集合 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)设 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】（1）当 时， ，集合 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ， ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 ，
所以 解得： .
22．求证：方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 ．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：（1）先证充分性：
因为 ，
所以方程 的判别式 ，且两根积为 ，
所以方程 有两个同号且不相等的实根；
（2）再证必要性：
若方程 有两个同号且不相等的实根，设两根为 ，
则有 ，解得 ，
综合（1）（2）可知，方程 有两个同号且不相等的实根的充要条件是 ，命题得
证.
