第一章 集合与常用逻辑用语 复习
一、选择题
1．（2018·全国高一课时练习）设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
【答案】B
【解析】由题意，M＝{m∈Z|－3<m<2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}＝{－1,0,1,2,3}，
则M∩N＝{－1,0,1}，故选B.
2．（2018·全国高一课时练习）已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1,0,1}的集合N的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】C
【解析】
因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N
可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C
3．（2018·全国高一课时练习）已知M＝{x∈R|x≥2√2}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2){a}
⊆M；(3)a⊆M；(4){a}∩M＝π.其中正确的是( )
A．(1)(2) B．(1)(4)
C．(2)(3) D．(1)(2)(4)
【答案】A
【解析】由题意，（1）中，根据元素与集合的关系，可知是正确的；（2）中，根据集合与集合的关系，
可知是正确的； (3)是元素与集合的关系，应为a∈M，所以不正确；(4)应为{a}∩M＝{π}，所以不正确，
故选A．
4．（2018·江西高一课时练习）(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，
则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
【答案】B
【解析】
由题意A∪B={1,2,4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4}选B
5．（2018·全国高一课时练习）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( A)∪( B)
∁U ∁U
等于( )
A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}
【答案】D
【解析】由补集的定义可得： A={1,3,6}, B={1,2,6,7},
∁U ∁U
所以( A)∪( B)={1,2,3,6,7}.
∁U ∁U
本题选择D选项.
6．（2018·全国高一课时练习）已知全集U，M，N是U的非空子集，若(
∁U
M)⊇N，则必有( )
A．M⊆(
∁U
N) B．N (
∁U
M)
C．( M)＝( N) D．M＝N
∁U ∁U
【答案】A
【解析】由题意，作出Venn图，如图所示，即可得到M⊆(
∁U
N)，故选A.
7．（2018·全国高一课时练习）设U＝{不大于10的正整数}，A＝{10以内的素(质)数}，B＝
{1,3,5,7,9}，则( A)∩( B)是( )
∁U ∁U
A．{2,4,6,8,9} B．{2,4,6,8,9,10}
C．{1,2,6,8,9,10} D．{4,6,8,10}
【答案】D
【解析】由题意，集合A＝{2,3,5,7}，则 A＝{1,4,6,8,9,10}和集合 B＝{2,4,6,8,10}，
∁U ∁U
∴( A)∩( B)＝{4,6,8,10}，故选D.
∁U ∁U
8．（2018·全国高一课时练习）设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集M－P＝{x|x∈M且
x∉P}，则M－(M－P)等于( )
A．P B．M
C．M∩P D．M∪P
【答案】C
【解析】由题意，作出Venn图，如图所示：可得M－(M－P)= M∩P，故选C.9．（2017·全国高一课时练习（文））设集合 ， ，那么“ 或 ”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 或 ，即 ， ，即 ．
∴ 或 ， 或 推不出 .
10．（2017·全国高一课时练习（文））已知 ， ，且 是 的
必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】∵ ， 是 的必要不充分条件，
所以由 能推出 ，而由 推不出 ， ，
故选B．
1+x y
x= 2 , y= 2
11．（2012·河南高二课时练习）全称命题“ 2 2 ”的否定是 （ ）
⇒
x =2x−1, y =2 y
2 2
A. B.x y
x = 1 , y = 1 ⇒
C． 2 2 2 2 D.
【答案】B
【解析】本题中给出的命题是全称量词命题，它的否定是存在量词命题.
12．（2012·全国高二课时练习）三个数 不全为零的充要条件是（ ）
Ａ． 都不是零 Ｂ． 中至多一个是零
Ｃ． 中只有一个为零 Ｄ． 中至少一个不是零
【答案】Ｄ
【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。三个数 不全为零的充要条件是 中至少
一个不是零。
二、填空题
13．（2018·全国高一课时练习）设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则 (M∩N)＝
∁R
________.
【答案】{x|x<－2或x≥1}
【解析】由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则M∩N＝{x|－2≤x<1},
所以 (M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.
∁R
14．（2017·全国高一课时练习）已知集合 ， ，且 ，则实数a的
取值范围是______________________ .
【答案】
【解析】
在数轴上表示出集合 和集合 ,要使 ，只有 .
15．（2018·全国高二课时练习）关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和为2的充要条件是_____.【答案】
【解析】当m=0时，方程为-x+2=0,解得x=2；
当m≠0时，方程为一元二次方程，设x，x 是方程的解，则x+x= ，若x+x=2，解方程 ，
1 2 1 2 1 2
得m= 或1
当m= 或1时， <0,即当m= 或1时，方程无解.
故当m=0时符合题意.
16．（2017·全国高二课时练习）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
【答案】③④
【解析】对于①，因为“ ”时 成立， 时， 不一定成立，所以“
”是“ ”的的充分不必要条件，故①错，对于②， 时， ;
， 时， ，所以“ ”是“ ”的的既不充分也不必要条件，故②错，
对于③，因为“ ”时一定有“ ”成立，所以“ ”是“ ”的必要条件，③正确；对
于④“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④．
三、解答题
17．（2018·全国高一课时练习）设全集为R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<6}，求 (A∪B)，
∁R(A∩B)，( A)∩B，A∪( B)．
∁R ∁R ∁R
【答案】见解析
【解析】解：如图所示．
∴A∪B＝{x|2<x<7}，
A∩B＝{x|3≤x<6}．
∴ (A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}，
∁R
(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}．
∁R
又∵ A＝{x|x<3或x≥7}，
∁R
∴( A)∩B＝{x|2<x<3}．
∁R
又∵ B＝{x|x≤2或x≥6}，
∁R
∴A∪( B)＝{x|x≤2或x≥3}．
∁R
18．（2018·全国高一课时练习）已知A＝{a－1,2a2＋5a＋1，a2＋1}，且－2∈A，求a的值．
3
【答案】a＝－
2
【解析】由题意，因为－2∈A且a2＋1≥1，∴a2＋1≠－2.
从而有a－1＝－2或2a2＋5a＋1＝－2，
3
解得a＝－ 或a＝－1.
2
3 5
当a＝－ 时，a－1＝－ ，2a2＋5a＋1＝－2，
2 2
13
a2＋1＝ 符合题意．
4
当a＝－1时，a－1＝2a2＋5a＋1＝－2，
3
故a＝－1应舍去．所以a＝－ .
219．（2018·全国高一课时练习）设集合 ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ； （2） 或 .
【解析】（1）集合 ，
若 ，则 是方程 的实数根，
可得： ，解得 或 ；
（2）∵ ，∴ ，
当 时，方程 无实数根，
即
解得： 或 ；
当 时，方程 有实数根，
若只有一个实数根， ，
解得： ．
若只有两个实数根，x=1、x=2， ,无解.
综上可得实数 的取值范围是{a|a≤-3或a＞ }
20．（2014·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p：∃x∈R，x2+2x+5＞0．
【答案】（1）全称量词命题；￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；
（2）存在量词命题；￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．
【解析】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为
“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；
（2）由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．
21．（2012·全国高二课时练习）求方程 至少有一个负根的充要条件．
【答案】 ．
【解析】方程 至少有一个负根等价于 ，解得 。
