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晋城市 2024 年高三第一次模拟考试试题
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 在复平面内对应的点为 ，则 在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在 上的函数 满足 ， ，
，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
5．若 的展开式存在常数项，则常数项为（ ）
A． B．35 C． D．21
学科网（北京）股份有限公司6．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林
市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离
为 米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为 米
（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点 到桥面的距离）为 米，则最靠近前主塔
的吊索的长度（即图中点 到桥面的距离）为（ ）
A． 米 C． 米 B． 米 D． 米
7．定义 表示 ， ， 中的最小值．已知实数 ， ， 满足 ， ，则（
）
A． 的最大值是 B． 的最大值是
C． 的最小值是 D． 的最小值是
8．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1
积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天
打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一
天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若一个函数在区间 上的导数值恒大于0，则该函数在 上纯粹递增，若一个函数在区间 上的导数值
恒小于0，则该函数在 上纯粹递减，则（ ）
A．函数 在 上纯粹递增 B．函数 在 上纯粹递增
C．函数 在 上纯粹递减 D．函数 在 上纯粹递减
10．如图，在正四棱柱 中， ， ， ，平面 将该正四棱柱
分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为 ，下部分对应的几何体为 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 的体积为2
B． 的体积为12
C． 的外接球的表面积为
D．平面 截该正四棱柱所得截面的面积为
11．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为 的右支上一点，分别
以线段 ， 为直径作圆 ，圆 ，线段 与圆 相交于点 ，其中 为坐标原点，则（ ）
A． B．
C．点 为圆 和圆 的另一个交点 D．圆 与圆 有一条公切线的倾斜角为
12．已知函数 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．当 时，
D．当 时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若一个正 棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为 ，则 的最小值为__________，该棱
台各棱的长度之和的最小值为__________．
14．已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为__________．
学科网（北京）股份有限公司15．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌 ， ， ， ）的羽毛球，该超市品牌 ， ， ， 的羽毛球
的个数的比例为 ，品牌 ， ， ， 的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这
4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优
品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为__________（填入 ， ， ， 中的1个）．
16．若函数 在 上至少有两个极大值点和两个零点，则 的取值范围为
__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在 中， ， ， ．
（1）求 的大小；
（2）求 外接圆的半径与内切圆的半径．
18．（12分）
已知数列 的前 项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19．（12分）
某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果䉽数量，得到下
列频数分布表：
果籽数量 1 2 3 4
水果数 100 50 40 10
（1）求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．
（2已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：
果籽数量 1 2 3 4
价格/元 20 12 8 6
以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园
的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市
场售价总和为 元，求 的分布列与数学期望．
20．（12分）
学科网（北京）股份有限公司如图， 是边长为2的正六边形 所在平面外一点， 的中点 为 在平面 内的射影，
．
（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，二面角 的大小为 ，求 ．
21．（12分）
已知函数 ．
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 有两个零点 ， ，证明： ．
22．（12分）
已知椭圆 的焦点是椭圆 的顶点，椭圆 的焦点也是 的顶点．
（1）求 的方程；
（2）若 ， ， 三点均在 上，且 ，直线 ， ， 的斜率均存在，证明：直
线 过定点（用 ， 表示）．
学科网（北京）股份有限公司晋城市 2024 年高三第一次模拟考试试题
数学参考答案
1．A【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养．
因为 ，所以 ，所以 ．
2．C【解析】本题考查复数的运算与复平面，考查数学运算的核心素养．
依题意得 ，所以 ，
则 在复平面内对应的点为 ．
3．C【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
4．B【解析】本题考查抽象函数的求值，考查数学运算的核心素养．
令 ，得 ，因为 ．所以 或 ，又 ，
所以 ．
5．C【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
若 的展开式存在常数项，则 ，且常数项为 ．
6．A【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学建模与直观想象的核心素养．
以 为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为
米），依题意可得抛物线的方程为 ．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的
距离均为 米，则点 的横坐标为 ，则 ，所以点 到桥面的距离为
米．
学科网（北京）股份有限公司7．B【解析】本题考查不等式与新定义，考查逻辑推理的核心素养．
因为 ，所以在 ， ， 中，负数的个数为1或3，
又 ，所以在 ， ， 中，1个为负数，2个为正数，不妨设 ，则 ．
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，则 ，
故 的最大值是 ．
8．D【解析】本题考查等差数列的实际应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第 天所得积
分为 ．假设他连续打卡 天，第 天中断了，
则他所得积分之和为
，
解得 或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
9．BC【解析】本题考查导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
若 ，则 ，因为 ，所以A错误．
若 ，则 ，当 时， 恒成立，所以B正确．
若 ，则 ，所以C正确．
若 ，则 在 上不恒成立，所以D错误．
10．ACD【解析】本题考查正四棱柱的截面、简单几何体的体积、外接球的表面积，考查空间想象能力与数
学运算的核心素养．
设 ，连接 ， ，易证 ， ， ， 四点共面，
所以 为直三棱柱 ，其体积为 ，A正确．
学科网（北京）股份有限公司的体积为 ，B错误．
的外接球的半径 ，则 的外接球的表面积为 ，C正确．
平面 截该正四棱柱所得截面为矩形 ，其面积为 ，D正确．
11．BCD【解析】本题考查双曲线与圆的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养．
的方程可化为 ，可得 ， ， ．
由 为 的中点， 为 的中点，得 ，A错误．
由 为 的中点， 为 的中点，得 ，
则 ，B正确．
设点 为圆 和圆 的另一个交点，连接 ，由 轴，
可得 ， 为 的中位线，则直线 平分线段 ，
则点 必在 轴上，可得点 的坐标为 ，C正确．
如图，若 为圆 与圆 的一条公切线， ， 为切点，
连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ．
由 ， ，
得 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 ，由 轴，且 ，可得公切线 的倾斜角为 ，D正确．
12．AC【解析】本题考查函数的综合与常用逻辑用语，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．
因为 ，所以 等价于 ，构造函数 ，
则 ，因为 是增函数，所以 ．
因为函数 为增函数，且 ，所以 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件．
当 时， ，理由如下：
（解法一） 可变为 ，
则 ．因为 是增函数，所以 ，即 ．
（解法二）设 ，则 ， ，即 ，
代入 ，得 ，即 ．
假设 ，则等式左右异号，矛盾．所以 ，即 ．
13．6；42【解析】本题考查棱台的概念，考查空间想象能力与推理论证能力．
因为正 棱台的侧棱有 条，底面有 条棱，所以正 棱台共有 条棱，由 ，得 ，
所以 的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为 ．
14． 【解析】本题考查平面向量的夹角，考查直观想象的核心素养．
学科网（北京）股份有限公司设 ， ， ，因为 ， 均为单位向量，所以四边形 为菱形，且 平分
，所以 与 的夹角为 ，则 与 的夹角为 ．
15．D【解析】本题考查全概率公式的实际应用，考查分类讨论的数学思想与数学运算、逻辑推理的核心素
养．
因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有 ，
所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌 ．若他不买品牌 的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为
．若他不买品牌 的羽毛球，则他买到的羽
毛球为优品的概率为 ．若他不买品牌 的羽毛
球，则他买到的羽毛球为优品的概率为 ．
16． 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
令 ， ，得 的极大值点为 ， ，则存在整数 ，使得
解得 ．因为函数 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以 ．当 时， ．当 时， ．
当 时， ．又 ，
所以 的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司17．解：（1）由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ．
（2）设 外接圆的半径与内切圆的半径分别为 ， ，由正弦定理得 ，则
．
的面积 ，
由 ，得 ．
评分细则：
【1】第（1）问中，写为 ，不扣分．
【2】第（2）问中，未写由 ，直接得 ，不扣分．
18．解：（1）令 ．
当 时， ；当 时， ．
因为 ，所以 ．所以 ，得 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ．
评分细则：
第（2）问中，最后的结果写为 ，不扣分．
学科网（北京）股份有限公司19．解：（1）因为 ，
所以这200个果实的果籽数量的第75百分位数为 ．
这200个果实的果籽数量的平均数为 ．
（2）依题意可得果籽数量为1，2，3，4对应的概率分别为 ， ， ， ．
被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为 ．
的可能取值为40，32，28，26，
， ，
， ，
则 的分布列为
40 32 28 26
．
评分细则：
【1】第（1）问中，平均数写为 ，不扣分．
【2】第（2）问中， 的可能取值也可以按照从小到大的顺序书写（包括分布列中 的顺序），最后的期
望写为33.2，不扣分．
20．（1）证明：如图，设 ，连接 ．
因为 ，所以 ，所以 ，且 ．
学科网（北京）股份有限公司连接 交 于 ，连接 ，可得 ，
由 ，可得 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，得 ．
同理可得平面 的一个法向量为 ．
由 ，
得 ， ．
评分细则：
【1】第（1）问中，证得 后，未写 平面 ， 平面 ，直接得到 平面
，扣1分．
【2】第（2）问中，建立空间直角坐标系的方式不唯一，法向量也不唯一，阅卷时请参照考生的实际情况按
照步骤给分．
学科网（北京）股份有限公司21．（1）解： ．
令 ，易知 单调递增，且 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以 ，即 ，所以 的取值范围是 ．
（2）证明：由 的单调性可设 ．
令 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，所以 ．
所以 ，即 ，即 ．
因为当 时， 单调递减，且 ，所以 ，即 ．
评分细则：
【1】第（1）问中， 的取值范围写为 ，不扣分．
【2】第（2）问中，最后两行也可以这样写：
由 及 ，得 ，当 时， 单调递减，
所以 ，即 ．
22．（1）解：因为 ，所以 的焦点为 ， ，
因为 ，所以 的焦点为 ， ，
所以可设 的方程为 ，则 ， ，故 的方程为 ．
（2）证明：设 ， ，
直线 ． ， ．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，即 ①，
将 代入 的方程，得 ，
则 ， ， ，
， ，
将以上4个式子代入①，得 ②，
因为点 在 上，所以 ， ，
代入②得 ，
即 ，
因为 ，所以 不在直线 上，则 ，则 ，
所以直线 过定点 ．
评分细则：
【1】第（1）问中，根据题意得 ， ，所以 的方程为 ，考生若这样
写，扣1分．
【2】第（2）问中，若没有说明 ，其他步骤都正确，扣1分．
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