文档内容
2023~2024 学年第二学期高三 3 月月考试卷数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的题区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D． ，或
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是 的 边上一点，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．
4．已知函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是椭圆 的两个焦点，若 上存点 ，使 则 的离心
率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．已知各项都是正数的等比数列 的前3项和为21，且 ，数列 中， ，若
是等差数列，则 （ ）
A．153 B．91 C．33 D．－33
7．已知 是自然对数的底数， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．在棱长为4的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，则三棱锥
外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若 在区间
上恰有两个零点，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，侧面 为正三角形，
且平面 平面 ，则（ ）
A． B．在棱 上存在点 ，使得 平面C．平面 与平面 的交线平行于平面 D． 到平面 的距离为
11．已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且
，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 展开式的常数项为______．
13．已知抛物线 与圆 的公共点为 ，则 ______；若 为圆 的劣
弧 上不同于 的一个动点，过点 作垂直于 轴的直线 交抛物线 于点 不经过原点，则
周长的取值范围是______．
14．锐角 的内角 的对边为 ，若 的面积是 ，则 的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
如图，直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， 分别是棱 ， 上的点，
．
（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式
都成立，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分15分）
光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120
分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物
理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：
数学 119 145 99 9 135 120 122 85 130 120
（分） 5
物理 84 90 82 8 83 81 83 81 90 82
（分） 4
（1）试列出 列联表，并依据 的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第
优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
（2）①数学组的章老师打算从这10个同学中，按照这次测试数学的等第是否优秀，利用分层随机抽样的方
法抽取5人，再从这5人中抽取3个人，并仔细考查这3个人的答题情况．设最后抽出的3个人中数学等第优
秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
②如果本次测试理科考生的物理成绩 ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为 ，
方差为 ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀
的概率．
参考数据：取 ．
若 ，则 ，
．
．0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18．（本小题满分17分）
已知函数 是常数 ．
（1）若 ，求函数 的图象在 处的切线的方程；
（2）若 有两个零点 ，且 ，证明： ，且 ．
19．（本小题满分17分）
已知 为平面上一个动点， 到定直线 的距离与到定点 距离的比等于 ，记动点
的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 轴上是否存在定点 ，使过 点且斜率为 的直线 与曲线 相交于 （均
不同于 两点，且 分别为直线 的斜率）？若存在，求出定点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
