2001年湖南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖南

2001 年湖南高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8 页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 注意事项： 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式 1      sinacos sin sin 2 1      cosasin sin sin 2 1      cosacos cos cos 2 1      sinasin  cos cos 2 正棱台、圆台的侧面积公式 1 S  (cc)l 台侧 2 其中c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长 台体的体积公式 1 V台体 (S SS S)h 3 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1．若siniθcosθ＞0，则θ在 ( ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( ) A．(x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 B．(x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 第1页 | 共11页C．(x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 D．(x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4 3．设｛a｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) n A．1 B．2 C．4 D．6 4．若定义在区间(－1，0)的函数 f(x)log (x1)满足 f(x)0，则a的取值范围是 2a ( ) 1  1 1 A．(0， ) B．0， C．( ，＋∞) D．(0，＋∞)  2  2 2  5．极坐标方程 2sin( )的图形是 ( ) 4 6．函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是( ) A．y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) B．y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) C．y = arc cos (x－1)(0≤x≤2) D．y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2) 7． 若椭圆经过原点，且焦点为F(1，0)， F(3，0)，则其离心率为( ) 1 2 3 2 1 1 A． B． C． D． 4 3 2 4  8． 若0＜α＜β＜ ，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则( ) 4 A．a＜b B．a＞b C．ab＜1 D．ab＞2 9． 在正三棱柱ABC－ABC中，若AB  2BB ，则AB 与CB所成的角的大小为 ( ) 1 1 1 1 1 1 A．60° B．90° C．105° D．75° 10．设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题： ① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增； ② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增； ③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减； ④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) 第2页 | 共11页A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记 三种盖法屋顶面积分别为P、P、P． 1 2 3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A．P＞P＞P B．P＞P= P C．P= P＞P D．P= P= P 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 12． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们 有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通 过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开 沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A．26 B．24 C．20 D．19 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 注意事项： 1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的侧面积是 x2 y2 14．双曲线  1的两个焦点为F、F，点P在双曲线上．若PF⊥PF，则点P到x 1 2 1 2 9 16 轴的距离为 15．设｛a｝是公比为q的等比数列，S是它的前n项和．若｛S｝是等差数列，则 n n n q = 16．圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 第3页 | 共11页三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分) 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 1 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD  ． 2 (Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积； (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分) 已知复数z= i (1－i) 3． 1 (Ⅰ)求arg z及 z ； 1 1 (Ⅱ)当复数z满足 z =1，求 zz 的最大值． 1 1 19． (本小题满分12分) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛 物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O． 20． (本小题满分12分) 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n． (Ⅰ)证明niPi  miPi； m n (Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． 21． (本小题满分12分) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 1 业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ．本年度当地旅游业收 5 入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上 1 年增加 ． 4 (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a万元，旅游业总收入为b万元．写出a，b的 n n n n 表达式； (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 22． (本小题满分14分) 设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x，x∈[0， 1 2 第4页 | 共11页1 ]都有f (x＋x) = f (x) · f (x)．且f (1) = a＞0． 1 2 1 2 2 1 1 (Ⅰ)求f ( ) 及f ( )； 2 4 (Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； 1   (Ⅲ)记a= f (2n＋ )，求lim lna ． n 2n n n 参考答案： 说明： 一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细 则． 二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 第5页 | 共11页16 （13）2π （14） （15）1 （16）2n (n－1) 5 三．解答题： （17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分 12分． 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是 1 10.5 3 M   BC  AD  AB  1 ， ……2分 底面 2 2 4 ∴ 四棱锥S—ABCD的体积是 1 V  SA M 底面 3 1 3  1 3 4 1  ． ……4分 4 （Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱． ……6分 ∵ AD∥BC，BC = 2AD， ∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB， ∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线， 又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， ∴ CS⊥SE， 所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ SB  SA2  AB2  2 ，BC =1，BC⊥SB， BC 2 ∴ tan∠BSC   ． SB 2 2 即所求二面角的正切值为 ． ……12分 2 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12 分． 解：（Ⅰ）z= i (1－i) 3 = 2－2i， 1 将z化为三角形式，得 1 第6页 | 共11页 7 7 z  2 2cos isin ， 1  4 4  7 ∴ argz  ， z  2 2． ……6分 1 4 1 （Ⅱ）设z= cos α＋i sin α，则 z－z= ( cos α－2)＋(sin α＋2) i， 1 zz 2   cos2 2   sin2 2 1  94 2sin( )， ……9分 4  2 当sin( ) = 1时， zz 取得最大值94 2． 4 1 从而得到 zz 的最大值为2 2 1． ……12分 1 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能 力．满分12分． p 证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F ( ，0)，所以经过点F的直线的方程 2 可设为 p x  my ； ……4分 2 代入抛物线方程得 y2 －2pmy－p2 = 0， 若记A(x，y)，B(x，y)，则y，y是该方程的两个根，所以 1 1 2 2 1 2 yy= －p2． ……8分 1 2 p p 因为BC∥x轴，且点c在准线x= － 上，所以点c的坐标为（－ ，y），故直线CO的 2 2 2 斜率为 y 2p y k  2   1 ． p y x  1 1 2 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． ……12分 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 第7页 | 共11页连结AC，与EF相交于点N，则 EN CN BF   ， AD AC AB NF AF  ， ……6分 BC AB 根据抛物线的几何性质， AF  AD ， BF  BC ， ……8分 AD  BF AF  BC ∴ EN    NF ， AB AB 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分 12分． （Ⅰ）证明： 对于1＜i≤m有 pi = m·…·(m－i＋1)， m pi m m1 mi1 m   … ， mi m m m pi n n1 ni1 同理 n   … ， ……4分 ni n n n nk mk 由于 m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有  ， n m pi pi 所以 n  m ，即mipi  nipi ． ……6分 ni mi n m （Ⅱ）证明由二项式定理有 n  1m n  miCi ， n i0 m  1n m  niCi ， ……8分 m i0 由 (Ⅰ)知mipi ＞nipi (1＜i≤m＜n＝， n m 第8页 | 共11页pi pi 而 Ci  m ，Ci  n ， ……10分 m i! n i! 所以， miCi  niCi (1＜i≤m＜n＝． n m m m 因此，miCi  niCi ． n m i2 i2 又 m0C0  n0C0 1，mC1  nC1  mn，miCi 0  mi  n  ． n m n m n n m ∴ miCi  niCi ． n m i0 i0 即 (1＋m)n＞(1＋n)m． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用 数学知识解决实际问题的能力．满分12分． 1 解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－ ）万元，……，第n年 5 1 投入为800×（1－ ）n－1万元． 5 所以，n年内的总投入为 1 1 a= 800＋800×（1－ ）＋…＋800×（1－ ）n－1 n 5 5 n 1  800(1 )k1 5 k1 4 = 4000×[1－( )n]； ……3分 5 1 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋ ）万元，……，第 4 1 n年旅游业收入为400×（1＋ ）n－1万元． 4 所以，n年内的旅游业总收入为 1 1 b= 400＋400×（1＋ ）＋…＋400×（1＋ ）n－1 n 4 4 n 5  400( )k1 4 k1 4 = 1600×[ ( )n－1]． ……6分 5 （Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 第9页 | 共11页b－a＞0， n n 5 4 即 1600×[（ ）n －1]－4000×[1－（ ）n]＞0． 4 5 4 4 化简得 5×（ ）n＋2×（ ）n －7＞0， ……9分 5 5 4 设x （ ）n，代入上式得 5 5x2－7x＋2＞0， 解此不等式，得 2 x  ，x＞1(舍去)． 5 4 2 即 （ ）n＜ ， 5 5 由此得 n≥5． 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础 知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分． 1 （Ⅰ）解：因为对x，x∈[0， ]，都有f (x＋x) = f (x) · f (x)，所以 1 2 1 2 1 2 2 x x f(x) f ( ) · f ( )≥0，x∈[0，1]． 2 2 1 1 1 1 1 ∵ f(1) f (  ) = f ( ) · f ( ) = [f ( )]2， 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 f ( )f (  ) = f ( ) · f ( ) = [f 2 4 4 4 4 1 ( )]2． ……3分 4 f(1)  a 0， 1 1 1 1 ∴ f ( ) a2 ，f ( ) a4 ． ……6分 2 4 （Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称， 故 f (x) = f (1＋1－x)， 即f (x) = f (2－x)，x∈R． ……8分 又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R， ∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R， 将上式中－x以x代换，得 第10页 | 共11页f (x) = f (x＋2)，x∈R． 这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]． 1 1 1 1 ∵ f ( )= f (n · ) = f ( ＋（n－1）· ) 2 2n 2n 2n 1 1 = f ( ) · f (（n－1）· ) 2n 2n 1 1 1 = f ( ) · f ( ) · … ·f ( ) 2n 2n 2n 1 = [ f ( )]n， 2n 1 1 f ( ) = a2， 2 1 1 ∴ f ( ) = a2n． 2n ∵ f (x)的一个周期是2， 1 1 ∴ f (2n＋ ) = f ( )，因此a= n 2n 2n 1 a2n， ……12分 1   ∴ lim lna  lim( lna) = 0． ……14分 n n n 2n 第11页 | 共11页