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洛阳市 ——— 学年高一质量检测
2023 2024
数学试卷参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D
二、选择题
9.AB 10.BD 11.ABD 12.ABD
三、填空题
. 2 . 5 . - 9 .
13 14 15 16 20π
5 2 16
四、解答题
. 解 f x = x + π + x - π + x -
17 : ( ) cos( ) cos( ) 3sin 1
3 3
= x π - x π + x π + x π + x -
cos cos sin sin cos cos sin sin 3sin 1
3 3 3 3
= x + x - = x + π - 分
cos 3sin 1 2sin( ) 1, ……3
6
k - π x + π kx + π k Z 分
(1)∵ 2 π ≤ ≤2 , ∈ , ……4
2 6 2
k - 2π x k + π k Z
∴ 2 π ≤ ≤2 π , ∈ ,
3 3
所以函数f x 单调递增区间为 k - 2π k + π k Z . 分
( ) [2 π ,2 π ]( ∈ ) ……6
3 3
当x 时 x + π π 7π 分
(2) ∈[0,π] , ∈[ , ], ……7
6 6 6
所以当x + π = 7π 即x = 时 函数f x 取得最小值 - 分
, π , ( ) 2, ……8
6 6
当x + π = π 即x = π 时 函数f x 取得最大值 分
, , ( ) 1, ……9
6 2 3
所以f x 的值域为 - . 分
( ) [ 2,1] 10
.解 第一组的频率为 第二组的频率为 第三组的频率为
18 :(1) 0.05, 0.35, 0.30,
第四组的频率为 第五组的频率为 分
0.20, 0.10, 1
故平均数x = × + × + × + × + ×
77.5 0.05 82.5 0.35 87.5 0.3 92.5 0.2 97.5 0.1
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{#{QQABKYoAogCIAIBAAAgCQQFaCgIQkAGACYgOBAAMMAAAQQFABAA=}#}= 分
87.25, ……4
百分位数在第四组 不妨设为x
75 , ,
则 x - × = - - - 分
( 90) 0.04 0.75 0.05 0.35 0.30, ……5
解得x = + 5 =
90 91.25,
4
即第 百分位数约为 . 分
75 91.25 ……6
根据题意 第 组有 × = 人 第 组有 × = 人 分
(2) , 3 40 0.3 12 , 4 40 0.2 8 , ……7
所以第 组选 人 分别记为A B C
3 3 , , , ,
第 组选 人 分别记为a b 分
4 2 , , , ……8
样本空间Ω = AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共 种 分
∴ { , , , , , , , , , }, 10 , ……9
设事件M = 至少一人是 汉服达人
“ ‘ ’”,
则M = Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共 种 分
{ , , , , , , }, 7 , ……10
因为选中样本空间中每一个样本点的可能性都相等 所以这是一个古典 概型.
,
分
……11
P M = 7
∴ ( )
10
即至少一人是 汉服达人 的概率为7 . 分
“ ” ……12
10
. 解 若选
19 :(1) ①,
b A + C + c C - a A = 2 3b A C
∵ sin( ) sin sin sin sin ,
3
b B + c C - a A = 2 3b A C 分
∴ sin sin sin sin sin , ……2
3
由正弦定理得b2 c2 a2 2 3bc A 分
+ - = sin , ……3
3
由余弦定理得b2 c2 a2 bc A 分
+ - =2 cos , ……4
2 3bc A bc A 解得 A . 分
∴ sin =2 cos , tan = 3 ……5
3
A A π. 分
∵ 0< <π, ∴ = ……6
3
若选
∴ ②,
A A
由正弦定理得cos sin 分
C= B C, ……1
cos 2sin -sin
即 A C B A A C
sin cos =2sin cos -cos sin ,
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{#{QQABKYoAogCIAIBAAAgCQQFaCgIQkAGACYgOBAAMMAAAQQFABAA=}#}A C A C B A 分
sin cos +cos sin =2sin cos , ……3
B B A.
∴ sin =2sin cos
B B A 1. 分
∵ ∈(0,π),sin >0, ∴ cos = ……5
2
A A π. 分
∵ 0< <π, ∴ = ……6
3
若选
③,
由正弦定理得 A C A C B C 分
,sin cos + 3sin sin -sin -sin =0, ……1
即 A C A C A C C 分
sin cos + 3sin sin -sin( + )-sin =0, ……2
C C 整理得 A A 分
∵ ∈(0,π),sin >0, 3sin -cos =1, ……3
即 A π 1 分
sin( - )= , ……4
6 2
A A π π 5π
∵ ∈(0,π), - ∈(- , ),
6 6 6
A π π 即A π. 分
∴ - = , = ……6
6 6 3
A π
(2)∵ = ,
3
S 1bc A 3bc 即bc . 分
∴ = sin = =2 3, =8 ……8
2 4
又S 1b AM π 1c AM π 分
= · ·sin + · ·sin =2 3, ……9
2 6 2 6
b c . 分
∴ + =12 ……10
a2 b2 c2 bc A b c 2 bc .
∴ = + -2 cos =( + ) -3 =120
a 分
∴ =2 30, ……11
ABC的周长为 . 分
∴ △ 12+2 30 ……12
. 证明 取BE中点O 连接A O 则BE A O 分
20 (1) : , 1 , ⊥ 1 , ……1
平面图形中 连接EC 则四边形AECB为平行四边形 分
, , , ……2
Rt EDC中 EC CED °
△ , =2,∠ =60 ,
四边形AECB为菱形 且 A °. 分
∴ , ∠ =60 ……3
连接CO A O CO 又A C
, 1 = = 3, 1 = 6,
A O CO 分
∴ 1 ⊥ , ……4
又BE CO O A O 平面BCDE 分
∩ = , ∴ 1 ⊥ , ……5
A O 平面A BE
∵ 1 ⊂ 1 ,
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{#{QQABKYoAogCIAIBAAAgCQQFaCgIQkAGACYgOBAAMMAAAQQFABAA=}#}平面A BE 平面BCDE. 分
∴ 1 ⊥ ……6
解 由 A O 平面 BCDE BC 平面 BCDE 所以 A O
(2) : (1) 1 ⊥ , ⊂ , 1 ⊥
BC 分
, ……7
作OM BC于M 连接A M
⊥ , 1 ,
因为A O OM O 且 A O OM 平面 A OM 所以 BC 平面
1 ∩ = , 1 , ⊂ 1 , ⊥
A OM 分
1 , ……8
又因为A M 平面A OM 所以A M BC 分
1 ⊂ 1 , 1 ⊥ , ……9
所以 A MO为二面角A BC D的平面角. 分
∠ 1 1— — ……10
在直角 A MO中 A O OM 3 可得A M 15 分
△ 1 , 1 = 3, = , 1 = , ……11
2 2
3
A MO 2 5
∴ cos∠ 1 = = ,
15 5
2
故二面角A BC D的余弦值为 5. 分
1— — ……12
5
.解 设事件D 洛洛第一关抽中甲题 且第一关闯关成功 . 分
21 :(1) =“ , ” ……1
由题意得洛洛第一关抽到每道题目的概率均为1 分
, ……2
3
所以P D 1 2 2. 分
( )= × = ……4
3 3 9
设事件E 洛洛第一关闯关成功
(2) =“ ”,
则P E 1 2 1 1 1 1 1. 分
( )= × + × + × = ……6
3 3 3 2 3 3 2
设事件F 洛洛第二关闯关成功
=“ ”,
洛洛答题情况如下
:
甲题错乙题对 甲题错丙题对 乙题错甲题对 乙题错丙题对
, , , ,
丙题错甲题对 丙题错乙题对.
,
所以P F 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 7.
( )= × ×( × + × + × + × + × + × )=
3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 27
分
……11
设事件M 洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功 事件E与事件F互斥
=“ ”, ,
P M P E P F 41.
( )= ( )+ ( )=
54
故洛洛第一关闯关成功或第二关闯关成功的概率为41. 分
……12
54
x x
.解 f x x x
22 :(1) ( )=log2 ·log2 =(log2 -2)·(log2 -1)
4 2
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{#{QQABKYoAogCIAIBAAAgCQQFaCgIQkAGACYgOBAAMMAAAQQFABAA=}#}x 2 x 分
=(log2 ) -3log2 +2, …… 2
x .
∵ 1≤ ≤4
x 分
∴ 0≤log2 ≤2, ……3
当 x 即x 时 f 当 x 即x 时 f 分
∴ log2 =0, =1 , (1)= 2, log2 =2, =4 , (4)= 0, ……4
当x 时 f x 的最大值为 . 分
∴ =1 , ( ) 2 ……5
由f x 得 x 分
(2) ( )≤0, 1≤log2 ≤2, ……6
即 x A . 分
2≤ ≤4, ∴ =[2,4] ……7
设t x - x 则当x x t 5
=2 +2 , ∈[0,1],2 ∈[1,2], ∈[2, ],
2
g x x - x a x a - x x - x 2 a x - x t2 at
( )= 4 +4 - ·2 - ·2 +1=(2 +2 ) - (2 +2 )-1= - -1,
设h t t2 at
( )= - -1,
由题意 A 是当t 5 时 函数 h t 的值域的子集. 分
, =[2,4] ∈[2, ] , ( ) ……8
2
a
当 即a 时 函数 h t 在 5 上单调递增 则
① ≤2, ≤4 , ( ) [2, ] ,
2 2
ìh a
ïï
(2)= 3-2 ≤2,
í
ïïh 5 21 5a
î ( )= - ≥4,
2 4 2
解得a 1. 分
= ……9
2
a
当 5 即a 时 函数 h t 在 5 上单调递减 则
② ≥ , ≥5 , ( ) [2, ] ,
2 2 2
ìh a
ïï
(2)= 3-2 ≥4,
í
ïïh 5 21 5a
î ( )= - ≤2,
2 4 2
不等式组无解. 分
……10
a a a
当 5 即 a 时 函数 h t 在 上单调递减 5 上单调递
③ 2< < , 4< <5 , ( ) [2, ] ,[ , ]
2 2 2 2 2
增
,
则函数 h t 的最大值是h 与h 5 的较大者.
( ) (2) ( )
2
令h a 得a 1
(2)= 3-2 ≥4, ≤- ,
2
令h 5 21 5a 得a 1
( )= - ≥4, ≤ ,
2 4 2 2
均不合题意. 分
……11
综上所述 实数a的值为1 . 分
, ……12
2
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{#{QQABKYoAogCIAIBAAAgCQQFaCgIQkAGACYgOBAAMMAAAQQFABAA=}#}
