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第二学期期中考试卷
(高二 数学 A 卷)
满分：150分 时间：120分钟 审核人：秦美玲
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 110 B. 65 C. 55 D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列数、组合数公式求值即可.
【详解】 ．
故选：B．
2. 函数 的极值点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】极值点是导函数的变号零点
【详解】由已知，得 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 （ 舍去）．
当 时， ；当 时， ，
∴当 时， 取得极小值，故 的极小值点为 ，无极大值点，
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司3. 除以7的余数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得 ，再写出 的展开式，即可判断；
【详解】解：因为 ，其中
所以
故 除以7的余数是 ；
故选：A
4. 若函数 在 上为单调递增函数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意函数 在R上单调递增，则 在R上恒有 ，转为一元二次函数问题．
【详解】函数
则 ，
函数 在R上单调递增，则说明 在R上恒有 ；
所以有 ，即：
学科网（北京）股份有限公司解得：
故选:A．
5. 若 ，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断C、D，令 ，
，利用导数说明函数的单调性，即可判断A、B；
【详解】解：令 ， ，则 ，
故 在 上单调递减，
若 ，则 ，
即 ，所以 ，故C正确，D错误；
令 ， ，则 ，
令 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，又 ， ，
所以 ，使得 ，即当 时 ， ，当 时 ，
，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 与 大小关系无法判断，故A、B均错误；
故选：C
6. 三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同
的站法共有
A. 72种 B. 108种 C. 36种 D. 144种
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．
【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有 种方法，
再与另一个男生排列，则有 种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有 种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有 种方法，
利用分步乘法原理，共有 种.
故选：D．
【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学
生分析解决问题的能力．
7. 在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，每人都只安排一
项工作，则下列说法正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有 种
B. 若恰有一项工作无人去参加，则不同的安排方法共有 种
C. 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有44种
D. 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的
分配方法共有2024种
【答案】D
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【分析】按照分步乘法计数原理判断A，首先从3项工作中选1项无人参加，再将4人安排到两项工作，
按照分步乘法计数原理判断B，依题意人员分组只有（1、1、2）这种情况，分甲乙同组与甲乙不同组两种
情况，即可判断C，首先每个班各1个名额，剩下3个名额分3种情况讨论，即可判断D；
【
详解】解：对于A：安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有 种安排方法，故A错误；
对于B：恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有 ，再将4人安排到两项工作
有 种，故一共有 种安排方法，故B错误；
对于C：每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，若甲、乙同组，则有 种，
若甲、乙不同组，则 种分组方法，又甲乙不能去参加 项工作，则安排不含甲乙的一组参加
工作，剩下的两组安排参加 、 两项工作，则 种，
综上一共有 种安排方法，故C错误；
对于D：依题意首先每个班安排一个名额，则还剩下3个名额，①3个名额安排给3个班有 种，
②3个名额安排给2个班有 种，③3个名额安排给1个班有 种，综上一共有
种安排方法，故D正确；
故选：D
8. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据式子结构，把 变形为 ，构造函数 ，
根据 在 上单调递增，得到 ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司令 ，利用导数判断单调性，求出最小值.
【详解】因为 ，即 ，所以 ，所以 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以
，即 ，所以
令 .
则 .令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
.
即 的最小值为 .
故选：B
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分．
9. 设随机变量 的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（ ）
0 1 2 3
A. B. C. D.
【答案】BD
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据概率和为1，可求得m值，根据期望、方差公式，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】根据概率和为1，可得 ，解得 .
对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：BD
10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用 ， ， 分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌， 表
示可买到的优质品，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得 ， ， ， ，因为
，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，故正确的有ABD；
故选：ABD
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九
章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩
上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B. 在“杨辉三角”中，当 时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
C. 在“杨辉三角”中，第 行所有数字的平方和恰好是第 行的中间一项的数字
D. 记“杨辉三角”第 行的第 个数为 ，则
【答案】AC
【解析】
的
【分析】二项式 系数求得第9行第7个数，可判定A正确；结合等差数列的求和公式，可判定B错误；
结合 的展开式的系数的关系，可判定C正确；根据第 行的第 个数为 ，
结合 ，可判定D错误.
【详解】对于A中，在杨辉三角中，第9行第7个数是 ，所以A正确.
学科网（北京）股份有限公司对于B中，当 时， ，所以B错误.
对于C中，用数学符号语言可表示为： ，
证明如下：
对应相乘，恰好得到 这一项的系数为
而 是二项式 的展开式中第 项的二项式系数（即 的系数）
故 ，所以C正确.
对于D中，第 行的第 个数为 ，所以
即 ，所以D错误.
故选：AC.
12. 设函数 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 不等式 的解集为 ；
B. 函数 在单调递增，在 单调递减；
C. 当 时，总有 恒成立；
D. 若函数 有两个极值点，则实数
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，解不等式即可；B选项，求导，利用导函数研究其单调性；C选项，构造函数，二次求
学科网（北京）股份有限公司导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D选项，转化为 在 有两个根，求导后结合
单调性，极值等求出 的取值范围.
【详解】由题意得 ，则
对于A：由 ，可得 ，解得 ，所以解集为 ，故A正确；
对于B： ，令 ，解得x=1，
所以当 时， ，函数 为增函数，
当 时， ，函数 为减函数，故B错误；
对于C：当 时，若 ，则 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
，
当 时， ，函数 为增函数，
又 ，所以 在 是恒成立，
学科网（北京）股份有限公司所以 为减函数，
又 ，所以 在 是恒成立，
所以当 时，总有 恒成立，故C正确；
对于D：若函数 有两个极值点，
则 有两个根，即 在 有两个根，
令 ，则 ，
所以当 时， ，函数 为增函数，
当 时， ，函数 为减函数，
又当 时， ，当 时， ， ，
所以 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转
化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设随机变量 的方差 ，则 的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】利用方差的运算性质 即可求解
【详解】 .
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
14. 已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人
数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】以事件 表示“选出的是男性”，则事件 表示“选出的是女性”，以事件 表示“选出的人是色盲
患者”.由已知得 ， ， .根据贝叶斯公式可求得答案.
【详解】解：以事件 表示“选出的是男性”，则事件 表示“选出的是女性”，以事件 表示“选出的人是
色盲患者”.
由题意，知 ， ， .
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为
.
故答案为： .
15. 用数字0、1、2、3、4、5可以组成________个无重复数字且十位数字为奇数的五位数偶数（用数字作
答）.
【答案】180
【解析】
【分析】根据万位为奇数和偶数分类，特殊位置优先考虑分步进行即可.
【详解】当万位为奇数时，第一步，万位有3种排法，
第二步，十位有2种排法，
第三步，个位有3种排法，
第四步，从剩下的3个数字中任选2个数字排在千位和百位有 种排法，
学科网（北京）股份有限公司所以，当万位为奇数时共有 个数字.
当万位为偶数时，第一步，万位有2种排法，
第二步，十位有3种排法，
第三步，个位有2种排法，
第四步，从剩下的3个数字中任选2个数字排在千位和百位有 种排法，
所以，当万位为奇数时共有 个数字.
综上，用数字0、1、2、3、4、5可以组成 个无重复数字且十位数字为奇数的五位数偶数.
故答案为：180
16. 当 时， 恒成立，则 的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】先分离参数，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，分 两种情况讨论，再用极限
思想结合洛必达法则求出答案即可，注意最后取交集.
【详解】解：当 时， 恒成立，则 ，
当 ，即 时， ，对任意a都成立，
当 ，即 时，则 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 恒成立，
在 上单调递增，
，
，
在 上单调递增，
，
根据洛必达法则可得
，
，
综上所述 的取值范围为 ， .
故答案为： ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解客应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 一组学生共有 人.
（1）如果从中选出 人参加一项活动，共有多少种选法？
（2）如果从中选出男生 人，女生 人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加
的选法有 种，问该组学生中男、女生各有多少人？
【答案】（1）35；（2）男生3人，女生4人或男生4人，女生3人
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用从 名学生中选出 人的组合数公式，即可求解；
（2）设有男生 人，女生则有 人，分别求得从 人中选出 名男生 女生方法和每人参加一项且每
项活动都有人参加的种数，结合分步乘法计数原理，列出方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，所有的不同选法种数，就是从 名学生中选出 人的组合数，
学科网（北京）股份有限公司所以选法种数为 中不同的选法.
（2）设有男生 人，女生则有 人，
从这 人中选出 名男生 女生方法有 种，
要求每人参加一项且每项活动都有人参加 种，
根据分步乘法计数原理得 ，
所以 且 ，解得 或 ，
所以该组学生中男生3人，女生4人或男生4人，女生3人.
18. 设函数 在点 处的切线方程为 .
（1）求 的解析式；
（2）求曲线 在点 处的切线与直线 和直线 所围三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得导函数，然后根据已知切线方程，结合导数的几何意义得到 ，
，得到关于 的方程组，求解即得；
（2）根据(1)的结论，利用导数的几何意义得到曲线 在点 处的切线方程，进而求得三
角形的面积.
【小问1详解】
解： ,
学科网（北京）股份有限公司函数 在点 处的切线方程为 ，
则 ， ，
即 ，解得 ，
则该函数的解析式为 .
【小问2详解】
解：由（1）得 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
从而曲线 在点 处的切线与直线 和直线 所围三角形的面积
.
19. 已知 的展开式中，所有二项式系数之和为64．
（1）求n的值以及二项式系数最大的项；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）365
【解析】
【分析】(1)根据二项式系数之和为 列出关于n的方程，解方程得出n的值，结合展开式的通项公式即可
得出结果；
(2)根据赋值法，令 、 ，代入等式得到 、 ，
两式相加再除以2即可.
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
二项式系数之和为 ，
故当 时，二项式系数 最大，
此时所求项为 ；
【小问2详解】
令 得：
令 得：
两式联立得：
20. 已知函数 .
（1）若 在 处取得极值，求 在区间 上的值域；
（2）若函数 有1个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数判断 在区间 上的单调性，然后由单调性可得值域；
（2）当 时，将问题转化为两个函数的交点问题可得；当 时，直接判断可知；当 时，利用
导数求极值，通过极值结合问题分析可解.
【小问1详解】
因为 在 处取得极值
所以 ，得
学科网（北京）股份有限公司则 时， ， 在区间 上单调递增，
所以
所以 在区间 上的值域为
【小问2详解】
的定义域为
函数 有一个零点 有一个实数根 与 有一个交点.
当 时，由图可知满足题意；
当 时， 在 上无零点；
当 时，令 ，得
令 ，得
所以，当 时， 有最大值
因为函数 有一个零点，
所以 ，解得
综上，a的取值范围为 .
的
21. 某公司全年圆满完成预定 生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联
学科网（北京）股份有限公司欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的
箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
（1）若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖
励额与获得120元奖励额的概率的大小；
（2）公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面
值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可
能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】（1）员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等
（2）应选择第二种方案；理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案 、 ，分别求出对应的分布列，进而求出对应
的数学期望和方差，从而得出结论.
【小问1详解】
用X表示员工所获得的奖励额．
因为 ， ，
所以 ，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
【小问2详解】
第一种方案为 ，
设员工所获得的奖励额为 ，则 的分布列为
40 120 200
P
所以 的数学期望为 ，
学科网（北京）股份有限公司的方差为 ；
第二种方案为 ，
设员工所获得的奖励额为 ，则 的分布列为
80 120 160
P
所以 的数学期望为 ，
的方差为 ，
又因为 （元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
22. 设函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 有两个零点 ，
①求a的取值范围；
②证明： .
【答案】（1）当 时， 在 为增函数，
当 时， 在 上是减函数，在 上为增函数；
（2） ；详见证明过程．
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【
分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用（1）中的结论求出 的范围，根据 ，构造函数 ，利用
导数研究函数 的单调性，得到 ，即可证明 ，令 ， ，得到
，得到 ，可知 ，最后根据函数的单调性证明结论成立
即可．
【小问1详解】
的定义域为 ，且 ，
当 时， 成立，所以 在 为增函数，
当 时，
①当 时， ，所以 在 上为增函数，
②当 时， ，所以 在 上为减函数；
综上：当 时， 在 为增函数，
当 时， 在 上是减函数，在 上为增函数，
【小问2详解】
结合（1） ，当 时， 取得极小值 ，
又∵函数 有两个零点，∴ ，可得 ，
综上所述， ；
下面证明结论 成立：
学科网（北京）股份有限公司不妨设 ，
设 ， ，
可得 ， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ， ， ，
∴当 时， ，
又∵ ， ，∴ ，
又∵当 时， 单调递增，
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ，两式相比得 ，
即 ，∴ ，
又∵ ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 在 内单调递减，即 ，即 ，
故 ，故 在 上单调递减，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ；
综上所述， ．
学科网（北京）股份有限公司
