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2024 届高三下学期开学摸底考
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B D D D C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC 10．BD 11．ACD 12．AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 2 15．829 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【详解】（1）因为 ，所以 即 ．
在 中，由正弦定理得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ②．
因为 ，所以 ①．
将①代入②得 ，所以 ..........................5分
（2）结合（1）问：在 中，由余弦定理得 ，
．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．在 中，由正弦定理得 ，解得： ，
所以 ，
的面积 .
..........................10分
18．（12分）
【详解】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 ..........................6分
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .
设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .故 ，即 . .........................12分
19．（12分）
【详解】（1）一方面：因为 为正三角形且 为 的中点，所以 （三线合一），
又因为平面 平面 且平面 平面 ，并注意到 平面 ，
所以由面面垂直的性质可知 平面 ，
又因为 平面 ，
所以由线面垂直的性质可知 ；
另一方面：由题意不妨设 ，则 ，
因为 为正三角形且 为 的中点，所以 ， ，
所以 ，且 ，注意到 与 均为
锐角，
所以 ，不妨设 ，
因为 ，
所以 ，即 .
综合以上两方面有 且 ，
注意到 ， 平面 ， 平面 ，
所有由线面垂直的判定有 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .. .........................6分
（2）由（1）可知 平面 ，则点 到平面 的距离即为 的长度，
一方面梯形 的面积为 ， ，
所以有四棱锥 的体积为 ，
另一方面由题可知四棱锥 的体积为 ，结合以上两方面有 ，解得 ，
因为 ，所以 ，由（1）可知 ，
所以 ，所以 ，
所以 . . .........................12分
20．（12分）
【详解】（1） 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，
记事件 “ 被分至甲队”， 事件 “ 被分至甲队”， 事件 “ 被分至甲队”，
当 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为 ；
当 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为
；
当 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则 被分至甲队即 摸出红球的概率为
；
所以 ，则 ，
同理知：新增登山爱好者 均被分至乙队的概率也为 ，
所以 三人均被分至同一队的概率为 .. . .........................6分
（2）由题设， 可能取值为 ，
为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则 ，
为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，
设新增的第 名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则
， ，
， ，
所以 ，
为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则，
所以 .. . .........................12分
21．（12分）
【详解】（1）双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，依题意， ，
所以 的标准方程为 ... . ........................4分
（2）由（1）知， ，设 ，
显然直线 不垂直于 轴，否则由双曲线的对称性，点 在 轴上，不符合题意；
设直线 ，
由 消去 得 ，
有 ，
则 ，于是 ，.. . ........................6分
由 三点共线得直线 的斜率满足 ，同理，由 三点共线得
，
消去 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，
则 ，因此 或 ，若 ，又 ，得 ，
结合 ，从而 ，即 ，不成立，
即 ，因此 ，满足 ，.. . .........................10分
则直线 恒过点 ，点 在以 为直径的圆 上，
当 与 重合时， 最大，此时 轴， ，
所以当 最大时，点 的纵坐标为 ... . .........................12分
22．（12分）
【详解】（1）由 ， ，
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 （舍）；
综上， 的所有可能值为 .... . .........................3分
（2）由（1）知： ，则 ，
数列 中的项存在最大值，故存在 使 ， ，
由 ，
所以 ，故存在 使 ，
所以0为数列 中的项；... . ........................7分（3）不存在，理由如下：由 ，则 ，
设 ，
若 ，则 ， ，
对任意 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
当 时，
；
若 ，则 为有限集，
设 ， ，
对任意 ，取 （ 表示不超过 的最大整数），
当 时，
；
综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 .... . .........................12分
