文档内容
成都石室中学2024-2025学年度上期高2026届十月考试
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足： ，则复数 的共轭复数 的虚部为（ ）
A. B. -2 C. 2 D.
2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染 病毒的概率均为 ，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染
的概率：先由计算机产生出 之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，
5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.6 D.
0.75
3. 如图，在圆锥 中，轴截面 的顶角 ，设 是母线 的中点，
在底面圆周上，且 ，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知三棱柱 中，侧面 底面 ，则“ ”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等
高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成 5根屋脊，故又称“四阿
殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面 是矩形，且四个
侧面与底面的夹角均相等，则（ ）
A. B. C. D.
6. 两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 和点 ，使 ，且 .
已知 ，则线段 的长为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 正四面体的棱长为 ， 是它内切球的直径， 为正四面体表面上的动点， 的最大值为（
）
A. B. C. D.二、选择题：本大题共 3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表
示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件
“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件
10. 如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 上任意一点， 为
上任意两点，且 的长为定值，则（ ）
A.点 到平面 的距离为定值 B.三棱锥 的体积为定值
C.直线 与平面 所成的角为定值 D.二面角 的大小为定
11. 已知函数 的定义域为 ，且
为偶函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12. 已知正方体 的棱长为1，则点 到直线 的距离为_________．
13. 把正方形 沿对角线 折成 的二面角， 分别是 的中点， 是原正方形
的中心，则 的余弦值为_________．
14. 已知函数 ．直线 与曲线
的两个交点 如图所示，若 ，且 在区间
上单调递减，则 _______； _______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在 中， ，将 绕着 旋转到 的位置，如图所示．
（1）求直线 与直线 所成角的大小；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
16.（本小题满分15分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取
100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 、第2组
、第3组 、第4组 、第5组 .
（1）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年
龄在 的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分
配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这
6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽
取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17.（本小题满分15分）
在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 边上的一点， ，且______，求 的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
① 是 的平分线；② 为线段 的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
18.（本小题满分17分）
如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点，点
在 上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点 唯一确
定，并解答问题．条件①： ；条件②： ；条件③： 平面 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）求直线 与平面 所成角的大小；
（3）求点 到平面 的距离．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
19. （本小题满分17分）
如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在 上，
， .
（1）证明： ；
（2）设直线 与平面 的距离为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.成都石室中学2024-2025学年度上期高2026届10月月考
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 满足： ，则复数 的共轭复数 的虚部为（ ）
A. B. -2 C. 2 D.
【答案】C
2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染 病毒的概率均为 ，现采用随机模拟方法估计三
只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出 之间整数值的随机数，指定1，2，3，4
表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.75
【答案】A
3. 如图，在圆锥 中，轴截面 的顶角 ，设 是母线 的中点，
在底面圆周上，且 ，则异面直线 与 所成角的大小为（ C ）
A. B. C. D.
4. 已知三棱柱 中，侧面 底面 ，则“ ”是“
”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等
高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成 5根屋脊，故又称“四阿
殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面 是矩形，且四个侧
面与底面的夹角均相等，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
6. 两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 和点 ，使
，且 .已知 ，则线段 的长为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或【答案】B
7. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
8. 正四面体的棱长为 ， 是它内切球的直径， 为正四面体表面上的动点，
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
二、选择题：本大题共 3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次
取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球
的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取
出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件
【答案】ACD
10. 如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 上任
意一点， 为 上任意两点，且 的长为定值，则（ ABD ）A.点 到平面 的距离为定值 B.三棱锥 的体积为定值
C.直线 与平面 所成的角为定值 D.二面角 的大小为定值
11. 已知函数 的定义域为 ，且
为偶函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】CD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横
线上.
12. 已知正方体 的棱长为1，则点 到直线 的距离为_________．
【答案】
13. 把正方形 沿对角线 折成 的二面角， 分别是 的中点，
是原正方形 的中心，则 的余弦值为_________．
【答案】14. 已知函数 ．直线 与曲线 的两
个交点 如图所示，若 ，且 在区间 上单调递减，则
_______； _______．
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本大题共 5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.（本小题满分13分）
在 中， ，将 绕着 旋转到 的位置，如图所
示．
（1）求直线 与直线 所成角的大小；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
【解析】
（1）取 的中点 ，连接 ，
由题意可知 ，所以 ；
因为 平面 ，所以 平面 ；为
因 平面 ，所以 ，直线 与直线 所成角为 .
（2）由题意可知三棱锥 的体积最大时，平面 平面 ；
在平面 内作出 ，且与 的延长线交于点 ，连接 ；
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ；根据旋转图形的特点可知， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ；
；
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 ；
易知平面 的一个法向量为 ,
设平面 和平面 的夹角为 ，则 .
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名
志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间
是：第1组 、第2组 、第3组 、第4组 、第5组 .
（1）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取
6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者
担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由直方图知： ，可得 ，
∴500名志愿者中年龄在 的人数为 人. ………2分
（2）因为 ，
，
所以第 百分位数在 区间内，若该数为 ，
∴ ，解得 .………6分
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为 ，知6名志愿者有2名来自
，3名来自 ，1名来自 ， ………8分
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为 ，
则抽取两人的基本事件有 ，
，共15个，………12分
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率 .………13分
17.（本小题满分15分）
在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 边上的一点， ，且______，求 的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
① 是 的平分线；② 为线段 的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【解析】
（1）由正弦定理知， ，∵ ，
代入上式得 ，………3分
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ．………5分
（2）若选①：由 平分 得， ，
∴ ，即 ．………8分
在 中，由余弦定理得 ，
又 ，∴ ，………10分
联立 得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ．………15分
若选②：因为 ，
所以 ，
即 ，得 ，………10分在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
联立 ，可得 ，
∴ ．………15分
18.（本小题满分17分）
如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点，点 在 上．再从下
列三个条件中选择一个作为已知，使点 唯一确定，并解答问题．
条件①： ；条件②： ；条件③： 平面 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）求直线 与平面 所成角的大小；
（3）求点 到平面 的距离．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【解析】
（1）证明：选条件①：由 ，
根据正方体 的对称性，此时点 为 上的任意一点，所以不成立；
选条件②： ．连接 ，在正方体 中，由 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 为 的中点， 所以 为 的中点．………6分
选择条件 ③： 平面 ．
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，
且平面 平面 ，所以所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点． ………6分
（2）在正方体 中， 两两互相垂直，建立空间直角坐标
系，
如图所示，则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ．于是 ，………13分设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 ，………15分
（3）点 到平面 的距离为 .………17分
19. （本小题满分17分）
如图，三棱柱 中，点 在平面 内的射影 在 上，
C B
1 1
， .
（1）证明： ； A
1
（2）设直线 与平面 的距离为 ，求平面 与平面
的夹角的余弦值.
C B
D
解法一：（1） 平面 ， 平面 ，故平面 平面 A C 1 B 1
．又 ， 平面 ．连结 ，又 平面 ，
A
1
∵侧面 为菱形， ， ， 平面 ，又 平面 E
，
；………6分 C B
D
（2） 平面 平面 ，故平面 平面 ．作
F
为垂足，则 平面 ．………9分 A z C 1 B 1
又直线 ∥平面 ，因而 为直线 与平面 的距离，
A
．∵ 为 的角平分线，故 ………12分． 1
作 为垂足，连结 ， ，故 为二面角
的平面角．………15分
C B y
由 得 为 的中点， ， D
A
x，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值为 .………17分
解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，以 长为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系 ．由题设知 与 轴平行， 轴在平面 内．
（ 1 ） 设 ， 由 题 设 有 则
由 得 ， 即 （ ① ） ． 于 是
．………6分
（2）设平面 的法向量 则 即 ．
故 ，且 ．令 ，则
，点 到平面 的距离为
．又依题设，点 到平面 的距离为
．代入①解得 （舍去）或 ．于是 ．………10分
设平面 的法向量 ，则 ，即
，故且 ．令 ，则
．………15分
又 为平面 的法向量，故 ，∴平面 与平面
的夹角的余弦值为 .………17分
