文档内容
2025 年普通高校招生考试冲刺压轴卷（一）
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次不等式和指数函数性质求出集合 ，再利用交集和补集的定义求解即可.
【详解】由题意得A={x|x(x+1)>0}=(−∞,−1)∪(0,+∞)，由指数函数性质可得 ，
则 ，
故选：C.
2. 样本数据6，8，11，23，27，29，43，52，69，81的第40百分位数为（ ）
A. 23 B. 25 C. 27 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数可得答案.【详解】样本数据从小到大排序，共10个数，因为 所以第40百分位数为第4个数据和第 个
数据的平均数，即第40百分位数为 .
故选：B
3. 已知 ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，得到 且 ， 是非零向量，求得 ，得出
，即可得到答案.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
所以 且 ， 是非零向量，
又由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 与 同向.
故“ ”是“ ”的既不必要也不充分条件.
.
故选：D
4. 若关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由基本不等式，得到 ，转化为 恒成立，结合一元二次不等式的解法
即可得到答案.
【详解】由基本不等式，可得 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
因为不等式 恒成立，即 恒成立，
又由不等式 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
5. 甲、乙两位同学进行投篮比赛，其中甲每次投进的概率为 ，乙每次投进的概率为 ，两人各投三次，
一共投中四次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设甲投三次，投中的次数为 ，乙投三次，投中的次数为 ，易知 服从二项分布，再利用
二项分布的概率公式、相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解.
【详解】设甲投三次，投中的次数为 ，则 ，设乙投三次，投中的次数为 ，则
，
则 ，
又 ， ，，
所以一共投中四次的概率为 ，
故选：C.
6. 等比数列 中的 ， 是函数 的极值点， ，则 （
）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据函数 极值的情况确定 的值，再根据等比数列的性质进行计算即可.
【详解】由 求导得 .
由 或 ；
由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
所以函数 的极大值点为 ，极小值点为 .
由题意可知 ，所以 .
故选：A
7. 已知过双曲线 （ ， ）的左焦点 的直线交双曲线的右支于点 ，右焦点为 ，
若 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D. 4【答案】C
【解析】
【分析】先根据双曲线性质得出 ，再由双曲线定义求出 ．接着在
里用余弦定理，得到关于 的方程 ．求解该方程得到 的值，因为双曲线离心
率 且 ，所以舍去不符合条件的值，最终得出离心率为 ．
【详解】设焦距为 ，易知 ，利用双曲线定义可知 ，
在 中利用余弦定理， ，
即 ，解出 或者 （舍去）.因此双曲线的离心率为3.
故选：C.
8. 方程 的所有正根的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由二倍角的余弦公式对方程化简，再分 时和 时，结合正弦函数的取值和数
的整除与奇数偶数的性质讨论求解.【详解】对原式化简有 ，因此有 或 ，
当 时，设 ， ，因此 ，
设 ， ，则 ，
由于 ，且 是奇数，因此 只能为1或11（舍去）或23（舍去）或253，
为
则 ， 或者 ， ，解 或 ，
当 时，设 ， ，因此 ，
设 ， ，则 ，
由于 ， 都是奇数，4048为偶数，此方程组无整数解，
.
综上所述，仅有根 或
所以方程 的所有正根的和为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部为 B. 的模为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件，利用向量的运算得到 ，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，对于选项A，因为 ，其虚部为 ，故选项A正确，
对于选项B，由 ，得到 ，所以选项B正确，
对于选项C，因为 ，所以选项C错误，
对于选项D，因为 在复平面内对应的点为 ，位于第四象取限，所以选项D正确，
故选：ABD.
10. 已知函数 满足 ，且对任意的 ， ， 都成立，
则（ ）
A. 是偶函数 B. 函数 的图象关于点 中心对称
C. 是函数 的一个周期 D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐项判断即可.
【详解】令 ，则 ，解出 ，故A正确；
令 ，则 ，
故函数 的图象关于点 中心对称，故B正确；
因为 所以令 可得 ，
即 ，
又因为 是偶函数所以 ，即 ，
整理可得： ，令 ，可得 ，即 ，
整理得 ，所以 是函数 的一个周期，故C正确；
因为 所以令 可得 ，
又因为 是偶函数且周期为 ，所以 ，
因为 ，
当 为奇数，根据周期性可知 ，
当 为偶数，根据周期性可知 ，故 ，故D错误.
故选:ABC
11. 已知数列 ， 满足 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. 是递增数列 D. 的前 项和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据递推公式判断A、B，由 、 的值判断C，首先证明 的单调性，即可得到 ，
再由放缩法证明即可判断D.
【详解】对于A：因为 ，因此 ，即 ，则 ，又 ，则 ，即 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，要证 ，可证 ，以此类推，
即证 ，显然成立，因此 ，即 ，故B正确；
对于C：由于 ， ，所以 不是递增数列，故C错误；
对于D：由于 ，又 ，因此 是递增数列，所以 ，
所以
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 的展开式中，常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】二项式 展开式的通项为 （ 且
），
令 ，则 ，常数项为 .
故答案为：
13. 如图，已知圆台 中， 为等边三角形，三角形边长为2，且 ，则圆台的体积为______，圆台的表面积为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用 为等边三角形求出圆台的高，利用圆台的体积公式求解出圆台的体积和表面积即可.
【详解】因为 为等边三角形，边长为2，且 ，
所以 ，圆台的高 ，
因此圆台的体积为 ，
表面积 .
故答案为：
14. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点的直线 的斜率存在，且与抛物线交于 两点，
以 为圆心， 为半径的圆与抛物线的准线有公共点，则直线 的斜率的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设直线 为 ，其中 ，联立方程组，求得 ，根据题意，得到
，结合抛物线的焦点弦的性质，得到 ，进而求得 的范围.【详解】由抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设直线 为 ，其中 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
因为以 为圆心， 为半径的圆与抛物线的准线有公共点，可得 ，
又由抛物线焦点弦的性质，可得 ，解出 ，
所以 或 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，.
（1）求 ；
（2）若 的周长为 ， 是 内一点，且 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得 ，进而得到，即 ，得到 ，结合 即可求解；
（2）由（1）和 的周长为 ，求得 ，利用余弦定理，化简得到
，结合基本不等式，求得 ，利用三角形的面积公
式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，则 ，所以 ，
因为 且 ，所以 .
【小问2详解】
解：由（1）知 ，可得 ，
因为 的周长为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
可得 ，
又由基本不等式可知 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，解得 ，
所以 面积最大值为 .16. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 的斜率为 ，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线 与椭圆交于 两点，求线段 的
长度的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 且 ，求得 的值，即可得到椭圆 的方程；
（2）设直线 ： ，且 ，联立方程，设 ， ，由韦达定理结合
椭圆弦长公式得到 ，进而求得 的取值范围.
【小问1详解】
因为 的离心率为 ，且焦距为 ，
可得 且 ，解得 ， ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
直线 的斜率为 ，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，设直线 ： ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
因此
，
由 ，可得 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，四边形 是正方形，
.（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理得 平面 ，再利用线面垂直的判定定理证明
平面 ，最后利用面面垂直的判定定理即可；
（2）以 为原点建系，计算平面 的法向量 ，得到 的值，再利用线面角与其之间的关
系即可.
【小问1详解】
因为平面 平面 ， ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 是正方形，所以 ，
又因 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问2详解】
由（1），因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 是正方形，所以 ，又 ，
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系，
因此 ， ， ， ，
则 ， ， ，设平面 的一个法向量 ，
则 ，
不妨令 ，则 ，
因此 ，
则 与平面 所成角的正弦值为 ，
又因线面夹角的取值范围为 ，则 与平面 所成角的大小为 .
18. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明： ；
（3）若 ，设 ，当 时， 恒成立，求 的最大值.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】【分析】（1）求导，求出导函数的零点，分情况 三种情况讨论得到函数的单调
性即可
（ 2 ） 结 合 第 一 小 问 中 的 极 值 点 ， 得 到 ， ， 接 着 利 用
将要证的不等式转化
为证明 从而构造新的函数 求导证明即可.
（3）分离参数，构造函数，对构造的函数 进行求二次导进而求得此函数的最小值
从而证明出结果.
【小问1详解】
由题意 ，故 ，
当 时， ，此时函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，
此时函数 在 和 上 故 单调递增，
在 上 故 单调递减；
当 时，此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
【
小问2详解】由（1）可知，当函数 有两个极值点 ， 时， ，
且 ， ，
因此 ，
因此要证 ，即证 ，
设 ， ，则 ，
因为 ，于是 在 上恒成立，
则 在 上单调递减，因此 ，
不等式 得证.
【小问3详解】
由题意不等式可化简为 ，即求 ，
设 ， ，则 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
令
于是 ， ，
由 可知 在 内恒成立，于是 单调递减，因此 ，于是 在 内单调递减，则 ，
即 在 内恒成立，因此 在 内单调递减， ，
于是 的最大值为 .
19. 在足球运动中，围圈传球是一个经典热身活动. ， ， ， 四个球员围成如图一个矩形，已知每个
人传球给相邻球员的概率为 ，每个人传球给不相邻球员的概率为 .例如： 传球给 ， 的概率为 ，
传球给 的概率为 .热身由 开始传球，记 次传球后，球在 ， ， ， 脚下的概率分别为 ，
， ， .
（1）求出 ， ；
（2）证明： ， 是等比数列；
（3）试求出 的通项公式.
【答案】（1） ，
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先得到 （ ）， （ ）， （ ）， （ ）之间的关系，即可得证；
（3）由（2）中关系推导出 ，即可得到 ，从而得到
，再由累加法计算可得.
【小问1详解】
由题意可知 ，
；
【小问2详解】
由题意可知有如下的等式 ， ，
， ， ，
因此 ，注意到 ，所以 ，即 ；
又 ，
又 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列；
【小问3详解】
由（2）可知 ，且有 ， ， ，
联立后可得 ， ， ，
消去 ，有 ，
故有 ，又 ，
所以 ， ，
则 ， ， ， ，
则 ，
又 ，所以 .
