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渝北中学2023-2024学年高三11月月考质量监测
数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D A B A C
8.解：依题意，由a，b是函数f(x)=x2-mx+n(m>0,n>0)的两个不同的零点，
可知a，b是一元二次方程x2-mx+n=0的两个不同的根，
由根据根与系数的关系，可得a+b=m，ab=n，
∵m>0，n>0，∴a>0，b>0，
∵a，b，-1这三个数可适当排序后成等比数列，∴只有a，-1，b或b，-1，a满足题意，
1
∴ab=(-1) 2=1，即n=1，此时b= ，
a
∵a，b，-1这三个数可适当排序后成等差数列，∴只有-1，a，b或-1，b，a满足题意，
1 1
即-1，a， 成等差数列或-1， ，a成等差数列，
a a
1
①当-1，a， 成等差数列时，
a
1
根据等差中项的性质有2a= -1，化简整理，得2a2+a-1=0，
a
1 1 1 5
解得a=-1(舍去)，或a= ，此时b= =2，m=a+b= +2= ，
2 a 2 2
1
②当-1， ，a成等差数列，
a
2
根据等差中项的性质有 =a-1，化简整理，得a2-a-2=0，
a
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解得a=-1(舍去)，或a=2，此时b= = ，m=a+b=2+ = ，
a 2 2 2
5
5 x-m x- 5
综合①②，可得m= ，∴不等式 ≥0即为 2 ，解得x<1，或x≥ ，
2 x-n ≥0 2
x-1
x-m 5
故不等式 ≥0的解集为{x|x<1或x≥ }.
x-n 2
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 ACD AD BCD AC
12．解：函数 的最小正周期为 ，
在图2中，以点 为坐标原点， 、 的方向分别为 、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设点 ，则点 、 ，
，∵ ，解得 ，故A正确；
∴， ，则 ，可得 ，
又∵函数 在 附近单调递减，且 ，∴ ，故B错误；
∵ ，可得 ，
又∵点 是函数 的图象在 轴左侧距离 轴最近的最高点，则 ，
可得 ，∴ ，
∵点 是函数 在 轴右侧的第一个对称中心，∴ ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司翻折后，则有 、 、 、 ，
∴ ， ，∴在图2中， ，故C正确；
在图2中，设点 ， ，
可得 ， ， ， ，
易知 为锐角，则 ，
∴区域 是坐标平面 内以点 为圆心，半径为 ，且圆心角为 的扇形及其
内部，故区域 的面积 ，故D错误.
三、填空题
13． 12 14. 15． 16．
16．解：由于f(1)=0，只需f(x)在区间(1,e]上没有零点，
∵f '(x)=lnx-a，令f '(x)=0，解得x=ea，
∴当x∈(0,ea )时，f '(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(ea,+∞)时，f '(x)>0，f(x)单调递增；
①当ea≤1时，即a≤0时，f(x)在区间(1,e]上单调递增，
当1<x≤e时，f(x)>f(1)=0，符合题意；
②当ea≥e时，即a≥1时，f(x)在区间(1,e]上单调递减，
当1<x≤e时，f(x)<f(1)=0，符合题意；
③当1<ea<e时，即0<a<1时，f(x)在(1,ea )上单调递减，在(ea,e)上单调递增，
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只需f(e)=a+1-ae<0即可，所以： <a<1，
e-1
1
综上，a的取值范围是(-∞,0]⋃( ,+∞) .
e-1
四、解答题
17．（本小题满分10分）
解：（1）设等比数列 的公比为 ， ，
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，即 ，
化简可得 ，解得 .
又 ，∴数列 的通项公式为 ；
（2）∵ ，所以 ，
则 ，①，
，②
①-②得 ，
∴ ．
18．（本小题满分12分）
解：（1）由三角形的面积公式 ，
解得 ， ；
（2）∵ ，∴ ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
由正弦定理 ， ．
19．（本小题满分12分）
解：（1）设 类， 类商品单件收益分别为 元， 元，
则 元，
元，
，故 类商品单件收益的均值更高；
（2）由题意可知 ， ，
， ，
∴ ，
元，
又 元，
∴ 元．
20．（本小题满分12分）
解：（1）证明：取AC的中点O，连接OD，
∵D是 的中点，∴ ，
∵ 平面ABC，∴ 平面ABC，
以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
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学科网（北京）股份有限公司建立如图的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ，故 平面 ；
（2）设 ，则 ，显然 是平面ABC的一个法向量，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，∴ ，取 ，则 ， ，∴ ，
∴ ，∴ 或 ，
3
∵BB >1∴a=
1 2
当 时， ，∴ ， ，
∴ ，
∴直线DE与平面 所成角的正弦值为 ．
21．（本小题满分12分）
解：（1） ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 ， ， ，
而 也满足上式，故 ，
∴ 且 ，故 且 ，即 ，
∴ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ ，∵ ，∴ ，证毕．
22．（本小题满分12分）
解：（1）
当 时，∴ 恒成立得 在 递增，
则函数 不可能存在两个零点，故该情况不成立；
当 时，得 在 递增；在 递减，
要使 有两个不同零点，必须 且极大值 （ 和 时 ），
∴ ；
（2）方程
令 ，由 有两个实根 、 ，则 ， 是 的两个零点
且 ，可得 ，
由 可得 ，要证 ，
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学科网（北京）股份有限公司即证 ，即证 ，
∵ ，∴ ，∴即证
令 ，即证 ，
构造函数 ，其中 ，即证 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
∴ ，故原不等式成立．
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