2004年北京高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2004 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150
分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
（1）设 M {x|2  x  2}，N {x|x 1}，则 M  N 等于
A. {x|1 x  2} B. {x|2  x 1} C. {x|1 x  2} D. {x|2  x 1}
（2）满足条件|z||34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
（3）设m、n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m，n/ /，则mn ②若/ /，/ /，m，则m
③若m/ /，n/ /，则m/ /n ④若，，则/ /
其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
（4）已知a、b、c满足c b  a，且ac  0，那么下列选项中一定成立的是
A. ab  ac B. c(ba)  0 C. cb2  ab2 D. ac(ac)  0
（5）从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取
m
出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则 等于
n
1 1 3
A. 0 B. C. D.
4 2 4
（6）如图，在正方体 ABCD A B C D 中，P是侧面BB C C D C
1 1 1 1 1 1 1 1
A B
1 1
内一动点，若P到直线BC与直线C D 的距离相等，
1 1 P
则动点P的轨迹所在的曲线是 D C
A 直线 B 圆 C双曲线 D抛物线 A B
（7）函数 f (x)  x2 2ax3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条
件是
第1页 | 共7页A. a (,1] B. a [2,) C. a (,1][2,) D. a [1,2]
x,x P
（ 8 ） 函 数 f (x)   ， 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 又 规 定
x,x M

f (P) {y|y  f (x),x P}， f (M) {y|y  f (x),x M}，给出下列四个判断：其中正确的有:
①若P M  ，则 f (P) f (M)   ②若P M  ，则 f (P) f (M)  
③若P M  R，则 f (P) f (M)  R ④若P M  R，则 f (P) f (M)  R
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中的横线上。
（9）函数 f (x)  sinxcosx的最小正周期是______________
（10）方程lg(x2 2)  lgxlg3的解是______________
（11）圆x2 (y1)2 1的圆心坐标是______________，如果直线x ya  0与该圆有公共点，
那么实数a的取值范围是______________
（12）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是_______cm，表面积是______cm2
（13）在函数 f (x)  ax2 bxc中，若a，b，c成等比数列且 f (0)  4，则 f (x)有最_______值
（填“大”或“小”），且该值为______________
（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数
列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{a }是等和数列，且a  2，公和为
n 1
5，那么a 的值为______________，且这个数列的前21项和S 的值为______________
18 21
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）
2
在ABC中，sin AcosA  ， AC  2， AB  3，求tgA的值和ABC的面积
2
（16）（本小题满分14分）如图，在正三棱柱 ABC A B C 中，AB＝2， AA  2，由顶点B沿棱柱侧面
1 1 1 1
经过棱 AA 到顶点C 的最短路线与 AA 的交点记为M，求： （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
1 1 1
A M
（II）该最短路线的长及 1 的值 （III）平面C MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
AM 1
第2页 | 共7页y
A 1 C 1
B P
1
M
O x
C
A A
B B
（17）（本小题满分14分）
如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x ,y ），B（x ,y ）均在抛物
1 1 2 2
线上。（I）写出该抛物线的方程及其准线方程
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y  y 的值及直线AB的斜率
1 2
（18）（本小题满分14分）
x 1 1
函数 f (x)定义在［0，1］上，满足 f (x)  2f ( )且 f (1) 1，在每个区间( , ]（i 1，
2 2i 2i1
2……）上，y  f (x)的图象都是平行于x轴的直线的一部分。
1 1 1
（I）求 f (0)及 f ( )， f ( )的值，并归纳出 f ( )(i 1,2, )的表达式

2 4 2i
1 1
（II）设直线x  ，x  ，x轴及y  f (x)的图象围成的矩形的面积为a （i 1，2……），
2i 2i1 i
求a ,a 及lim(a a  a )的值
1 2 1 2  n
n
（19）（本小题满分12分）
某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A
站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，
在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应
时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围
（20）（本小题满分12分）
给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，
每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 与所有可能的其他选择
1
相比是最小的，r 称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式
1
构成第二组，这时的余差为r ；如此继续构成第三组（余差为r ）、第四组（余差为r ）、……，直至第N
2 3 4
组（余差为r ）把这些数全部分完为止。
N
（I）判断r ,r , ,r 的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
1 2  N
第3页 | 共7页150n L
（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与r 的大小关系，并证明r 
n n1 n1
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N 11
第4页 | 共7页2004年普通高等学校招生北京卷文史类数学试题
参考答案
一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。1-6:DCAABDCB
二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9）（10）x 1,x  2（11）（0，-1），1 2  a 1 2
1 2
（12）4 3 192 （13）大 -3 （14）3 52
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。满分14分。
解法一：
2 1
sin AcosA 2cos(A45)  cos(A45)  又0  A180

2 2
1 3
A45 60,A105tgAtg(45 60)   2 3
1 3
2  6
sin A  sin105  sin(45 60)  sin45 cos60 cos45 sin60 
4
1 1 2  6 3
S  AC ABsin A  23  ( 2  6)
ABC 2 2 4 4
2
解法二： sin AcosA  （1）

2
1 1
(sinAcosA)2  2sin AcosA  0  A180,sin A0,cosA0

2 2
3 6
(sin AcosA)2 12sin AcosA  sin AcosA  （2）

2 2
2  6 2  6
（1）+（2）得：sin A  （1）－（2）得：cosA 
4 4
sin A 2  6 4
tgA     2 3
cosA 4 2  6
（以下同解法一）
（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力
和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱 ABC A B C 的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形,其对角线长为 62 22  2 10
1 1 1
（II）如图，将侧面 AA B B绕棱 AA 旋转120使其与侧面 AAC C在同一平面上，点B运动到点D
1 1 1 1 1
第5页 | 共7页的位置，连接DC 交 AA 于M，则DC 就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱 AA 到顶点C 的最短路线，其长为
1 1 1 1 1
A M
DC2 CC 2  42 22  2 5 DMA  C MA ，AM  A M 故 1 1
1  1 1 1 AM
A
1 C
1
B
1
M
A C
D
B
（III）连接DB，C B，则DB就是平面C MB与平面ABC的交线
1 1
在DCB中 DBC CBAABD 60 30 90CB  DB

又C C平面CBD 由三垂线定理得C BDB C BC就是平面C MB与平面ABC所成二
1 1 1 1
面角的平面角（锐角） 侧面C B BC是正方形 C BC  45
 1 1 1
故平面C MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45
1 y
（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的
P
方法分析问题和解决问题的能力，满分14分。
O x
解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2  2px A
B
点P（1，2）在抛物线上22  2p1，得 p  2故所求抛物线的方程是y2  4x

准线方程是x  1
y 2 y 2
（II）设直线PA的斜率为k ，直线PB的斜率为k 则k  1 (x 1)，k  2 (x 1)
PA PB PA x 2 1 PB x 1 2
1 2
PA与PB的斜率存在且倾斜角互补k  k 由A（x ,y ），B（x ,y ）在抛物线上，得
 PA PB 1 1 2 2
y 2 y 2
y 2  4x （1）;y 2  4x （2）  1   2 y 2  (y 2)y  y  4
1 1 2 2 1 1 1 2 1 2
y 2 1 y 2 1
4 1 4 2
y  y 4 4
由（1）-（2）得直线AB的斜率 k  2 1     1(x  x )
AB x  x y  y 4 1 2
2 1 1 2
（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分。
1 1 1 1
解：（I）由 f (0)  2f (0)，得 f (0)  0 由 f (1)  2f ( )及 f (1) 1，得 f ( )  f (1) 
2 2 2 2
第6页 | 共7页1 1 1  1 1
同理， f ( )  f ( )  归纳得 f ( )  (i 1,2, )

4 2 2 4 2i 2i
1 1 1  1 1 1 1 1
（II）当  x  时， f (x)  a  a  a  (  )  (i 1,2 )
2i 2i1 2i1 1 2 2 8 i 2i1 2i1 2i 2i1 
1
1 1 2 2
所以{a }是首项为 ，公比为 的等比数列, 所以lim(a a  a )  
n 2 4 n 1 2  n 1 3
1
4
（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12分。
300 480
解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是 | 7|和| 11|
v v
300 480
（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以| 7|| 11| 2 （*）
v v
300 300 480 300
当0 v  时，（*）式变形为 7 11 2 解得39  v 
7 v v 7
300 480 300 480 300 480
当  v  时，（*）式变形为7  11 2 解得  v 
7 11 v v 7 11
480 00 480 480 195
当v  时，（*）式变形为7 11  2 解得  v 
11 v v 11 4
195
综上所述，v的取值范围是[39， ]
4
150
（20） 解：（I）r  r   r 。除第N组外的每组至少含有  3个数
1 2  N 50
（II）当第n组形成后，因为n  N ，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r ，余下数
n
之和也大于第n组的余差r ，即 L[(150r )(150r ) (150r )] r
n 1 2  n n
150n L
由此可得r r  r 150n L 因为(n1)r  r r  r ，所以r 
1 2  n1 n1 1 2  n1 n1 n1
（III）用反证法证明结论，假设N 11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，
150111275
余下的每个数都大于第11组的余差r ，且r  r 故余下的每个数 r  r   37.5
11 11 10 11 10 10
（*）因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.53112.5, 此时第11组的余差
r 150第11组数之和 150112.5 37.5 这与（*）式中r  37.5矛盾，所以N 11
11 11
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