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2024-2025 学年第一学期高三年级 12 月学情调研测试
数学试题
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数 的对应点坐标为 ，则 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若 ，则
（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
4.设数列 的通项公式为 ，数列 的前 项和为 ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知一批产品中有 是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品
被误判为合格品的概率为0.01.任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A.0.855 B.0.856 C.0.86 D.0.865
6.设 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，若 和在区间 上均单调递增，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图象如图所示，已知两图象有且仅有
一个公共点，其坐标为 ，则（ ）
A.函数 的最大值为1 B.函数 的最小值为1
C.函数 的最大值为1 D.函数 的最小值为1
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知奇函数 的定义域为 ，若 ，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线 对称
C.
D. 的一个周期为4
10.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的
面上的数字 ，得到样本空间 ，设事件 为奇数 ，事件 ，事件 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11.某3×4×5的长方体由1×1×1的单位立方体（称单位正方体的顶点为格点）拼成，下列选项中正确的
有（ ）
A.存在不共线的三个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点
B.不存在不共线的四个向量两两夹角相等，且顶点均为该长方体的格点
C.空间内的一条直线最多穿过该长方体的五个格点
D.该长方体的一条体对角线穿过10个单位正方体
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的常数项为______.
13.在平行四边形 中，已知 ， ， ，点 在边 上， ，
与 相交于点 ，则 的余弦值为______.
14.已知函数 ，则 __________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.设三角形 的内角 的对边分别为 且 .
（1）求角 的大小；（2）若 边上的高为 ，求三角形 的周长.
16.已知圆 和定点 ，直线 .
（1）当 时，求直线 被圆 所截得的弦长；
（2）若直线 上存在点 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，满足 ，求 的取值范围.
17.如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为直角梯形， ，
.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 为棱 的中点，求 与平面 所成角的正弦值.
18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五
组质量指标值： .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值
服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为 等品.现从该
品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差 作为 的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率（保留小数点
后面两位有效数字）；
（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则
， ，
.）
（2）（i）从样本的质量指标值在 和 的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在
的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据（1）的计算结果，试求 的
值，使得每箱产品的利润最大.
19.已知函数 ，取 ；过点 作曲线 的切线，该切线与 轴的交点记
作 .若 ，则过点 作曲线 的切线，该切线与 轴的交点记作 .以此
类推得 ，直至 停止，由这些数构成数列 .
（1）若正整数 ，证明： ；
（2）若正整数 ，证明： ；
（3）若正整数 ，是否存在 便得 依次成等差数列？若存在，求出 的所有取值；若
不存在，请说明理由.2024-2025 学年第一学期高三年级 12 月学情凋研测试
数学参考答案
一､二；选择题：
1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B
9.AD 10.ABC 11.AD
三､填空题：
12. 13. 14.0
解析：方程 即 有根 ，
所以 ，所以
所以 ，
所以 ，所以
15.解析：（1）因为 为 的内角，所以 ，
因为 ，所以 可化为： ，
即 ，即 ，因为 ，解得： ，即
（2）由三角形面积公式得 代入得： ，
所以 ，由余弦定理 得： ，解得： 或 舍
.
16.【详解】（1）圆C： ，圆心 ，半径 ，
当 时，直线1的方程为 ，所以圆心 到直线1的距离 ，
故弦长为 .
（2）设 ，则 ，由 ，
，
得 .化简得 ，
所以点M的轨迹是以 为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线 上，所以 与圆D有公共点，所以 ，解得 ，所以m的取值范围是 .
17.解析：（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
为正三角形， 且 .
为 的中点， ，
又 底面 为直角梯形， 即 ，故四边形 为平行四边形，
而 ，所以四边形 为矩形， .
.
平面 平面 .
平面 平面 平面
.
（2）由（1）得 ，由（1）又可得 ，
如图，以 为坐标原点 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
.设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，则 ，
，
设 与平面 所成的角为 ，则
，
与平面 所成角的正弦值为 .
18.解析：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
.
即 ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，所以
，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16
（2）（1） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为 ，
相应的概率为：
随机变量 的分布列为：0 1 2 3
所以 的数学期望 .
（2）设每箱产品中 等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中 等品的概率为0.16，
所以 ，所以 ，
所以
.
令 ，由 得， ，
又 单调递增， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.所以当 时，每箱产品利润最大.
19.解析：（1）因为 ，则 ，
若 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，
则切线方程为 ，令 ，可得 ，解得 ，所以
（2）构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时，则 ，可得 ，累加可
得 ，所以
.
（3）若存在 使得 依次成等差数列，
当 时，则 依次成等差数列，可得 ，又因为 ，则 ，
可得 ，即 ，构建 ，
则 ，
由（2）可知： ，即 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
且 ，当且仅当 时，等号成立，可得 ，
可知 在 内单调递增，且
，可知 在 内有且仅有一个零点，
当 时，则 依次成等差数列，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，即
，
根据 零点的唯一性可知： ，
由（2）可知： ，可知 为递减数列，
所以 不成立，即 时，不存在 使得 依次成等差数列；
综上所述：存在 使得 依次成等差数列，此时 .
