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黄梅一中高二年级 12 月考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 ： 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解.
【详解】 的标准方程为 ，故准线方程为 ，
故选：A
2. 已知直线 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线平行的条件，列出a满足的方程以及不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知直线 ， ，
故 且 ，
解得 ，
故选：B
3. 已知曲线C： ，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由椭圆的标准方程可得 ，结合选项和充分条件、必要条件的定义即可下结论.
【详解】由 ，得 ，
若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 ，解得 ，
结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“ ”.
故选：A.
4. 直线 与圆 相交于两点A，B，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定圆的圆心与半径，求圆心到直线的距离 ，利用直线与圆相交弦长公式求解 的值即可.
【详解】圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线与圆相交弦长 .
故选：B.
5. 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，若
的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用点差法联立方程组，求出 的值，即得椭圆方程.
【详解】设 ，代入椭圆方程可得： ，
两式作差可得： (*)，
又 的中点坐标为 ，所以 ， ，
由(*)式可得 ，
又直线 的斜率即直线 的斜率， ，
所以 ，而 ，
联立解得 ， ，故椭圆的方程为： .
故选：A．
6. 双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 是以 为直径的圆与双曲线 的一个交点，若 ，则双曲线 的渐近线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得 ，
再结合条件及 间的关系可得 ，即可求解.
【详解】如图，不妨设 在第一象限，则 ①，又 ②，
由①②得到 ，又由题知 ，
所以 ，整理得到 ，
所以 ，则 ，即 ，所以双曲线 的渐近线为 ，
故选：D.
7. 已知抛物线 ， 为坐标原点，过点 的直线 与 交于不同的两点 ，若
，则 的面积为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设直线 的方程为 ， ，进而结合向量关系，韦达定理得
，再根据 计算面积即可.
【详解】由题知直线 的斜率不为 ，故设方程为 ， ，
联立方程 得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，解得 ，
所以 的面积为
故选：C
8. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上第一象限的一点， 的重心和
内心分别为M，N，且 轴.又点 是该椭圆上任一点，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1【答案】B
【解析】
【分析】设 的内切圆 与 分别切于点 ，利用切线长定理可得
，结合椭圆的的定义可得 ，进而求得 ，结合已知可得
，可求得 ，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得 的最大值.
【详解】设 的内切圆 与 分别切于点 ，如图所示：
则 ．
又因为 ，联立 ，可得 ，
又因为
，
所以 ，所以 ，
因为 的重心是三边中线的交点，所以 在 上，
由重心性质可得 ，因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以椭圆的方程为 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，
所以 ，其中 ，
当 ， 取最大值，最大值为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于得到 ，从而求得 ，进而求得 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线 ： ： ，则（ ）
A. 的长轴长为
B. 的渐近线方程为
C. 与 的焦点坐标相同
D. 与 的离心率互为倒数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.
【详解】曲线 ： 整理得 ，
则曲线 是焦点在 轴上的椭圆，其中 ，
所以 ，离心率为 ，故曲线 的长轴长 ，故A错误；
曲线 ： 是焦点在 轴上的双曲线，其中 ，
所以 ，离心率为 ，故与曲线 的焦点位置不同，故 C 错误； ：
的渐近线方程为 ，故B正确；
又 ，所以 与 的离心率互为倒数，故D正确
故选：BD
10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 为抛物线上两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.
D. 若点 为抛物线上一点，则 周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据准线方程求得抛物线的标准方程，设出点 A，B的坐标，结合中点坐标公式及抛物线的
定义即可逐一判断.
【详解】对于A，因为抛物线的准线方程为 ，即 ，解得 ，故A正确；
对于B，所以抛物线 ，所以焦点为 ，设 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，即 ，
所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 ，故C错误；
对于D，如图，过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，
由 的坐标可知 ，
所以 的周长为 ，
当且仅当P为 与抛物线的交点时，等号成立，所以 周长的最小值为 ，D正确.
故选：ABD.
11. 已知双曲线 的其中一条渐近线方程为 ，且过点 .点 为该双
曲线右支上一点，点 分别为该双曲线左右顶点，点 分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的
是（ ）A. 当 时， 的面积为
B. 的内切圆与 轴切于点 ，则
C. 记 ， 的斜率分别为 ， ，若点 位于第一象限，则有
D. 过点 分别作两条渐近线的垂线，垂足为 ，则两垂足距离最短为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据条件确定双曲线的方程，明确 的坐标，结合双曲线的定义，余弦定理求焦点
的面积，判断A的真假；利用双曲线的定义和三角形内切圆的性质，可判断 B的真假；利用双曲
线的标准方程，结合基本不等式，可判断C的真假；利用点到直线的距离公式，结合余弦定理可判断D的
真假.
【详解】由 ，所以双曲线 的方程为 .
所以 ，所以顶点坐标为 ， ，焦点 ， .
如图：
对A：当 时，由 ，
所以 ，故A错误；
对B：设 的内切圆为圆 ，与 ， 相切于 ， ，
则 ， ， .
又 ，故 B 正
确；
对C：设 ，由题意 ，又因为 为双曲线右支上的点，所以 .
所以 ， ，且 ，
所以 .故C正确；
对D：因为 ， ，且 ，
由余弦定理，
.
因为 ，所以 （当 时取等号），即 .故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线 的焦距为 ，则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据焦距及方程求得 ，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可
【详解】由题意可知 ，又 ，所以 ，
又双曲线的焦点在 轴上，所以渐近线方程为 .
故答案为：
13. 已知点 ， 为椭圆 的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足
，若 的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，则该椭圆的离心率为__________
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得 ，再根据正弦定理可知外接圆半径
，由等面积法可知内切圆半径 ，再根据面积比即可计算出离心率 .
【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知 ，且 ；
又 ，利用余弦定理可知：
，
化简可得 ；
所以 的面积为 ；
设 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ；
由正弦定理可得 ，可得 ；
易知 的周长为 ，
利用等面积法可知 ，解得 ；
又 的外接圆面积是其内切圆面积的9倍，即 ，所以 ，即可得 ，所以 ；
离心率 .
故答案为： .
14. 抛物线 的顶点为坐标原点 ，抛物线上两点 满足： ，过点 作 的垂线，
垂足为 ，若点 是圆 的一个动点，则 的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的性质得出直线 过定点 ，进而确定点 的轨迹方程，再根据两圆的位置关
系求出 的最大值.
【详解】在抛物线 中，若 ，即 ，根据抛物线的性质可知直线 过定点
.
下面证明：设 ， .
因为 ，则 ， 时， .
直线 的斜率 .
直线 方程为 ，即 .把 代入得 .所以直线 过定点 ，如下图：
的
因为 ，所以点 是以 为直径 圆上的动点.
的中点坐标为 ， .
则点 的轨迹方程为 （ ）.
点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆（除去原点），点 在圆 上，
圆 的圆心为 ，半径 .
两圆的圆心距 .
的最大值为圆心距 加上两圆的半径，即 .
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程；
【答案】（1）（2） 或
【解析】
【分析】(1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程；
(2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程.
【小问1详解】
经过点 和 的中垂线方程为： ，
再与 联立解得: ,
此时可知该圆的圆心坐标为 ，
再由 ，可知该圆的半径为 ，
所以圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
当过点 的直线 的斜率不存在时，即直线方程为 ，
此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线 与圆相切，
当过点 的直线 的斜率存在时，可设 ，
由直线与圆相切可知： ，解得 ，
所以直线方程为 ，
综上可得：直线 的方程为 或 .
16. 已知椭圆C 方的程为 （ ）上顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求 的长.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题求出 ，求出椭圆方程；
（2）利用弦长公式求解.
【小问1详解】
由题意， 且 ， ，得 ，
因此椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
设椭圆左焦点为 ，直线 的方程为 ， ， ，
联立直线方程与椭圆方程 ，
.
可得 ，解得： ，
所以
17. 已知抛物线 的焦点为F，点 为抛物线上一点，且 .
（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l： 与抛物线交于不同两点P，Q，若 ，求m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据抛物线的定义求出 的值，进而得到抛物线的方程；
（2）先联立直线与抛物线方程，得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理求出 和 ，再根据
数量积为 列出方程，进而求出m的值.
【小问1详解】
点 为抛物线上一点，且 ，根据抛物线的定义可得 ，解得 ， 抛物线
的标准方程为 .
【小问2详解】
的
不过原点 直线l： 与抛物线交于不同两点P，Q，
设 ，联立得 ，得 ，
，解得 .
由韦达定理，得 ， ，
又 ， ，
又两点P，Q在直线l： 上，
故上式化 为 ，化简得 ，
把韦达定理代入，得 ，解得 或 ，直线l不过原点， ，
故m的值为 .
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，其左、右顶点分别为 ，
为椭圆 上异于 的两点．
（1）求椭圆 的方程．
（2）设直线 的斜率分别为 ，且直线 过定点 ．
①设 和 的面积分别为 ，求 的最大值；
②证明 为定值，并求出该定值．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程；
（2）①设直线 的方程为： 并与椭圆C联立方程组，解得
，分别表示面积 ，可得 ，再用换元法，
令 ，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
②由①知 可得 表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证.【小问1详解】
依题意知： ，解得 ，
所以椭圆C的方程为：
【小问2详解】
①依题意由（1）知 ，直线 的斜率不为0．
设其方程为： ，并与椭圆C联立方程组：
，得 ，
则 ，
，同理： ，
所以 ．
令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，结合函数单调性定义知， 在 时单调递增．所以 ，则 .
所以 的最大值是 .
②证明：由①知 .
所以
.
19. 已知双曲线 的左顶点 ，一条渐近线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设双曲线 的右顶点为 ， 为直线 上的动点，连接 ， 交双曲线于 ， 两点 异
于 ， ，记直线 与 轴的交点为 ．①求证： 为定点；
②直线 交直线 于点 ，记 ， 求证： 为定值．
【答案】（1） ；
（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程；
（2）①由题设有 为 ， 为 ， ， ，联立双曲线并应
用韦达定理求得 、 ，设 ，结合向量共线的坐标表示
列方程求参数值，即可证；②设直线 为 ，则 ，联立直线与双曲线并应用韦达定
理，结合向量线性关系的坐标表示有 ，即可证.
【小问1详解】
由题设 ， ，则双曲线方程为 ．
【小问2详解】
①设 ，且 ，
的直线方程为 ， 的直线方程为 ．
设 ， ，联立直线 与双曲线方程有 ，化简得 ，由韦达定理知 ，
有 ，代入直线有 ．则
联立直线 与双曲线方程，化简有 ，
由韦达定理知 ，有 ，代入直线有
设 ， ， ，
由 得 ，
化简得 ，可得 ，则 ．
②设直线 方程为 ，则有
联立方程组 ，化简得 ，则 ，
由 知 ，由 知 ，．
