2007年宁夏高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_宁夏

2007 年宁夏高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，
其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准
考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无
效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标
号涂黑．
参考公式：
样本数据x ，x ， ，x 的标准差 锥体体积公式
1 2  n
1 1
s  [(x x)2 (x x)2  (x x)2] V  Sh
n 1 2  n 3
其中x为样本平均数 其中S 为底面面积、h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
4
V Sh S 4πR2，V  πR3
3
其中S 为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知命题
p:xR，sinx≤1，则（
）
Ａ．p:xR，sinx≥1 Ｂ．p:xR，sinx≥1
Ｃ．p:xR，sinx1 Ｄ．p:xR，sinx1
1 3
2．已知平面向量a (1，1)，b(1，1)，则向量 a b（ ）
2 2
Ａ．(2，1) Ｂ．(2，1)
Ｃ．(1，0) Ｄ．(1，2)
第1页 | 共11页 π  π 
3．函数y sin  2x 在区间   ，π  的简图是（ ）
 3  2 
y y
1
1


3 
x   O  x
 O    
 2 3 6
2 6 1
1
Ｂ
Ａ
．
．y y
1 1

 
6
    O  x   O   x
2 6 3 2 3
1 1
开始
Ｃ Ｄ
． ．
4．已知a 是等差数列，a 10，其前10项和S 70，则其
n 10 10 k 1
公差d （ ）
2 1 1 2
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． S 0
3 3 3 3
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S （ ）
否
Ａ．2450 Ｂ．2500 k≤50?？
Ｃ．2550 Ｄ．2652
是
6．已知抛物线y2 2px(p 0)的焦点为F ， SS2k 输出S
点P(x，y )，P(x，y )，P(x，y )在抛物线上，
1 1 1 2 2 2 3 3 3 k k1 结束
且2x  x x ， 则有（ ）
2 1 3
2 2 2
Ａ． FP  FP  FP Ｂ． FP  FP  FP
1 2 3 1 2 3
2
Ｃ．2 FP  FP  FP Ｄ． FP  FP· FP
2 1 3 2 1 3
(ab)2
7．已知x0， y 0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则
cd
的最小值是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4
第2页 | 共11页8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出
的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 20
（ ）
4000
Ａ． cm3
3 20 20
8000 正视图 侧视图
Ｂ． cm3
3
Ｃ．2000cm3
10
Ｄ．4000cm3
10
cos2 2
9．若  ，则cossin的 20
 π 2 俯视图
sin 
 
 4
值为（ ）
7 1
Ａ． Ｂ．
2 2
1 7
Ｃ． Ｄ．
2 2
1
x
10．曲线y e2 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
9
Ａ． e2 Ｂ．4e2 Ｃ．2e2 Ｄ．e2
2
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4
s，s，s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
1 2 3
Ａ．s s s Ｂ．s s s
3 1 2 2 1 3
Ｃ．s s s Ｄ．s s s
1 2 3 2 3 1
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且
底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、
三棱柱的高分别为h ，h ，h，则h :h :h（ ）
1 2 1 2
Ａ． 3:1:1 Ｂ． 3:2:2 Ｃ． 3:2: 2 Ｄ． 3:2: 3
第II卷
第3页 | 共11页本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须
做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心
率为 ．
(x1)(xa)
14．设函数 f(x) 为奇函数，则a  ．
x
510i
15．i是虚数单位，  ．（用abi的形式表示，a，bR）
34i
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个
班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现
测得 BCD，BDC ，CDs，并在点C测得塔顶 A的仰角为，求塔高
AB．
S
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边
三角形，BAC 90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO平面ABC；
C
O
（Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值．
B
A
19．（本小题满分12分）
x2
在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆  y2 1有两个不
2
同的交点P和Q．
（I）求k的取值范围；
（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量
  
OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
第4页 | 共11页20．（本小题满分12分）
如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：
在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M 中，则M 的面积的估计
m
值为 S，假设正方形ABCD的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD中随机投
n
掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．
D C
（I）求X 的均值EX ；
（II）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实
际值之差在区间(0.03，)内的概率． M
k
附表：P(k)Ct 0.25t0.7510000t
10000 A B
t0
k 2424 2425 2574 2575
P(k) 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590
21．（本小题满分12分）
设函数 f(x)ln(xa)x2
（I）若当x1时， f(x)取得极值，求a的值，并讨论 f(x)的单调性；
e
（II）若 f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln ．
2
22．请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，
用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知 AP是 O的切线， P为切点， AC是 P

O的割线，与 O交于 B，C 两点，圆心 O在
 
PAC的内部，点M 是BC的中点．
A
（Ⅰ）证明A，P，O，M 四点共圆； O
（Ⅱ）求OAM APM 的大小．
M
B
C
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
O 和 O 的极坐标方程分别为4cos，4sin．
 1  2
（Ⅰ）把 O 和 O 的极坐标方程化为直角坐标方程；
 1  2
（Ⅱ）求经过 O ， O 交点的直线的直角坐标方程．
 1  2
22．Ｃ（本小题满分10分）选修45；不等式选讲
第5页 | 共11页设函数 f(x) 2x1 x4 ．
（I）解不等式 f(x)2；
（II）求函数y  f(x)的最小值．
参考答案
一、选择题
1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ
二、填空题
13．3 14．1 15．12i 16．240
三、解答题
17．解：在△BCD中，CBDπ．
BC CD
由正弦定理得  ．
sinBDC sinCBD
CDsinBDC s· sin
所以BC   ．
sinCBD sin()
s· tansin
在Rt△ABC 中，AB BCtanACB ．
sin()
S
18．证明：
（ Ⅰ ） 由 题 设 AB=AC=SB=SC  SA， 连 结 OA，
△ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以
M
2
OAOBOC  SA，且 AO BC，又 △SBC为
2 C
O
2
B
等腰三角形，故 SO BC，且 SO SA，从而 A
2
OA2 SO2 SA2．
所以△SOA为直角三角形，SO AO．
又AO BOO．

所以SO平面ABC．
（Ⅱ）解法一：
取 SC中 点 M ， 连 结 AM，OM ， 由 （ Ⅰ ） 知 SOOC，SA AC， 得
OM SC，AM SC．
∴OMA为二面角ASCB的平面角．
第6页 | 共11页由AO BC，AOSO，SO BC O得AO平面SBC．

3
所以AOOM ，又AM  SA，
2
AO 2 6
故sinAMO   ．
AM 3 3
3
所以二面角ASCB的余弦值为 ．
3
解法二：
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
Oxyz．
设B(1，0，0)，则C(1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1)．
 1 1  1 1  1 1 
SC的中点M

 ，0， ，MO

，0，

，MA

，1，

，SC (1，0，1)．
 2 2 2 2 2 2
   
∴MO· SC 0，MA· SC 0． z
S
 
故 MOSC，MASC，<MO,MA等 于 二 面 角
ASCB的平面角． M
 
 MO· MA 3
cosMO，MA  ，
 
MO· MA 3 C
O
3 x B A y
所以二面角ASCB的余弦值为 ．
3
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx 2，
x2
代入椭圆方程得 (kx 2)2 1．
2
1 
整理得 k2  x2 2 2kx10 ①
2 
1 
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k2 4

k2

4k2 20，
2 
第7页 | 共11页2 2  2   2 
解得k  或k  ．即k的取值范围为

∞，  

，∞

．
2 2 2 2
   
 
（Ⅱ）设P(x，y )，Q(x，y )，则OPOQ(x x，y  y )，
1 1 2 2 1 2 1 2
4 2k
由方程①，x x  ． ②
1 2 12k2
又y  y k(x x )2 2． ③
1 2 1 2

而A( 2，0)，B(0，1)，AB( 2，1)．
  
所以OPOQ与AB共线等价于x x  2(y  y )，
1 2 1 2
2
将②③代入上式，解得k  ．
2
2 2
由（Ⅰ）知k  或k  ，故没有符合题意的常数k．
2 2
20．解：
1
每个点落入M 中的概率均为 p ．
4
 1
依题意知X ~ B  10000， ．
 4
1
（Ⅰ）EX 10000 2500．
4
 X 
（Ⅱ）依题意所求概率为P  0.03 410.03 ，
 10000 
 X 
P 0.03 410.03  P(2425 X 2575)
 
 10000 
2574
  Ct 0.25t0.7510000t
10000
t2426
2574 2425
  Ct 0.25t0.7510000t Ct 0.25t0.75100001
10000 10000
t2426 t0
0.95700.04230.9147．
21．解：
第8页 | 共11页1
（Ⅰ） f(x) 2x，
xa
3
依题意有 f(1)0，故a ．
2
2x2 3x1 (2x1)(x1)
从而 f(x)  ．
3 3
x x
2 2
 3  3
f(x)的定义域为  ，∞ ，当  x1时， f(x)0；
 2  2
1
当1 x 时， f(x)0；
2
1
当x 时， f(x)0．
2
 3   1   1
从而， f(x)分别在区间  ，1  ，   ，∞ 单调增加，在区间 1， 单调减少．
 2   2   2
2x2 2ax1
（Ⅱ） f(x)的定义域为(a，∞)， f(x) ．
xa
方程2x2 2ax10的判别式4a2 8．
（ⅰ）若0，即 2 a 2 ，在 f(x)的定义域内 f(x)0，故 f(x)的极值．
（ⅱ）若0，则a 2 或a 2．
( 2x1)2
若a  2，x( 2，∞)， f(x) ．
x 2
2  2   2 
当 x 时， f(x)0，当 x

 2，  

 ，∞

时， f(x)0，所以
2 2 2
   
f(x)无极值．
( 2x1)2
若a 2，x( 2，∞)， f(x) 0， f(x)也无极值．
x 2
（ⅲ）若 0，即 a  2或 a 2，则 2x2 2ax10有两个不同的实根
a a2 2 a a2 2
x  ，x  ．
1 2 2 2
当a 2时，x a，x a，从而 f(x)有 f(x)的定义域内没有零点，故 f(x)无极
1 2
第9页 | 共11页值．
当a  2时，x a，x a， f(x)在 f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值
1 2
判别方法知 f(x)在x x，x x 取得极值．
1 2
综上， f(x)存在极值时，a的取值范围为( 2，∞)．
f(x)的极值之和为
1 e
f(x ) f(x )ln(x a)x2 ln(x a)x 2 ln a2 11ln2ln
1 2 1 1 2 2 2 2 P
．
22．Ａ
A
（Ⅰ）证明：连结OP，OM ． O
因为AP与 O相切于点P，所以OP AP．

M
因为M 是 O的弦BC的中点，所以OM  BC． B

C
于是OPAOMA180°．
由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A，P，O，M 四点共
圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M 四点共圆，所以OAM OPM ．
由（Ⅰ）得OP AP．
由圆心O在PAC的内部，可知OPM APM 90°．
所以OAM APM 90°．
22．Ｂ
解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单
位．
（Ⅰ）xcos，y sin，由4cos得2 4cos．
所以x2  y2 4x．
即x2  y2 4x0为 O 的直角坐标方程．
 1
同理x2  y2 4y 0为 O 的直角坐标方程．
 2
x2  y2 4x0， x 0，x 2
（Ⅱ）由  解得 1  2 ．
x2  y2 4y 0  y
1
0，  y
2
2
即 O ， O 交于点(0，0)和(2，2)．过交点的直线的直角坐标方程为y x．
 1  2
22．Ｃ解： y
（Ⅰ）令y  2x1 x4 ，则
y 2
O
第10页 | 共11页 1 4 x

2 1
x5， x≤ ，

2

 1
y 3x3，   x4，．．．．．．．．．．．．．．．3分
2

x5， x≥4．


5 
作出函数y  2x1 x4 的图象，它与直线y 2的交点为(7，2)和 ，2 ．
3 
5 
所以 2x1 x4 2的解集为(x，7)  ，x ．
3 
1
（Ⅱ）由函数y  2x1 x4 的图像可知，当x 时，y  2x1 x4 取得最小
2
9
值 ．
2
第11页 | 共11页