2007年新疆高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_新疆

2007 年新疆高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分， 考试时间120分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或 在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式   4 如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V  πR3 3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k)Ckpk(1 p)nk(k 0，1，2，… ，n) n n 一、选择题 1．sin210 （ ） 3 3 1 1 A． B． C． D． 2 2 2 2 2．函数y  sinx 的一个单调增区间是（ ）     3   3  A．  ，  B． ，  C． ，  D． ，2              12i 3．设复数z满足 i，则z （ ） z A．2i B．2i C．2i D．2i 第1页 | 共10页4．下列四个数中最大的是（ ） A．(ln2)2 B．ln(ln2) C．ln 2 D．ln2   1  5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD CACB，则（ ） 3 2 1 1 2 A． B． C． D． 3 3 3 3 x1 6．不等式 0的解集是（ ） x2 4 A．(2，1) B．(2，) C．(2，1) (2，) D．(，2) (1，)   7．已知正三棱柱ABCABC 的侧棱长与底面边长相等，则AB 与侧面ACC A 所成角的 1 1 1 1 1 1 正弦值等于（ ） 6 10 2 3 A． B． C． D． 4 4 2 2 x2 1 8．已知曲线y  3lnx的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） 4 2 1 A．3 B．2 C．1 D． 2 9．把函数y ex的图像按向量a (2，3)平移，得到y  f(x)的图像，则 f(x)（ ） A．ex3 2 B．ex3 2 C．ex2 3 D．ex2 3 10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 x2 y2 11．设F，F 分别是双曲线  的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使FAF 90 1 2 a2 b2 1 2 且 AF 3 AF ，则双曲线的离心率为（ ） 1 2 5 10 15 A． B． C． D． 5 2 2 2    12．设F 为抛物线y2 4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FAFBFC 0，    则 FA  FB  FC （ ） A．9 B．6 C．4 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷共10题，共90分 第2页 | 共10页二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 8  1 13．(12x2)  x  的展开式中常数项为 ．（用数字作答）  x 14．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)．若在(0，1)内取值的概 率为0.4，则在(0，2)内取值的概率为 ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2． S 16．已知数列的通项a 5n2，其前n项和为S ，则lim n  ． n n n→ n2 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）  在△ABC中，已知内角A ，边BC 2 3．设内角B x，周长为y．  （1）求函数y  f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值． 18．（本小题满分12分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产 品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 p； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数， 求的分布列． S 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点． （1）证明EF∥平面SAD； F （2）设SD2DC，求二面角AEF D的大小． C D A 20．（本小题满分12分） E B 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x 3y 4相切． 第3页 | 共10页（1）求圆O的方程； （2）圆O与 x轴相交于 A，B两点，圆内的动点 P使 PA，PO，PB 成等比数列，求   PA PB的取值范围．  21．（本小题满分12分） 3a 设数列{a }的首项a (0，1)，a  n1，n2，3，4，… ． n 1 n 2 （1）求{a }的通项公式； n （2）设b a 32a ，证明b b ，其中n为正整数． n n n n n1 22．（本小题满分12分） 已知函数 f(x) x3x． （1）求曲线y  f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程； （2）设a 0，如果过点(a，b)可作曲线y  f(x)的三条切线，证明：ab f(a)． 参考答案 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B 二、填空题 5 13．42 14．0.8 15．24 2 16． 2 三、解答题  17 ． 解 ：（ 1 ） △ABC的 内 角 和 ABC ， 由 A ，B0，C 0得  第4页 | 共10页2 0 B ．  应用正弦定理，知 BC 2 3 AC  sinB sinx4sinx， sinA  sin  BC 2  AB sinC 4sin  x ． sin A    因为y  ABBC AC ， 2   2 所以y 4sinx4sin  x  2 3  0 x ，     3    1  （2）因为y 4sinx cosx sinx2 3    2       5 4 3sin  x  2 3   x  ，          所以，当x  ，即x 时，y取得最大值6 3．    18．解：（1）记A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 0 A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 1 则A，A互斥，且A A  A ，故 0 1 0 1 P(A) P(A  A) 0 1  P(A )P(A) 0 1 (1 p)2 C1p(1 p) 2 1 p2 于是0.961 p2． 解得 p 0.2，p 0.2（舍去）． 1 2 （2）的可能取值为0，1，2． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故 C2 316 P(0) 80  ． C2 495 100 第5页 | 共10页C1 C1 160 P(1) 80 20  ． C2 495 100 C2 19 P(2) 20  ． C2 495 100 所以的分布列为  0 1 2 316 160 19 P 495 495 495 19．解法一： S （1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点． 1 连结AG，FG∥ CD，又CD∥AB， 2 故FG∥AE，AEFG为平行四边形． F G EF∥AG，又AG平面SAD，EF 平面SAD． 所以EF∥平面SAD． H （2）不妨设DC 2，则SD4，DG 2，△ADG为等 M 腰直角三角形． C 取AG中点H ，连结DH ，则DH⊥AG． D 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH ，而AB AG  A，  A 所以DH⊥面AEF ． E B 取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF ． 连结DM ，则DM ⊥EF ． 故DMH 为二面角AEF D的平面角 DH 2 tanDMH    2． HM 1 z 所以二面角AEF D的大小为arctan 2 ． S 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz． 设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)， F G  a   a b E  a，，0  ，F  0，， ，  2   2 2 M   b EF    a，0， 2   ． D C y A E B 第6页 | 共10页 x A b   b 取SD的中点G  0，0， ，则AG   a，0， ．  2  2   EF  AG，EF∥AG，AG平面SAD，EF 平面SAD， 所以EF∥平面SAD．  1   1  （2）不妨设A(1，0，0)，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E  1，，0  ，F  0，，1 ．  2   2  1 1 1   1 1 1    EF 中点M  ，，  ，MD   ， ，  ，EF (1，0，1)，MD  EF 0，MD⊥EF 2 2 2  2 2 2   1    又EA  0， ，0 ，EA  EF 0，EA⊥EF ，  2    所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEF D的平面角．    MD EA 3 cosMD，EA   ．   MD EA 3  3 所以二面角AEF D的大小为arccos ． 3 20．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x 3y 4的距离， 4 即 r  2． 13 得圆O的方程为x2  y2 4． （2）不妨设A(x，0)，B(x，0)，x  x ．由x2 4即得 1 2 1 2 A(2，0)，B(2，0)． 设P(x，y)，由 PA，PO，PB 成等比数列，得 (x2)2  y2 (x2)2  y2  x2  y2，  即 x2  y2 2．   PA PB(2x， y) (2x， y)    x2 4 y2 2(y2 1). 第7页 | 共10页x2  y2 4， 由于点P在圆O内，故 x2  y2 2. 由此得y2 1．   所以PA PB的取值范围为[2，0)．  3a 21．解：（1）由a  n1，n2，3，4，… ， n 2 1 整理得 1a  (1a )． n 2 n1 1 又1a 0，所以{1a }是首项为1a ，公比为 的等比数列，得 1 n 1 2 n1  1 a 1(1a )    n 1  2 （2）方法一： 3 由（1）可知0a  ，故b 0． n 2 n 那么，b2 b2 n1 n a2 (32a )a2(32a ) n1 n1 n n 2 3a   3a   n 32 n a2(32a )      2   2  n n 9a  n (a 1)2. 4 n 又由（1）知a 0且a 1，故b2 b2 0， n n n1 n 因此 b b ，n为正整数． n n1 方法二： 3 由（1）可知0a  ，a 1， n 2 n 3a 因为a  n ， n1 2 (3a ) a 所以 b a 32a  n n ． n1 n1 n1 2 3 3a  由a 1可得a (32a ) n ，   n n n  2  2 3a  即 a2(32a ) n a n n   2    n 第8页 | 共10页3a 两边开平方得 a 32a  n a ． n n 2  n 即 b b ，n为正整数． n n1 22．解：（1）求函数 f(x)的导数； f(x)3x2 1． 曲线y  f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为： y f(t) f(t)(xt)， 即 y (3t2 1)x2t3． （2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使 b(3t2 1)a2t3． 于是，若过点(a，b)可作曲线y  f(x)的三条切线，则方程 2t3 3at2 ab0 有三个相异的实数根． 记 g(t)2t33at2 ab， 则 g(t)6t2 6at 6t(ta)． 当t变化时，g(t)，g(t)变化情况如下表： t (，0) 0 (0，a) a (a，) g(t)  0  0  g(t) 极大值ab 极小值b f(a)    由g(t)的单调性，当极大值ab0或极小值b f(a)0时，方程g(t)0最多有 一个实数根； 3a 当ab0时，解方程g(t)0得t 0，t  ，即方程g(t)0只有两个相异的实 2 数根； a 当b f(a)0时，解方程g(t)0得t  ，t a，即方程g(t)0只有两个相异 2 的实数根． 第9页 | 共10页综上，如果过(a，b)可作曲线y  f(x)三条切线，即g(t)0有三个相异的实数根， ab0， 则 b f(a)0. 即 ab f(a)． 第10页 | 共10页