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青桐鸣 2025 — 2026 学年 (上) 高二年级期中考试 (11.21)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知a=(1,0,-1)，b=(0,2,0)，则2a+b= ( )
A. (2,-2,-2) B. (2,2,-2) C. (2,-2,2) D. (-2,2,-2)
y2
2.双曲线C:x2- =1的焦距为( )
8
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 6
y-0 x+1
3.已知直线l的两点式方程为 = ，则直线l的倾斜角为( )
3-0 -4+1
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
4.椭圆3x2+ y2=27的短轴长为( )
A. 6 3 B. 3 3 C. 6 D. 3
5.已知m=(2,0,-1)，n=(0,1,2)，则m在n上的投影向量为( )
2 4
A. 0, ,-
5 5
2 4
B. 0,- ,-
5 5
4 2
C. ,0,-
5 5
4 2
D. - ,0,-
5 5
6.台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体
积忽略不计，看做一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满
足反射角等于入射角.如图，现击打主球 E在球桌壁点 A反弹后，经过点B，再
在球桌壁点C反弹后，击中目标球D.以球桌壁所在直线分别为x， y轴，建立如
图所示的直角坐标系，发现点B的坐标为(1,3)，目标球D的坐标为(3,1)，则
在该坐标系中，点A的坐标为( )
7
A. 0,
2
B. (0,4)
9
C. 0,
2
81π 41π
A. 9π B. 10π C. D.
8 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错
的得0分.
9.已知直线l:2x- y+4=0，则下列说法正确的是( )
A. l在x轴上的截距为2
B. l与直线x+2y+4=0垂直
C. l与直线2x- y-1=0之间的距离为 5
D. l与圆x2+ y2=4相离
10.如图，平行六面体 ABCD - A B C D 的所有棱长均为 1，且 ∠BAD = 60°，
1 1 1 1
∠A AB=120°，∠A AD=90°，记 AB=a， AD=b， AA =c，则下列说法正确
1 1 1
的是( )
A. BD =b+c-a
1
B. |BD |= 3
1
C. AC ⊥ A D
1 1
6
D. 直线BD 与A D所成角的余弦值为
1 1 6
11.设抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l交C于 A,B两点（A,B在不同
9 3
的象限），交 y轴于点 D，且|AD|=4|BD|，|AF|= ，|BF|= ，过 A作C
2 2
的准线的垂线AE，垂足为E，设点H(-4,0)，则下列说法正确的是( )
A. |AE|-|BF|=3
B. 抛物线C的方程为 y2=4x
C. 直线l的方程为 2x± y-2 2 =0
D. 直线AE与直线AF关于直线AH对称
D. (0,5)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
x
7.已知x， y满足x2+ y2-2 2x-2 2y+3=0，则 的最小值为( ) 12.已知圆C : x2+ y2=a2(a>0)与圆C : x2+(y-3)2=b2(b>0)外切，则a+b=
y 1 2
.
A. 2- 3 B. 2- 2 C. 2+ 2 D. 2+ 3
13.已知平面α的一个法向量为m=(1,1,t),t∈R，点 P(-2,0,0)，Q(0,0,-2)
8.在正四面体ABCD中，AB=2 3，E，F，M分别为棱AB，AD，BD的中点，
均在平面α内，则点A(-1,-1,2)到平面α的距离为 .
若C，E，F，M均在球O的球面上，则球O的表面积为( )
- 1 - - 2 -x2 y2
14.设F ,F 分别为双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在C的
1 2
a2 b2
右支上，直线PF 与C的右支的另一个交点为Q，若|PF|=|PQ|， cos∠F PF =
2 1 1 2
7
，则C的离心率为 .
9
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
15.已知抛物线C:x2=2py(p>0)经过点 -3,
2
18.如图，在四边形 ABCD 中， AB = AD = 2， BC = CD = 5， ∠BAD = 60°，将
△BCD沿BD翻折至△BPD，使点C落在点P的位置，且 AP= 7.点M,Q满足
PM =BA，PQ=BD，连接AM,DQ,MQ.
(1) 证明：AP⊥BD；
(2) 求平面APD与平面MPQ的夹角的余弦值；
(3) 若点E是线段DQ的中点，求直线PE与平面DQM所成角的正弦值.
.
(1) 求抛物线C的焦点F的坐标；
(2) 设直线l经过点(-2,0)，且斜率为k，若l与C有2个交点，求实数k的取值
范围.
x2 y2 2 5 5
19.已知椭圆 C : + = 1(a > b> 0)的离心率为 ，且 C 经过点 2,
16.已知圆C的半径为 2，圆心C(a,b)在直线 x=2上，b>0，且直线 x+ y-2 a2 b2 5 5
=0与圆C相切.
(1) 求圆C的标准方程；
4 10
(2) 若直线x-3y-m=0被圆C截得的弦AB的长度为 ，求实数m的值.
5
x2 y2
17.已知双曲线C: - =1(a>0)的渐近线方程为 y=± 2x.
a2 6
(1) 求a的值.
(2) 设O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线l与C交于A,B两点.
（I）若直线l的斜率为2，求|AB|；
4
（Ⅱ）若直线OA,OB的斜率之积为- ，求直线l的方程.
5
- 3 -
.
(1) 求椭圆C的标准方程.
(2) 已知点A(-3,0)，若平行于 y轴的直线交C于P,Q两点，直线AP与C的另
一个交点为B.
（Ⅰ）证明：直线BQ恒过定点D；
（Ⅱ）过（Ⅰ）中的定点 D 的直线与 C 相交于 M , N 两点（异于 C 的左、右顶
点），求△AMN的面积的最大值.
- 4 -
