文档内容
第 06 讲 用空间向量研究距离、夹角问题
模块一 思维导图串知识 1．掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题；
模块三 核心考点举一反三 2．掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与
模块四 小试牛刀过关测 平面所成的角、二面角的大小；
3．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用，
提升数学运算和直观想象的核心素养.
知识点 1 用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为 ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 在直线l上的投影向
量为 ，则点P到直线l的距离为 （如图）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离
求得.
2、点到平面的距离
已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的任一点， 是平面 外一点，过点 作则平面 的垂线
，交平面 于点 ，则点 到平面 的距离为 （如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
ABn
直线 与平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量．
a |n | Aa,B n
ABn
两平行平面 之间的距离：d ，其中 ， 是平面 的法向量．
, |n | A,B n
知识点 2 用向量法求空间角
1、异面直线所成角
若 分别为直线 的方向向量， 为直线 的夹角，则 .
2、直线与平面所成角
1、夹角定义：设 是直线 的方向向量, 是平面 的法向量,直线与平面的夹角为 ．则
．
2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．
3、求两条异面直线所成角的两个关注点
（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
（2）范围：异面直线所成角的范围是 ，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．
3、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为这两
个平面的夹角.
若 分别为平面 的法向量， 为平面 的夹角，则 .
【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。
考点一：求点到直线的距离
例1．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知 ，
则点A到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线 过点 ，且方向向量为 ，则点
到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中 ，
， ， （ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知正方体 的棱长为 是棱 的中点，若
点 在线段 上运动，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点二：求点到平面的距离
例2. （23-24高二上·陕西渭南·月考）已知平面 的一个法向量 ，点 在平面
内，则点 到平面 的距离为（ ）
A．10 B．3 C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
点 分别为 的中点， 是线段 的中点， ，则直线 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（22-23高二下·江苏淮安·期中）在边长为1的正方体 中．平面 与平面
之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱 所有棱长均为 ， ，
侧面 与底面 垂直， 、 分别是线段 、 的中点．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： ；
(2)若点 为棱 上靠近 的三等分点，求点 到平面 的距离．
考点三：利用空间向量求线线角
例3. （23-24高二下·广西南宁·月考）已知点 ， ， ， ，则异
面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）在三棱锥 中，已知 平面
分别为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二下·江苏宿迁·月考）如图，在直三棱柱 中， ，
，M是 的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若 ，则
异面直线CM与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式3-3】（23-24高二上·江西·月考）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生
在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其
直观图如图所示， ， ， 、 、 、 分别是棱 、 、 、
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
考点四：利用空间向量求线面角
例4. （23-24高二上·广东湛江·月考）直线 的方向向量与 共线，平面 的一个法向量为
，则直线 和平面 的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·安徽亳州·月考）将边长为1的正方形 及其内部绕 旋转一周形成圆
柱，如图， 长为 ， 长为 ，其中 与C在平面 的同侧，则直线 与平面 所成
的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24高二下·辽宁·月考）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
分别是棱 ， ， 的中点， ， ，则直线 与平面 所成角的余弦值为
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24高二下·广西·月考）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里
面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆
形的柱体．若 垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 为弧 的中点，则直线
与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点五：利用空间向量求二面角
例5. （23-24高二上·浙江·期中）正方体 中，二面角 的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是
底面边长的 倍， 平面 ， 为侧棱 上的点，则二面角 的余弦值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【变式5-2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）在三棱锥 中，平面 平面
是 的中点. ，则二面角 的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24高二下·甘肃武威·月考）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ，底面
是正方形， 是 的中点， 在线段 上，且 .
(1)求证：
(2)求平面 与平面 所夹二面角余弦值.
考点六：空间角的探索性问题
例6. （23-24高二上·江西新余·期末）在四棱锥 中，已知 ， ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司， ， ， 是线段 上的点．
(1)求证： 底面 ；
(2)是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【变式6-1】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
， ， ，点 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成的角正弦值为 ，若存在求出 的长，
若不存在说明理由.
【变式6-2】（23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱 的底面是菱形，
，且直线 与平面 所成角为 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求直四棱柱 的高；
(2)在棱 上是否能找到一点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ？若能，求出 的值；
若不能，说明理由．
【变式6-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图1， ， ，且 ，D是
中点，沿 将 折起到 的位置（如图2），使得 ．
(1)求证：面 面 ；
(2)若线段 上存在一点M，使得平面 与平面 夹角的余弦值是 ，求 的值．
一、单选题
1．（23-24高二上·广东佛山·月考）已知点 ， ， ，则点 到直线 的距离为
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．2
2．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量 ，且 平面 平面 ，若平
面 与平面 的夹角的余弦值为 ，则实数 的值为（ ）
A． 或－1 B． 或1 C．－1或2 D．
3．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ，
的中点， 为棱 上的一点，且 ，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知 是圆锥 的底面直径，C是底面圆周上的点， ，
， ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体 中， 分别是 的中点，
则直线 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二上·吉林长春·期中）如图，在正三棱柱 中， ，则平面 与平面
夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司二、多选题
7．（23-24高二上·山西大同·期末）已知空间四点 ， ， ， ，则下列四
个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
8．（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体 的棱长为1，点E，O分别是 ，
的中点，点P在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．BE与 所成角的正弦值是 B．点O到平面 的距离是
C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
三、填空题
9．（23-24高二下·江西·月考）设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
与平面 所成角的大小为 .
10．（23-24高二下·河南濮阳·月考）如图，已知正方体 的棱长为1， 为棱 的中点，
则点 到平面 的距离为 ．
11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若 ， ，
，则点 到平面 的距离为 .
四、解答题
12．（22-23高二上·广东东莞·月考）如图，在正方体 中，已知棱长为4，点E，F分别在
， 上， .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求异面直线AE和 所成角的余弦值;
(2)求直线AE和平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 和平面 所成角的余弦值.
13．（23-24高二下·江苏泰州·月考）如图，在三棱柱 中， ，侧面
是正方形，二面角 的大小是 ．
(1)求 到平面 的距离．
(2)线段 上是否存在一个点D，使直线 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的长；若不存
在说明理由．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
