文档内容
南京市 2025－2026 学年度第一学期期中学情调研测试
高二数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
正确的．
1．已知i为虚数单位，则 5 ＝
2－i
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，k)．若a⊥b，则实数k＝
A．－4 B．－1 C．1 D．4
3．在正方体ABCD－A B C D 中，AC与BC 所成角的大小为
1 1 1 1 1
A．30º B．45º C．60º D．90º
4．已知方程 x2 ＋ y2 ＝1(m∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为
4－m 2＋m
A．(－2，1) B．(1，4) C．(－2，4) D．(－∞，－2)
5．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则
密码被破译的概率为
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
6．若直线l与抛物线：x2＝4y交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则直线l的斜
率为
A．－1 B．1 C．1 D．2
2
7．已知双曲线C：x2－y2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P是C右支上一点，
1 2
a2 b2
3
PF ＝F F ．若点F 到直线PF 的距离为 b，则C的离心率为
2 1 2 2 1
2
4 5 7
A． B． C．2 D．
3 3 3
8．若圆C ：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)上存在点P，其关于y轴的对称点Q在圆C ：(x＋2)2＋(y－
1 2
2)2＝1上，则r的取值范围为
A．[ 5－1， 5＋1] B．( 5－1， 5]
C．[1， 5] D．(1， 5＋1]
高二数学试卷 第1页
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的
A．中位数为4 B．平均数为5 C．方差为22 D．60百分位数为4
7
10．已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝3，cos(α－β)＝4，则
5 5
A．cosαcosβ＝1 B．tanαtanβ＝1
10 7
C．sin2αsin2β＝7 D．tanα＋tanβ＝8
25 7
11．已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点P满足：PA－PB＝2 3，记点P的轨迹为曲线C，则下
列说法正确的是
x2
A．曲线C的方程为 －y2＝1(x≥ 3)
3
3
B．曲线C与直线y＝ x没有公共点
3
C．点P到点(3，0)距离的最小值为3－ 3
D．过点B且倾斜角为45º的直线与C交于M，N两点，则△AMN的周长为8 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．两条直线3x－2y－6＝0与3x－2y＋7＝0间的距离为___▲_____．
13．已知椭圆C：
x2
＋
y2
＝1的左、右顶点分别为A，B．若过点A且斜率为1的直线与C交于
4 2 2
另一点D，则△ABD的面积为___▲_____．
14．已知正方体ABCD－A B C D 的棱长为2，则以B为球心，2为半径的球面与正方体的截
1 1 1 1
面ACC A 的交线长为____▲____．
1 1
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
2 3
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2＝ acsinB．
3
（1）求B；
（2）若b＝ 7，cosA＝2 7，求c．
7
高二数学试卷 第2页
学科网（北京）股份有限公司16．(本小题满分15分)
已知圆C的圆心在直线3x＋2y＝0上，且圆C与x轴的交点分别为A(－2，0)，B(6，0)．
（1）求圆C的方程；
（2）过点B的直线l交圆C于另一点D，连接AD．若AD＝AB，求直线l的方程．
17．(本小题满分15分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD＝2AB＝4，G为PD中点，点E，
F在线段BC上，BE＝CF＝1．
（1）证明：FG∥平面PAE；
（2）若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，AE⊥BC，求点A到平面EFG的距离．
P
G
A
D
B E F C
(第17题)
高二数学试卷 第3页
学科网（北京）股份有限公司18．(本小题满分17分)
已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，P(m，n)是C上的动点．当
PF⊥x轴时，△OFP的面积为1．
（1）求C的方程；
（2）设过F且与直线PF垂直的直线交l于点A(A不在x轴上)，直线PA交y轴于点B，记
B(0，t)．
①求n的值；
t
②证明：BF平分∠OFP．
19．(本小题满分17分)
x2 y2 2
已知O为坐标原点，椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)过点P(－2，1)，离心率为 ．过点(－2，0)
a2 b2 2
且与坐标轴不垂直的直线l交C于点A，B．
（1）求C的方程；
（2）当OA⊥OB时，求l的方程；
（3）设直线PA与直线m：x＝－3交于点T，记直线TA，TB的斜率分别为k ，k ，试探究k
1 2 1
－k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2
高二数学试卷 第4页
学科网（北京）股份有限公司南京市 2025－2026 学年度第一学期期中学情调研测试
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是正确的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C A C C B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AC BCD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13 13．8 14． 2π
3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题13分)
2 3 a2＋c2－b2 3
解：（1）由 a2＋c2－b2＝ acsinB，得cosB＝ ＝ sinB，································2分
3 2ac 3
所以tanB＝ 3． ·····························································································4分
π
因为0＜B＜π，所以B＝ ． ··············································································6分
3
（2）方法1
因为cosA＝2 7，A∈(0，π)，所以sinA＝ 1－cos2A＝ 21，····································8分
7 7
所以sinC＝sin(π－A－B)＝sinAcosB＋cosAsinB= 21×1＋2 7× 3＝ 3 21 ． ·············10分
7 2 7 2 14
c b c 7
由 ＝ ，即 ＝ ，得c＝3． ·····························································13分
sinC sinB 3 21 3
14 2
方法2
因为cosA＝2 7，A∈(0，π)，所以sinA＝ 1－cos2A＝ 21． ···································8分
7 7
7
a b a
由 ＝ ，即 ＝ ，得a＝2． ·······························································10分
sinA sinB 21 3
7 2
高二数学试卷 第5页
学科网（北京）股份有限公司由b2＝a2＋c2－2accosB，即( 7)2＝4＋c2－2c，
得c2－2c－3＝0，解得c＝3或－1(舍)． ····························································13分
16．(本小题15分)
解：（1）由圆心C在线段AB的中垂线上，即x＝2． ···················································2分
又因为圆心C在3x＋2y＝0上，所以两条直线的交点(2，－3)即为圆心C． ··············· 4分
因此，圆C的半径r＝ (2＋2)2＋32＝5． ···························································· 6分
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25． ····························································7分
（2）方法1
因为AB＝AD，所以AC⊥BD．·········································································10分
－3－0 3 4
因为k ＝ ＝－ ，则k ＝ ． ······························································13分
AC BD
2－(－2) 4 3
4
所以直线BD的方程为y＝ (x－6)，即4x－3y－24＝0． ·······································15分
3
方法2
因为AB＝AD，所以B，D均在圆A：(x＋2)2＋y2＝64上，·····································10分
即x2＋y2＋4x－60＝0．①
圆C的方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25可化为x2＋y2－4x＋6y－12＝0．②
①－②得8x－6y－48＝0，···············································································13分
即直线BD的方程为4x－3y－24＝0．································································15分
17．(本小题15分)
证明：（1）取PA的中点M，连结GM，EM． P
1
因为G是PD中点，所以MG∥AD，且MG＝ AD．······························M···········G······
2
因为四边形ABCD为平行四边形，所以EF∥AD． A D
1
又因为AD＝4，BE＝CF＝1，所以EF＝2＝ AD，
2
B E F C
所以EF∥__MG，因此四边形EFGM为平行四边形，
所以FG∥EM． ····························································································· 4分
又因为FG平面PAE，EM平面PAE，所以FG∥平面PAE．·································· 6分
（2）方法1
作AH⊥EM于H，由（1）知平面EFG即为平面EFGM．
因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC．
又因为AE⊥BC，PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAE． ············································8分
因为AH平面PAE，所以BC⊥AH．
高二数学试卷 第6页
学科网（北京）股份有限公司P
又因为AH⊥EM，BC∩EM＝E，所以AH⊥平面EFGM，
M G
所以AH即为点A到平面EFG的距离． ····························································
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD中，所以PA⊥AE． H A
D
1
在Rt△AEM中，AE＝ AB2－BE2＝ 3，AM＝ PA＝1，
2
B E F C
所以EM＝ AE2＋AM2＝2，
AM·AE 3
所以AH＝ ＝ ． ·················································································15分
EM 2
方法2
连结AF，AG．
P
因为PA⊥平面ABCD，G为PD中点，PA＝2，
G
所以G到平面AEF的距离为1．···················································M······················
A
因为AE⊥BC，所以AE＝ AB2－BE2＝ 3， D
所以S ＝1×2× 3＝ 3，
△AEF
2 B E F C
所以V ＝1×S ×1＝ 3．……………………………………………………10分
G－AEF △AEF
3 3
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥EF．
又因为EF⊥AE，PA∩AE＝A，所以EF⊥平面PAE．
因为EM平面PAE，所以EF⊥EM．
又因为FG∥EM，所以FG⊥EF．
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD中，所以PA⊥AE．
在Rt△MAE中，所以EM＝ AE2＋AM2＝2，所以FG＝2，
所以S ＝1×2×2＝2． ··············································································13分
△EFG
2
设A到平面EFG的距离为h，
由V ＝V ，即1×2×h＝ 3，得h＝ 3 ，
A－EFG G－AEF
3 3 2
3
所以点A到平面EFG的距离为 ． ································································· 15分
2
18．(本小题17分)
解：（1）当PF⊥x轴时，x ＝p，代入y2＝2px，得y ＝±p． ········································2分
P P
2
所以S ＝1×p×p＝1，解得p＝2，
△OFP
2 2
所以C的方程为y2＝4x．………………………………………………………………………4分
（2）①由（1）知，l方程为x＝－1．
高二数学试卷 第7页
学科网（北京）股份有限公司因为P(m，n)在抛物线C上，即n2＝4m，
所以k ＝ n ＝ 4n ．………………………………………………………………………5分
PF
m－1 n2－4
因为AF⊥PF，所以k ＝4－n2＝ y A ，解得y ＝n2－4，
AF A
4n －2 2n
n－n2－4
所以k AP ＝ 2n ＝2．………………………………………………………………………7分
n
n2＋1
4
由PA的方程为y－n＝2(x－n2 )，得y＝2x＋n．
n 4 n 2
令x＝0，可得t＝n，所以n＝2． ······································································· 9分
2 t
②方法1
记直线PA与x轴的交点为D，由①可知B为DP的中点．····································· 11分
由抛物线的定义可得PF＝m＋1＝n2＋1． ·························································· 13分
4
在直线PA：y＝2x＋n中，令y＝0，可得x ＝－n2． ·············································15分
D
n 2 4
于是DF＝1－(－n2 )＝n2＋1＝PF，
4 4
所以BF平分∠OFP． ····················································································17分
方法2
易得tan∠OFP＝－k ＝ 4n ，········································································11分
PF
4－n2
n
tan∠OFB＝－k BF ＝－ 2 ＝n． ········································································ 13分
2
－1
n
2·
因为tan2∠OFB＝ 2tan∠OFB ＝ 2 ＝ 4n ，···············································15分
1－tan2∠OFB 4－n2
1－(n)2
2
所以tan2∠OFB＝tan∠OFP．
因为2∠OFB，∠OFP∈(0，π)，所以2∠OFB＝∠OFP，
因此BF平分∠OFP． ····················································································17分
方法3
直线PF的方程为y＝ 4n (x－1)，即4nx＋(4－n2)y－4n＝0． ·······························11分
n2－4
高二数学试卷 第8页
学科网（北京）股份有限公司|0＋(4－n2)n－4n|
点B到直线PF的距离d＝
2
＝
|n|
． ···········································15分
2
16n2＋(4－n2)2
因为BO＝
|n|
，所以B到∠OFP两边的距离相等，所以BF平分∠OFP．·················17分
2
19．(本小题17分)
4 1
解：（1）由椭圆C过点P(－2，1)，得 ＋ ＝1．························································2分
a2 b2
由c＝ 2 ， a2＝b2＋c2，解得a2＝6，b2＝3，
a 2
x2 y2
因此C的方程为 ＋ ＝1． ··············································································4分
6 3
（2）设l：x＝my－2，A(x ，y )，B(x ，y )．
1 1 2 2
x＝my－2，
联立
x2
＋
y2
＝1，消去x，得(m2＋2)y2－4my－2＝0，
6 3
4m －2
则y ＋y ＝ ，y y ＝ ．(*)·····································································6分
1 2 1 2
m2＋2 m2＋2
→ →
因为OA⊥OB，所以OA·OB＝x x ＋y y ＝0，························································7分
1 2 1 2
即(my －2)(my －2)＋y y ＝0，则(m2＋1)y y －2m(y ＋y )＋4＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
－2 4m
所以(m2＋1)×( )－2m× ＋4＝0，
m2＋2 m2＋2
得m2＝1，解得m＝±1．
因此l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0． ······················································ 10分
y －1 y －1
（3）因为P(－2，1)，A(x ，y )，所以k ＝ 1 ，得PA：y－1＝ 1 (x＋2)．
1 1 1
x ＋2 x ＋2
1 1
x －y ＋3 x －y ＋3
令x＝－3，得y＝ 1 1 ，即T(－3， 1 1 )，·············································12分
x ＋2 x ＋2
1 1
x －y ＋3
所以k 2 ＝
1
x 1 ＋
1
2
－y
2 ＝ (x 1 ＋2)y 2 －x 1 ＋y 1 －3 ， ·················································13分
－3－x (x 1 ＋2)(x 2 ＋3)
2
y －1 (x ＋2)y －x ＋y －3
所以k －k ＝ 1 － 1 2 1 1
1 2
x ＋2 (x ＋2)(x ＋3)
1 1 2
＝ y 1 －1 － my 1 y 2 －(m－1)y 1 －1 ＝ y 1 －y 2 ． ························································15分
my my (my ＋1) my y ＋y
1 1 2 1 2 1
y －y
1 1 2
又因为my y ＝－ (y ＋y )，所以k －k ＝ ＝2为定值． ·····················17分
1 2 2 1 2 1 2 － 1 (y ＋y )＋y
1 2 1
2
高二数学试卷 第9页
学科网（北京）股份有限公司
