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河北省邢台市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．在直三棱柱 中， .若点 满足 ，且点 在平面
内，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．已知圆 ，其中 ，下列各点中一定在圆C内的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
4．过点 的直线的倾斜角 的范围是 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． 或 D．
5．如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在 上， ，点 为 中
点，则 等于（ ）
A．B．
C．
D．
6．二面角的棱上有 、 两点，直线 、 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ．已
知 ，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆 和点 ， 为坐标原点，若圆 上存在点 满足
，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，且点B和点D到平面 的
距离均为 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点 和圆O： ，则下列选项正确的有（ ）
A．若点P在圆O内，则直线 与圆O相交
B．若点P在圆O上，则直线 与圆O相切
C．若点P在圆O外，则直线 与圆O相离D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则
10．已知圆 ，直线 ．则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
B．对于任意实数m，直线l恒过定点（ 1，1）
C．若圆C与圆 恰有三条公切线，则
D．若动点D在圆C上，点 ，则线段 中点M的轨迹方程为
11．如图，棱长为3的正方体 ，动点 在正方体 内及其边界上运动，点
在棱 上，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则三棱锥 体积为定值
B．若 ，则动点 所围成的图形的面积为
C．若 ，则 的最小值为3
D．若动点 满足 ，则 的轨迹的长度为
三、填空题
12．人教 版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系 中，已知向量
，点 ，若平面 经过点 ，且以 为法向量，点 是平面内的任意一点，则平面 的方程为 ．现已知平面 的方程为 ，直线 的方
向向量为 ，则直线 与平面 所成角是 ．
13．已知曲线 ，若圆 与 都相切，则圆 的标
准方程为 .
14．若过圆 内不同于圆心的点 恰好可以作5条长度为正整数的弦，则符合条件的点 构
成的区域的面积为 ．
四、解答题
15．如图，在边长为3的正方形 中， 分别在边 上， ，将 沿 翻
折，使得点 与点 重合，且平面 平面 ，
(1)证明： 平面 且 .
(2)求平面 与平面 的夹角.
16．已知 、 、 为圆 上的三点．
(1)求圆 的方程；
(2)若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程．
17．如图，四棱锥 中， 底面 ， ．(1)若 平面 ，证明： ；
(2)若 四点共圆，且二面角 的余弦值为 ，求 ．
18．如图，正方体 的棱长为 ， ， 是棱 ， 上的点，且 （
）．
(1)证明：过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形；
(2)若 ，求直线 与 所成角的余弦值；
(3)设平面 与平面 的夹角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，平面 与平面 的
夹角为 ，证明： ．
19．在平面直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：若 上存在两个不同的点 ，对于
上任意满足 的两个不同的点 ，都有 ，则称点 是 的关联点，称
的大小为点 与 的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）(1)如图， 的半径为1．
①在点 中，点__________是 的关联点且其与 的关联角度小于 ，该点
与 的关联角度为__________ ；
②点 在第一象限，若对于任意长度小于1的线段 ， 上所有的点都是 的关联点，则 的
最小值为__________；
(2)已知点 ， 经过原点，线段 上所有的点都是 的关联点，记这些点与 的
关联角度的最大值为 ．若 ，直接写出 的取值范围．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D B B C A BD BCD
题号 11
答案 ABD
1．B
根据空间向量共面的性质列式求解.
【详解】 ，且点 在平面 内，
.
故选：B.
2．A
利用代入验证法确定正确答案.
【详解】由圆 ，可知 ，即 ，
，A选项正确，
，不一定小于0，B选项错误，
，不一定小于0，C选项错误，
，不一定小于0，D选项错误.
故选：A
3．B
理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得.
【详解】对于A，因 ，即 共面，故A不合题意；对于B,因 ， ， 其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故 ， ， 不共面，
即B符合题意；
对于C，因 ，即 ， ， 共面，故C不合题意；
对于D，因 ，即 ， ， 共面，故D不合题意.
故选：B.
4．D
当 时，满足题意；当 时，解不等式 或 ，综合即得解.
【详解】当 时，直线的倾斜角为 ，满足题意；
当 时，直线 的斜率为 或 ，
所以 或 ，
所以 或 .
综合得实数 的取值范围是 .
故选：D.
5．B
根据向量减法的几何意义、向量数乘的几何意义及向量的数乘运算进行运算即可.
【详解】因为 ， 为 中点， ， ， ，
所以 .
故选：B
6．B
【详解】如图，二面角 的棱上有 、 两点，
平面 、 平面 ，在平面 内做 ，且 ，
连接 ，则四边形 是长方形，
所以 为二面角 的平面角，设为 ，
由 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，由 ，可得 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
7．C
利用已知求出点 的轨迹方程，再利用两圆的几何关系即可求出的最大值.
【详解】设 ，由 可得 ，
整理得 ，
∴点 在圆 上，且圆心为 ,半径为 ，
又∵点 在圆 上，
∴圆 与圆 有公共点，
∴ ，且 ,
∴ ，
则的最大值为 ，
故选： .
8．A
根据点到面的距离的性质，结合面面垂直的判定定理，得到E，A，F三点共线，根据三角关系，得到 ，
， 到平面 的距离，进而得直线 与平面 的夹角正弦值，求出平面 与平面 的夹角的余弦值.
【详解】点B和点D到平面 的距离相等，故 平面 ，
而 为平面 法向量，故平面 平面 ，
分别过C， 作平面 的垂线，垂足为E，F，如图，则E，A，F三点共线，
由 ，且 与 中点重合可知 ．
因此 ， ，故 ，
进而由 易知点 到平面 的距离为 ，
又因为 与 中点重合，且 平面 ，
因此点 到平面 的距离为 ，而点 到平面 的距离为 ，
且 ，故直线 与平面 的夹角正弦值为 ，
易知直线 与平面 垂直，故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
故选：A
9．BD
根据圆心到直线的距离即可结合选项求解ABC，根据勾股定理即可求解D.
【详解】对于A，点 在圆 内，则 ，
又点 到直线 的距离 ，
直线 与圆 相离，故A错误；对于B， 点 在圆 上， ，
又点 到直线 的距离 ，故 与圆 相切，
,故B正确；
对于C，点 在圆 外，则 ，
又点 到直线 的距离 ，
直线 与圆 相交，故C错误；
若直线 与圆 相切，则点 在圆 外，所以 ，故D正确．
故选：BD．
10．BCD
对于A，通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆
有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出 的值，对于D，设 的中点为 ，则可得动点D的坐标
为 代入圆C方程中化简可得答案
【详解】对于A，圆 的圆心为 ，半径 ，当 时，直线 ，则
圆心 到直线 的距离为 ，因为 ，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于
1，所以A错误，
对于B，由 ，得 ，由于 ，所以 ，得
，所以直线 恒点 ，所以B正确，
对于C，因为圆C与圆 恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得 ，所以 ，解得 ，所以
C正确，
对于D，设 的中点为 ，则可得动点D的坐标为 ，因为动点D在圆C上，所以
，化简得 ，所以线段 中点M的轨迹方程为 ，所
以D正确，
故选：BCD
11．ABD
运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利
用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度.
【详解】对于A，因为动点 在正方体 内及其边界上运动，
且 ， ，则动点 的运动轨迹为线段 .
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
故三棱锥 的体积为定值，A正确.
对于B，在正方形 中， .
在正方体 中，因为 平面 ，又 平面 ，所以 .
因为 ， ， ，且 ， 平面 ，所以 平面 .
动点 在正方体 内及其边界上运动，且 ，
所以动点 围成的图形是矩形 ，其面积为 ，故B正确.
对于C，设 边 上的高为 ，则 .
由正弦定理可得 ，所以 ，故 .
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系.则 ， ， .
设 ， ， ， ，则 ， .
又 ，则有 ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以 为球心， 为半径且位于正方体内的部分球面.
又 ，所以 ，故C错误.
对于D，由 ，设 ， ， ，则 ，
即 ，化简得 ，表示以 为球心，半径为 的球.
又 ， ，则 ，即 ，
化简得 ，表示以 为球心，半径为 的球.
两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为 ，半径均为 ，
则交线圆弧对应的圆心角为 ，长度为 ，故D正确.
故选：ABD
12． /根据平面 的方程可得法向量，利用线面角的向量公式计算即可.
【详解】因为平面 的方程为 ，所以平面 的一个法向量 ，
又直线 的方向向量 ，设直线 与平面 所成角为 ， ，
所以 ，则 .
故答案为： .
13．
由 ，得 ，由 ，得 ，由 ，
得 ，画出曲线 的图像，利用对称性可设 ，即
，解出即可.
【详解】由 ，得 ，则曲线 表示圆 的上半部分，
由 ，得 ，则曲线 表示圆 的上半部分，
由 ，得 ，则曲线 表示圆 的上半部分，
画出曲线 ，如图所示.根据对称性可知，圆 的圆心在 轴的正半轴上，
设圆 的标准方程为 ，则 ，解得 ，
故圆 的标准方程为 .故答案为： .
14．
根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点 的最短弦长的取值范围，从而得到点 与圆心 之间距
离的取值范围，得到符合条件的点 的区域，进而得到面积.
【详解】由 得 ，所以圆 的圆心为 ，半径 ，
因为直径是最长的弦，所以点 在圆内，过点 的弦中，直径是最长的弦，长度为 ，
以下分析过点 的最短的弦，
由垂径定理知， ，其中 为圆心 到弦 的距离，
要使得 最短，则 最大，
由图可知， ，当 弦 时取到等号，所以当 弦 时， 最大，弦长 最短，
根据圆的对称性，这 条长度为正整数的弦长度分别是 ，
要使得有两条长度为 的弦，则最短弦长小于 ，要使得没有长度为 的弦，则最短弦长大于 ，
因此，过点 的最短的弦长 ，因为弦长最短时 弦 ，所以 ， ，
，
所以点 落在以 为圆心，半径分别为 和 的圆所夹的圆环内，
所以该区域的面积为 ，
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
（1）由线面平行的判定定理可证明 平面 ，由面面垂直的性质定理可得 ，计算得到
的值，由勾股定理求得 的值；
（2）以 为坐标原点， 的方向分别为 轴､ 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量计算
二面角可得结果.
【详解】（1）证明：因为 平面 平面 ，所以 平面 .
取 的中点 ，连接 .
因为 ，所以 ，则 ，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，所以 .因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）以 为坐标原点， 的方向分别为 轴､ 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则
所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 令 ，得 .
由 ，得 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
16．(1)
(2) 和（1）利用待定系数法求圆的方程.
（2）分直线 有无斜率讨论.当直线 有斜率时，利用几何法求弦 的长度，再利用点到直线的距离公式
求点 到直线 的距离，列出 的面积公式，结合给出的 的面积列式可求直线 的斜率，进而得
所求直线的方程.
【详解】（1）设所求圆的方程为 ，
则 ，解得 .
所以，圆 的方程为： .
（2）如图：
若直线 不存在斜率，则根据对称性得 ，
此时 ，点 到直线 的距离为 ，所以 .
所以直线 不为所求.
若直线 存在斜率，设为 ，则直线 ： ，即 .
圆心 到直线 的距离为： ，
所以弦 的长度为 .由点 到直线 的距离为： .
所以 .
由
所以 或 .
由
.
因为 ，
所以 ，
所以
或 .
由 ，
此时 ，
所以方程 无解.
综上 或 ，所以直线 的方程为： 或 ，
即 或 .
17．(1)证明见解析
(2)
（1）根据题意，证得 和 ，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，再由线面平
行的性质定理，证得 ，得到 平面 ，进而证得 .
（2）以 为原点，过点 平行 的直线为 轴，建立坐标系，设 ，分别求得平面 和
平面 的法向量 和 ，结合向量的夹角公式，列出方程，求得 的值，即可
求解.
【详解】（1）证明：在 中，因为 ，
可得 ，所以 ，
又因为 底面 ，且 底面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ，因为 四点共圆，可得 ，
以 为原点，以 所在直线分别为 轴和 轴，过点 平行于 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则 ，
设 ，则 ，即 ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 的长为 .
18．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
（1）由正方体的结构特征，结合平行四边形判定、性质及平行公理推理得证.
（2）以 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦.
（3）由（2）中坐标系，利用面面角的向量求法求出 ，即可计算得证.
【详解】（1）在正方体 中，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
由 ，得四边形 是平行四边形，则 ，
又 ，则 ，四边形 是平行四边形，
因此 ，又 ，则四边形 为平行四边形， ，
于是 ，四边形 为平行四边形，
所以过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形.
（2）以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
因此 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
（3）依题意， 平面 平面 ，
则平面 的法向量可取为 ，平面 的法向量可取为 ，
而 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
则 ，
又平面 的法向量为 ，则 ，
所以 .19．(1)① ， ；②
(2)
【详解】（1）①根据定义可得：当 在 上时，不存在都有 ，当 在 内部时过 的
直径 使得 的关联角度为 ，当 在 的外部时，且 为 的切线时， 大；
如图， 是 的关联点且其与 的关联角度小于 ， 与 的关联角度为 ， 与 的关联
角度大于 ，
∵ ， 的半径为 ，∴ ，且 是 的切线，
∴ ，∴
∴ ，即与 的关联角度为 .
故答案为： ， ．
②根据定义可得 为 外一点，
∵ ， 的半径为 ，∴ ，当 时，
如图，取点 ，则 ，∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
（2）由（1）可得，当 在圆的外部时，且 为圆的切线时， 最大，点 距离圆心最近.
∵ ，∴当 时，由 ，如图，
∴四边形 是矩形，
由∵ ∴四边形 是正方形， ∴
当 时，
∵点 ， 经过原点，线段 上所有的点都是 的关联点，则 ，
∴ 上距离 最近的点在 的圆环内.
①若线段 均 内，线段 上所有的点都是 的关联点，这些点与 的关联角度的最大值均为若
，如图，则 .
②若线段 均在 外，则 上距离 最近的点在 的圆环内.
当 时，如图：
则 ；
当 时，如图：
则 .
综上可知： 或 或 .
