文档内容
2025—2026 学年度上学期 2024 级
10 月月考数学试卷
命题人：朱鑫 审题人：余会林
一、单选题
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出复数 ，再利用复数的模长公式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
2. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择 类图书的概率为 ，选择 类图书的概率为
两类图书都不选的概率为 ，则 两类图书都选的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解.
【详解】设事件 “读者选择 类图书”， 事件 “读者选择 类图书”，则 ，
可得 ，
又 ，
所以 .
故选： .
3. 已知 是空间的一个基底，向量 ， ， ，且A，B，C，D
四点共面，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据四点共面可得存在实数 ，使得 ，结合空间向量基本定理运算求解.
【详解】因为A，B，C，D四点共面，
则存在实数 ，使得 ，
又因为 是空间的一个基底，且 ，
则 ，解得 .
故选：B.
4. 在平面直角坐标系中，已知点 是线段 上的动点，则 的取值范围是（
）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知： 表示点 与点 连线的斜率，结合图象分析斜率的
取值范围即可.
【详解】当 时， ；当 时， ，
所以线段 的最左端是 ，最右端是 ，
表示点 与点 连线的斜率，
当点 在点A处时， ；
当点 在点B处时， ；
结合图象可知， 的取值范围是 ．
故选：C．
5. 如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆
锥的母线长是4，侧面积是 ，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥的母线为 ，底面半径为 高为 ，根据题意列出方程求出 的值，再计算圆柱和圆锥
侧面积之和即可得解.
【详解】设圆锥 的母线为 ，圆锥的底面半径为 ，高为 ，
由圆锥的侧面积是 得 ，解得 ，
所以 圆柱的侧面积为 ，
故制作这样一个粮仓的用料面积为 .
故选：D.
6. 已知定点 和直线 ，则点P到直线l的距离d的最
大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线 所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案.
【详解】直线 ，由 ，解得 ，则直线 过定点 ，
所以点P到直线l的距离d的最大值为 .
故选：A7. 已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）.
.
A 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断AB，由面面垂直的性质定理即可判断C，利用线面垂直的
性质定理即可判断D.
【详解】对于A：若 ， ， ，则 或 与 异面或相交，故A错误；
对于B：若 ， ， ，则 或 相交，故B错误；
对于C：若 ， ， ，则 相交或 或 与 异面，故C错误；
对于D：若 ， ， ，则 ，故D正确.
故选：D.
8. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心
都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.
已知 的顶点 ，则 的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得 的重心 ，分别求得 和 的高线所在直线的方程，联立方
程组，求得垂心坐标为 ，结合直线的两点式方程，即可求解.【详解】由 的三个顶点分别为 ，
可得 的重心坐标为 ，即 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以 边上的高线所在直线的方程为 ，即 ，
同理可得 边上的高线所在直线的方程为 ，
又由 ，解得 ，即 的垂心坐标为 ，
由 的重心与垂心坐标，可得 的欧拉线方程为 ，
即 .
故选：D.
二、多选题
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 直线 在y轴的截距是2
B. 直线 的倾斜角为
C. 直线l的方向向量是 ，则直线l的斜率是
D. 点 在直线 上，则直线l方程为 ．
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，
根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断.【详解】A选项，令 ，则 ，即直线 在y轴的截距是 ，错误；
B选项，直线 化为 ，故直线 斜率是 ，
的
设倾斜角为 ，则 ，则 ，正确；
C选项，若直线l的放向向量是 ，则根据方向向量的定义可知，直线l的斜率是 ，错误；
D选项，点 在直线 上，则 ，即 ，
直线 可化为 ，正确.
故选：BD
10. 已知实数 满足圆的方程 ，则（ ）
A. 圆心 ，半径为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由圆的标准方程即可判断 A，由 解出即可判断 B，由 表示圆上点
到定点 的距离，计算圆心 到定点 的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用
圆的方程将 转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D.
【详解】对于A：由圆的方程 ，所以圆心为 ，半径为 ，故A错误；对于B：由 ，有 ，
所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C： 表示圆上点 到定点 的距离，
圆心 到定点 的距离为 ，
所以圆上点 到定点 的距离的最大值为 ，故C正确；
对于D：由 得 ，
所以 ，
令 ，由 在 单调递增，
所以 ，所以 的最大值为 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为1的正方体 中，下列命题正确的是（ ）
A. 平面 平面 ，且两平面的距离为B. 当点 在线段 上运动时，四面体 的体积恒等于四面体 的体积
C. 与正方体所有棱都相切的球的体积为
D. 若 是正方体的内切球的球面上任意一点， 是 外接圆的圆周上任意一点，则 的最小值
是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据面面平行的判定以及空间点面以及面面距离的求解判断 A；根据三棱锥的体积计算判断B；
确定球的半径即可求得球的体积，判断 C；将 的最小值转化为正方体的外接球和内切球半径之差，
判断D.
【详解】对于A，正方体 中， ，
即四边形 为平行四边形，故 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ，
同理可证 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ；
设B到平面 的距离为d， ，则 ,即 ，则 ；
同理求得 到到平面 的距离为 ；
连接 ，则 ，由于 平面 平面 ，
故 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ，
同理可证 ，而 平面 ，
故 平面 ，而平面 平面 ，则 平面 ，
又 ，
故平面 和平面 之间的距离为 ，A错误；
对于B，当点 在线段 上运动时，四面体 的体积为 ；
而四面体 的体积 ，
即当点 在线段 上运动时，四面体 的体积恒等于四面体 的体积，B正确；
对于C，与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长 ,
故该球体积为 ，C正确；
对于D，正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心，
外接球直径为 ，内切球直径为1；
而 外接圆为正方体外接球的一个小圆，故由 是正方体的内切球的球面上任意一点， 是 外接圆的圆周上任意一点，
得 的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即 ，D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要发挥空间想象能力，明确空间的点线面的位置关系，特别是选
项D的求解，求解两个动点之间的距离的最小值，要能想象出两动点分别在正方体的内切球和外接球上运
动，从而可求得距离的最小值.
三、填空题
12. 在平面直角坐标系 中，曲线 在圆周上，且 ， 中点
为 ，则 的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设 中点为 ，由直角三角形和圆的性质，有 ，
代入坐标化简可得结果.
【详解】曲线 是以原点O为圆心，3为半径的圆， 在圆内，
设 中点为 ，如图所示，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，化简得 .
即 的轨迹方程为 .
故答案为： .13. 过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为 ，由题意分 和 两类情况讨论，分别求
直线方程即可.
【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为 ，则
若 ，则直线过原点，又过点 ，则直线方程为： ；
若 ，则 ，可设直线方程为： ，
代入点 ，可得 ，解得 ，则直线方程为： .
综上：所求直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 的10个小球，每次随机抽取一
个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，
则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进 步的概率为 ，则 ______， ______．（用 表示 ）
【答案】 ①. ## ②. （ ）
【解析】
【分析】根据题意由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求得 ，求出递推公式
，即可得解.
【详解】由题意，前进1步的概率和前进2步的概率都是 ，所以 ， 所以 ；
当 时，其前进 步是由两部分组成：第一部分先前进 步，再前进1步，其概率为 ；
第二部分先前进 步，再前进2步，其概率为 ，所以 .
故答案 ：为 ； （ ）
四、解答题
15. 已知直线 和 的交点为P．
（1）若直线l经过点P且与直线 平行，求直线l的一般式方程；
（2）若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点， 为线段 的中点，求 的面积．
（其中O为坐标原点）．
【答案】（1）
（2）30
【解析】
【分析】（1）先联立两直线方程，求得 ，再由点斜式求出直线l的方程；（2）设直线m的方程为 ，分别表示出点 的坐标，利用线段中点公式求出 的值，即
得点 的坐标，进而可求得 的面积.
【小问1详解】
由 ，解得 ，即得 ，
由 可得其斜率为 ，
故过点P且与直线 平行的直线l的方程为 ，即 .
【小问2详解】
如图，设直线m的斜率为k ，其方程为 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，故 ， ，
因 为线段 的中点，则得 ，解得 ，
则 、 ．
故 面的积为 .
16. 如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是下底面圆周上一点，点 是线段 中点（1）证明：直线 平面
（2）若 ，三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）连接 ，令 ，连接DE，要证直线 平面 ，只要证
，根据三角形的中位线容易证得；
（2）根据已知求出相关线段长，再由 求棱锥体积.
【小问1详解】
连接 ，令 ，连接DE，则E是 、 的中点，
在△ 中D是线段BC中点，E是 的中点，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴直线 平面 ；【小问2详解】
设点 到平面 的距离为 ，
∵点 在底面圆上，
∴ ，
∵ ，D是BC的中点，
∴ ， ，
因为 是圆柱的轴截面，则 到AB的距离，即 到平面 的距离 ，
所以 .
17. 若 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
， 是边 上一点.
（1）求 外接圆的半径；
（2）若 是 的平分线，且 的周长为15，求线段 的长；
（3）若 ，且 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换求得 ，根据 即可求得外接圆的半径；
（2）先由题设及余弦定理求得 与 ，再根据平分线条件利用底面积法得到
即可求得 ；
（3）将 两边平方，结合余弦定理求得 ，即可求得面积.
【小问1详解】
由题意知 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
令 外接圆的半径为 ，
根据正弦定理可得 ，即
【小问2详解】
由（1）知 ，在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
∵ 的周长为15， ，∴ ，
所以 ，解得 ，
因为 ，
因为 是 的平分线，
所以
即 ，解得
【小问3详解】
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即
又 ，
解得
所以 .
18. 如图所示，直角梯形 中， ， 垂直 ， ，四边形
为矩形， ，平面 平面 .（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，线段 的长为
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用空间向量证明线面平行；
（2）求平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值；
（3）设 ，由线面角的向量求法求出 ，得到 坐标，求出 长度.
【小问1详解】
取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ，可得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 .
且 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
因为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
可得 ，
所以平面 与平面 夹角正弦值为 .
【小问3详解】
设 ，
则 ，可得 ，
因为平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上 ，即在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时线段
的长为 .
19. 如图，在直角坐标系 中， ，已知 为角 的终边上
一点，且 为角 的终边上一点，且 ，记 与矩形 重合的部分的面积
为 ．
（1）求 的解析式；（2）求 的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 为 中点，分 和 两种情况可求得 ；
（2）分 和 两种情况，利用换元法，结合函数的单调性可求得 的最大值.
【小问1详解】
设 为 中点，
①当 时，设 与 交于 与 交于 ，如下左图，
则 ，
②当 时，设 分别与 交于 ，如上右图，
则 ，综上所述， .
【小问2详解】
①当 时， ，
设 ，当 时， ，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
当 ，即 时， 取得最大值 ；
②当 时， ，
当 时， ，即 ，
，
综上所述，当 时， 取得最大值 .
