文档内容
贵州省黔东南苗族侗族自治州 2024-2025 学年高二上学期期末文化水
平测试数学试题
注意事项：
1.本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
将条形码贴在答题卡“考生条形码区”．
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答䅁标号涂黑.如需改动，
请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效．
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 在数列 中，若 ，则 （ ）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】利用递推关系，直接写出前6项.
【详解】解：由 ，
可以写出数列 的前6项： .
，
故选：C.
2. 已知直线 的倾斜角为 ，且过点 ，则在直线 上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得直线 的方程为 ，再验证.【详解】解：因为直线 的倾斜角为 ，且过点 ，
所以直线 的方程为 ，
当 时， .
故选：D.
3. 拋物线 的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的方程求出 的值，即得准线方程.
【详解】抛物线 的开口向右， ， 准线方程是 .
故选:A.
4. 若圆 的圆心为 ，则点 到直线 的距离为（ ）
.
A 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】因为圆 ，
所以圆心 的坐标为
则圆心 到直线 的距离为 .
故选：D.
5. 已知 ，若 平面 ，则 （ ）
A. 11 B. C. 3 D.【答案】B
【解析】
【分析】先利用线面垂直的性质可得 ， ，再根据数量积为零求出 最后根据模
长公式求解即可.
【详解】 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
可得 ，
解得 则
故选：B.
6. 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ）
A. 10 B. 9 C. 6 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得 的值.
【详解】因为数列 是各项都为正数的等比数列，则 ，
所以， ，则 ，故 .
故选：B.
7. 如图， ， 是平面上的两点，且 ，图中的一系列圆是圆心分别为 ， 的两组同心圆，
每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以 ，
为焦点的椭圆M上，则（ ）A. 点B和C都在椭圆M上 B. 点C和D都在椭圆M上
C. 点D和E都在椭圆M上 D. 点E和B都在椭圆M上
【答案】C
【解析】
【分析】由点A在椭圆上及椭圆定义求得 ，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上.
【详解】由同心圆及点A在以 ， 为焦点的椭圆M上得 ，故椭圆中 ，
∵ ， ， ，
.
故点D和E都在椭圆M上.
故选：C
8. 在三棱锥 中， 平面 ，点 分别为 , 的中点，
为线段AB上的点（不包括端点 ），若异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式解方程即得.
【详解】易知 两两垂直，故以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立
空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
因 ，故 ，又 ，
在直角三角形 中， ，则 ， ，
设 则 ，
，
解得 或 （舍去），
故 .
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，
有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分）
9. 已知等差数列 的通项公式是 ，则（ ）A. 等差数列 的公差 B. 数列 是递减数列
C. -100是数列 中的某一项 D. 数列 一定是等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】求出公差判断A；根据公差小于零判断B；令 判断C；根据等比数列的定义判断
D.
【详解】 等差数列 的公差 故A错误；
因为 ，所以数列 是递减数列，故B正确；
由 得 ，所以-100不是数列 中的某一项，故C错误；
，且 ， 数列 一定是等比数列，故D正确.
故选：BD.
10. 双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2.若 是面积为8的直角三角形，则（ ）
A. 点 必落在第四象限 B.
C. D. 是双曲线 的一条渐近线
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用条件结合图形易判断；对于B，由条件表示出 的三边，利用三角函数的定义
即得；对于C，由B项条件，根据 的面积，求得 ，再利用双曲线定义求出 的值，即可求出 的值；对于D，结合C项结论，可得双曲线方程，由其渐近线方程即可判断.
【详解】
对于A，如图，直线 的斜率为2，且 是直角三角形，故点 必落在第四象限，故A正确；
对于B，由题可知 设 ，
则 则 故 ，故В错误；
对于C，如B项所设， 得 ，
则 即 ，
由双曲线的定义可得： 则
故 ，即C正确；
对于D，由上分析，双曲线的方程为 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 故D错误.
故选：AC.
11. 如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则（ ）A.
B. 平面
C. 二面角 的平面角的正切值为
D. 点 到平面 的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】证明 平面 ，即可判断A；根据 ，而 与平面 相交，即可判断B；
取线段 的中点 ，即可得到 是二面角 的平面角，从而判断C，再利用等体积法
判断D.
【详解】因为四边形ABCD是正方形， 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ， ，故A正确；
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，而 与平面 相交，
所以 与平面 相交，故B错误；
取线段 的中点 ，则 ，又 为等边三角形，所以 ，所以 是二面角 的平面角，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，所以二面角 的平面角的正切值为 ，故C正确；
因为 是棱长为 的正四面体， ，
又 ，
点 到平面 的距离为 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：（1）求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足
作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
的
12. 大约2000多年前，我国 墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心
到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年.已知 是坐标原
点， ，若 ，则线段 长的最大值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用点和圆的位置关系结合给定条件求解即可.
【详解】因为 是坐标原点， ，所以点 在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上，由两点间距离公式得 ，则点 在圆外，故线段 长的最大值是 .
故答案为：3
13. 已知数列 的前 项和 ，则 ______.
【答案】15
【解析】
【分析】利用 求解即可.
【详解】因为 ，
所以
故答案为：15.
14. 已知三棱锥 的棱长均为2，且 是BC的中点，则 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】由 ，再利用数量积运算求解.
【详解】解： ，
，
.
故答案为：1
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知 三个顶点是 .
（1）求BC边所在直线的方程；（2）若BC边上中线AD的方程为 ，求点 的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC的斜率，即可求直线的点斜式方程，转化为一般式方程即
可.
（2）求得线段BC的中点 ，代入求得 ，又点 在中线AD上，可求得点 的坐标.
【小问1详解】
，
直线BC的斜率为 ，
根据点斜式方程得 ，
边所在直线的一般方程为 .
【小问2详解】
由题知，线段BC的中点 ，
代入中线AD方程 ，得 ，解得 .
点 在中线AD上，
，
解得 ，
点 的坐标是 .
16. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式及 ；（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用给定条件求出公差，再利用公式法求解前 项和与通项公式即可.
.
（2）利用裂项相消法求和即可
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
由题知 ，解得 ，
，
.
【
小问2详解】
由题意得 ，
，
.
17. 已知 的圆心在直线 上，且经过点 .
（1）求 的标准方程；
（2）若直线 经过点 且与 相切，求直线 的方程.【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线方程，与 联立求出圆心坐标，再求|MA)可得答案；
（2）直线 的斜率不存在时，利用圆心 到直线x=0的距离小于半径得不符合题意，设 的方程为
，利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.
【小问1详解】
经过 ，
圆心 在线段AB的垂直平分线 上，
联立 得 ，所以圆心M的坐标为 ，
，
的标准方程为 ；
【小问2详解】
若直线 的斜率不存在，即x=0，
圆心 到直线x=0的距离为 ，
此时直线 不是圆的切线，不符合题意；
设 的方程为 ，即 ，
直线 与 相切，
，即 ，解得 或 ，
直线 的方程为 或 .
18. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，侧棱 底面ABCD，AB垂直于AD和
是棱SB的中点.
（1）求证： 平面SCD；
（2）求直线SC与平面CDM所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以点 为原点建立空间直角坐标系，求得平面SCD的法向量是 ，由
证明；
（2）求得平面CDM的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，设直线SC与平面CDM所成角为 ，由
1 1 1 1
求解.
【小问1详解】
证明：以点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
则 .
设平面SCD的法向量是 ，
则 ，即
令 ，则 ，
于是 .
，
，
又 平面SCD，
平面SCD.
【小问2详解】
点 的坐标为 ，
，
设平面CDM的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
，即
可求得平面CDM的一个法向量 ，
设直线SC与平面CDM所成角为 ，
则 ，
直线SC与平面CDM所成角的正弦值为 .
19. 已知椭圆 的焦点和短轴顶点构成边长为2的正方形.
（1）求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）过点 的动直线与椭圆 有两个交点P，Q.在 轴上是否存在点 使得 恒成立.若存
在，求出这个 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，
（2）存在，
【解析】
的
【分析】（1）根据椭圆 焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，得到 求解；
（2）设 点的坐标为 ，分过点 的动直线的斜率不存在，过点 的动直线的斜率存在，
设该直线方程为 ，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由 求解.
【小问1详解】
解： 椭圆 的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，
，，
椭圆 的标准方程为 ，
离心率 .
【小问2详解】
设 点的坐标为 ，
①若过点 的动直线的斜率不存在，
则 或 ，
此时只需 .
②若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为 ，
设 ，
由 可得
∴Δ=16k2+8(2k2+1)>0,
而 ，因为 恒成立，故 ，
解得 .
由①②可知， ，
存在 ，使得 恒成立.
