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2024 级校际联考（五）数学学科试题
时间：120分钟 满分：150分
一､单选题.（本题共8小，每小题5分，共40分.在每小题四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1. 已知 ，则 （ ）
A. 11 B. C. 45 D. 3
2. 若直线 与直线 平行，则 （ ）
A. 0 B. 或0 C. D. 或1
3. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为
，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. B. 3 C. D. 2
5. 如图，在棱长为1的正方体 中，那么直线 与平面 所成的角的余弦值是 （
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为坐标原点，点 为椭圆 上一点，点
为 中点，若 的周长为6，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知 ， ，圆 上有且仅有一个点 满足 ，则
的取值可以为（ ）
A. 1或3 B. 2 C. 3 D. 1或5
8. 如图，已知在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形， 是以 为斜边的等腰直角三
角形， 平面 ，点 是线段 上的动点（不含端点），若线段 上存在点 （不含端点），
使得异面直线 与 成 的角，则线段 长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
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学科网（北京）股份有限公司要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 向量 ，若夹角为钝角，则实数t的取值范围为
B. 在空间直角坐标系中，点 关于坐标平面 的对称点是
C. 已知向量 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底
D. 已知 ，则向量 在向量 上的投影向量是
10. 下列说法正确的是（ ）
的
A. “直线 与直线 互相垂直”是“ ” 充分不必要条件
B. 直线 的倾斜角 的取值范围是
C. 若圆 上恰有两点到点 的距离为1，则 的取值范围是
D. 过点 且在 轴， 轴上的截距互为相反数的直线方程是
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，短轴长为 ，离心率为 ， 是椭
圆 上异于长轴端点 的一动点，点 与点 关于原点对称，则（ ）
A. 的面积最大值为
B. 的最小值为
C. 若以 为直径 圆的经过 两点，则 点的轨迹方程为
D. 椭圆 上存在点 ，使得
三､填空题（本题共3小题.每小题5分，共15分，）
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学科网（北京）股份有限公司12. 设椭圆 ： ( ， )的左､右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 是 上一点，
且 ，若 的面积为 ，则 _______．
13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体 中， ，
点M为 与 的交点，则 的长为___________.
的
14. 已知点 为直线 上 动点，过点 作圆 的切线 ，切点为
，则 的最小值为__________；当 最小时，则直线 的方程为__________.
四､解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分，16､17题每题15分，18､19题每题17分，
解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知圆过点 ， 且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）若直线 经过点 ，且与圆 相交截得的弦长为 ，求直线 的方程.
16. 如图，四棱锥 的侧棱 底面 ，已知底面 是正方形，若 ，且
是 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知椭圆 的上、下焦点分别为 ， ， 为椭圆 上的一个动点，当
取最大值时，其余弦值为 ，且点 到上焦点 的距离的最大值为9.又知双曲线 与椭圆
有公共焦点，它们的离心率之和为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求双曲线 的标准方程；
的
（3）设 是双曲线 与椭圆 一个交点，求 的面积.
18. 如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点， 为
正三角形，平面 平面 .
（1）连接 ，求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）在线段 上是否存在异于端点 的点 ，使得平面 和平面 夹角的余弦值为 ？若存在，
确定点 的位置；若不存在，说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，椭圆 上有两点 关于原点对
称，动点 与 两点的连线分别交椭圆 于点 ，满足 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点 的轨迹方程；
（3）过 点作椭圆 的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
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