文档内容
海南州高二期中质量检测
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将直线方程化成斜截式，求得其斜率，从而得其倾斜角.
【详解】由 ，可得 ，
则直线斜率为 ，故倾斜角为 .
故选：B.
2. 在三棱柱 中， （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意可得： ．故选：C.
3. 平行线 与 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】方程 变形为
由平行线间的距离公式可得所求距离 ．
故选：A.
4. 若 构成空间 一个基底，则下列选项中能作为基底的是（ ）
的
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量共面基本定理判断各选项向量是否共面即可得解.
【详解】因 ，所以 共面，故A错误；
为
因为 ，所以 共面，故B错误；
因为 ，所以 共面，故C错误；
因为不存在x，y，使得 ，所以 不共面，故D正确．
故选：D5. 下列命题正确的是（ ）
A. 一条直线的方向向量是唯一的
B. 若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则
C. 若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则
D. 若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则
【答案】B
【解析】
【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可.
【详解】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误；
对于B:若直线 的方向向量与平面 的法向量平行，则 ，B正确.
对于C:若平面 的法向量与平面 的法向量平行，则 ，C错误.
对于D:若直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，则 或 ，D错误.
故选：B.
6. 若方程 表示一个圆，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程化为圆的一般方程，利用 列式即可求.
【详解】若方程 表示一个圆，则 ，
方程可化为 ，所以 ，解得 ，且 不等于0，
所以 或 .
故选：D
7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案.
【详解】向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：A
8. 已知圆 ，直线 ，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，
定点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆的性质可知 ，求点C关于l的对称点为 ，根据对称性转化，并结合几
何性质运算求解.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，当且仅当点 在线段 上时，等号成立，设点C关于l的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
则 ，
所以 的最小值为 ．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 直线l经过点 ，且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程可能是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分类讨论直线l是否过原点，结合截距式方程运算求解即可.
【详解】当直线l过原点时，直线l的方程为 ，即 ；
当直线l不过原点时，设直线l 的方程为 ，
则 ，解得 ，则直线l的方程为 ，即 ；
综上所述：直线l的方程可能是 或 .
故选：BD.
10. 如图，在棱长为3的正四面体 中，O为 的中心，D为 的中点， ，则（
）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据向量的线性运算求解；对于B：根据正四面体的结构运算求解；对于CD：根据向量
的数量积运算求解即可.
【详解】连接 ， ， ，对于选项A：因为
，
，故A正确；
对于选项B：因为 ，所以 ，故B正确；
对于选项CD：
，故C错误，D正确；
故选：ABD.
11. 若直线 与曲线 有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知曲线C表示圆 的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解.
【详解】由 ，得 ，
可知曲线C表示圆 的上半部分．且直线 过定点 ，
当直线 过点 时， ；
当直线 与圆 相切时， ，解得 或 ．
由图可知，k的取值范围是 ．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 点 在圆 的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入
横线）
【答案】外部
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可.
【详解】因为 ，所以点 在圆C的外部．
故答案为：外部.
13. 过 ， 两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据斜率公式列式求解即可.
【详解】根据题意可得 ，解得 或 ，当 时，点A，B重合，不符合题意，舍去；
当 时，经验证，符合题意；
综上所述： .
故答案为： .
14. 在空间直角坐标系 中，点 均在球 的同一个大圆（球面被经过
球心的平面截得的圆）上，则球 的表面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得 ，则 即 外接圆的直径，即 是球 的直径，求出球的半径，
再根据球的表面积公式即可求解.
【详解】由 ，
得 ，则 ，
所以 为直角三角形，
则 即 外接圆的直径，即 是球 的直径．
因为 ，
所以 ，得球 的半径为 ，
故球 的表面积为 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 ，直线 ．
（1）若 ，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的值．
【答案】（1）（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据直线平行列式求解，并代入检验即可；
（2）根据直线垂直列式求解即可.
【小问1详解】
因为 ，则 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ， ， ， 重合；
当 时， ， ，符合题意．
综上所述： ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，解得 或 ．
16. 已知圆W经过 ， ， 三点．
（1）求圆W的标准方程；
（2）判断圆 与圆W的位置关系．
【答案】（1）
（2）圆C与圆W相交
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程；
（2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可.
【小问1详解】
设圆W的方程为 ， ，
则 ，解得 ，故圆W的方程为 ，标准方程为 ．
【小问2详解】
圆W的圆心为 ，半径为5，
圆C的标准方程为 ，
圆心为 ，半径为3．
设两圆圆心之间的距离为d，则 ．
因为 ，所以圆C与圆W相交．
17. 如图，在五棱锥 中， ， ， ， ，
， ．
（1）证明： 平面 ．
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角．
【小问1详解】
因为 ， ， ， ，所以 ， ，
则 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．
， ， ，
则 ， ．
易得平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 得 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18. 已知圆 （ 为常数）．
（1）当 时，求直线 被圆 截得的弦长．（2）证明：圆 经过两个定点．
（3）设圆 经过的两个定点为 ， ，若 ，且 ，求圆 的标准方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当 时利用配方求出圆 的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心 到直线
的距离 ，再由 可得答案；
（2）由 令 与 联立解方程组可得答案；
（3）（方法一）设 的中点为 ，由 得 求出 可得答案．（方法二）由
利用两点间的距离公式求出 可得答案．
【小问1详解】
当 时，圆 ，
此时，圆 的圆心为 ，半径 ．
则圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 被圆 截得的弦长
为 ；
【小问2详解】
由 ，得 ，
令 ，因为 为常数所以得 ，由
解得 或 ，
所以圆 经过两个定点，且这两个定点的坐标为 ；
【小问3详解】
（方法一）设 的中点为 ，
不妨设 ，则点 的坐标为 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以圆 的标准方程为 ．
（方法二）不妨设 ，因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以圆 的标准方程为 ．
19. 如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点， 为底面 内一动点（包
括边界），且满足 .（1）是否存在点 ，使得 平面 ？
（2）求 的取值范围.
（3）求点 到直线 的距离的最小值.
【答案】（1）存在，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，设 ，利用 ，
及 即可求出点 坐标；
（2）由（1）知 ，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解；
的
（3）取 中点为 ，则 点轨迹为线段 ，所以点 到直线 距离的最小值就是异面直线
与 的距离，利用向量法求出异面直线 与 的距离即可.
【小问1详解】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，由题意得 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可取 ，
设 ， 所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，
设存在点 ，使得 平面 ，
则 ，解得 ，则 ，
则 ，
所以存在点 ，使得 平面
【小问2详解】
由（1）知 ，
所以 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
【小问3详解】
由（1）知点 满足 ，
取 中点为 ，则 点轨迹为线段 ，
所以点 到直线 的距离的最小值就是异面直线 与 的距离，
， ， ， ， ，
设 ， ，
则 ，可取 ，
又 ，
点 到直线 的距离的最小值 .
