文档内容
2025-2026 学年高二年级 10 月联考数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知直线 的方向向量为 且 经过 两点，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由 结合共线向量的坐标表示即可计算求解.
【详解】由题意可得 ， ，
所以 .
故选：A
2. 若椭圆 上一点 与焦点 的距离为1，则点 与另一个焦点 的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆方程和椭圆定义即可求解.
【详解】由题可得 .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知 为空间向量且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解.
【详解】由题 在 方向上的投影向量为 .
故选：C
4. 已知直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
.
A 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】先由两直线平行求出参数，再由充要条件定义进行判断.
【详解】若“ ”，则 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：D
5. 已知空间四点的坐标分别是 ，记点 到直线 的距离为 ，
记点 到平面 的距离为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由空间点到直线和点到面的距离公式计算可得.
【详解】 ，
所以点 到直线 的距离为 ；
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，
可取 ，所以 ，
而 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
所以 .
故选：C．
6. 已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 公切线条
数有（ ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
【答案】A
【解析】
【分析】先判断圆的位置关系，由圆的位置关系即可得解.
【详解】由题意 ，
所以 ，
所以两圆相离，所以圆 与圆 公切线条数有4条.
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
7. 在棱长为1的正四面体 中， 为棱 的中点， 为棱 上一点且 ，则直线
和直线 夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以 为基底得到 ，接着依次计算 ，
，再计算 即可得解.
【详解】以 为基底，则 ，
而 ，
所以 ，
，
，
从而 ，
故直线 和直线 所成角的余弦值为 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知椭圆 的左焦点为 是椭圆 上的一个动点，椭圆 外一点 的坐标为 ，
若 的最大值是13，则椭圆的短轴长为（ ）
A. B. 4 C. 2 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设椭圆 的右焦点为 ，由椭圆定义结合三角形两边之差小于第三边得到
即可由题意计算得解.
【详解】设椭圆 的右焦点为 ，则 ， ，
此时
，
解得 ，当且仅当三点 共线时等号成立（其中点 在点 之间），
故短轴长为 .
故选:C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
的
9. 下列命题不正确 是（ ）
A. 两条不重合直线 的方向向量分别是 ，则
B. 直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则直线 与平面 所成角为
D. 两个平面 的法向量分别是 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A、D可根据对应向量是否共线进行判断；选项B可根据向量数量积是否为零进行判断；由
空间向量的线面角公式可得C错误.
【详解】对于A，由题意可得 ，所以 ，则 ，故A正确；
对于B， ，所以 ，
则 或 ，故B错误；
对于C，设直线 与平面 所成角为 ， ，则
，故C错误；
对于D，由 ，所以 不共线，则 也不平行，故D错误.
故选：BCD.
10. 已知椭圆 的两个顶点之间的距离为3，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的性质得出 及离心率 与 的关系，结合两顶点间的距离为3计算求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
椭圆的方程为 ，则 ，
，
离心率 ，
两个顶点之间的距离为3，可能为长轴两顶点，短轴两顶点或长轴和短轴的各一个顶点，
或 或 ，
若 ，则 ，解得 ，此时 ，故C正确；
若 ，则 ，得 ，此时 ，故D正确；
若 ，则 ，解得 ，此时 ，故A正确．
故选： ．
11. 已知点 在直线 上，点 在圆 上，过点 向圆 作切线，切点分别
为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若 ，则直线 的方程为
C. 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由圆心到直线距离 得到直线 与圆 相离，由 即可判断A；以P为圆心、
为半径的圆与圆C作差即可求解判断B；设 ，由 将问题
转化为当 取最大值时 取最小值，接着在 由 即可求解判断
C；由 结合C即可求解判断D.
【详解】由题圆心 ，半径 ，
过圆心 作 ，垂足为 ，则 ，直线 与圆 相离，
所以 ，故A错误；
当 时， ，则 ，
故以 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，
依题意，直线 即圆 与圆 的公共弦，故直线 的方程为 ，即B正确；
设 ，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以当 取最大值时， 取最小值，
而 ，所以当 取最大值时， 取最小值．
在 ，
此时 ， 的最小值为 ，故C正确；
由C项， ，当 时等号成立，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12. 若曲线 表示椭圆，则 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆定义列出不等式组即可求解.
【详解】曲线 表示椭圆，
所以 或 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
13. 过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程为___________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由题可得点 在圆 上，则切线 ，利用斜率关系即可求解.
【详解】由题可得点 在圆 上，
所以过点 作圆 的切线 ，由于 ，则 ，
所以切线 的方程为： ，即 ，
故答案为：
14. 如 图 ， 平 行 六 面 体 的 底 面 为 菱 形 ， 且
， ，请写出平面 的一个
法向量___________．（注：法向量要用 来表示）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设 ，易知 可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可.
【详解】不妨设 ，易知 可以作为空间向量的一组基底，
且 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，即 ，
化简得 ，可取 ，
故 ，因此平面 的一个法向量为 ．
故答案为： （答案不唯一）.
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求与圆 关于直线 对称 圆的的标准方程；
（2）求经过 的椭圆的标准方程．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）求出所求圆的圆心坐标即可由圆的标准方程得解；
（2）设椭圆方程为 ，接着代点求出参数即可得解.
【详解】（1）设所求圆的圆心坐标为 ，由于圆 ,则圆心 与 关于直线
对称，
则 ，解得 ，
故所求的圆的标准方程为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设椭圆方程为 ，
则由题 ，解得
所以椭圆的标准方程为 .
16. 已知动点 与两个定点 的距离的比为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】（1）
（2） 和
【解析】
【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果.
（2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求
得结果.
【小问1详解】
设 ，则 ，
即
化简得 ；
所以曲线 的方程为：
【小问2详解】
由（1）知曲线 的轨迹为圆，其圆心坐标为 ，半径
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学科网（北京）股份有限公司当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，圆心到直线 的距离为1，所以 ，故
满足题意
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线的距离为
所以
解得
所以 方的程为 ，
即 的方程为
综上所述，直线 的方程为 和
17. 已知椭圆 的两个焦点坐标分别是 ，并且经过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 斜率不为0的直线 交椭圆 于 两点，求 面积的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）设椭圆的方程为 ，结合焦点坐标和椭圆上的点的坐标列方程组求解；
（2）设直线方程为 ，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和面积公式得出面积的表达式，构造
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学科网（北京）股份有限公司函数，利用函数单调性求出面积最大值．
【小问1详解】
设椭圆 ，
椭圆 的两个焦点坐标分别是 ，并且经过点 ，
，解得 ，
椭圆 的标准方程为：
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，
联立直线和椭圆方程 得 ，
面积 ，
令 ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 单调递增，
，
，此时 ，
面积的最大值为3．
18. 如图，四棱锥 中， 平面 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，平面 与底面 的夹角为 ．
（i）求四棱锥 的体积；
（ii）点 在平面 的投影为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）依次求证 ， 得到 平面 即可得证；
（2）（i）先求证 平面 得到 即为平面 与底面 的夹角，进而求出 ，
再由锥体体积公式即可计算求解；
（ii）由（1）知 两两垂直，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，先求出平面
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学科网（北京）股份有限公司的一个法向量为 ，进而可设 ，接着依次求平面 的一个法向量为
和平面 的一个法向量和 ，再由 即可得解.
【小问1详解】
取 中点 ，连结 ，因为 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
故 ，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 ，
而 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ；
【小问2详解】
（i）当 时， ，
所以 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ， 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，
所以 ，而 ，
故 即为平面 与底面 的夹角，故 ，
而 ，故 ，
所以四棱锥 的体积 ；
（ii）由（1）知 两两垂直，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
从而 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，可取 ，
因为 平面 ，所以可设 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，
即 ，可取 ，
而 为平面 的一个法向量，
故 ，故平面 与平面 夹角的余弦值 .
19. 设 两点的坐标分别是 ，直线 相交于 ，且它们的斜率之积为 ，
点 的轨迹构成的曲线记为 ．
（1）曲线 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，点 是曲线 上的动点（异于
．
（i）当 时，若直线 斜率均存在，判断 是否一定是定值，并证明你的结论；
（ii）当点 的坐标为 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）是定值，证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）设点 的坐标为 ，根据题干直接列式即可求解；
（ 2 ） （ i ） 当 ， 设 ， 则 ， 表 示 出 并 利 用 点
都在曲线 上即可证明；（ii）设 ， 的中点为 ，直线 与曲
线 联立得到 的坐标，利用 得到 ，进而求出 ，再根据 即可
求出 的范围.
【小问1详解】
设点 的坐标为 ，则 ，
化简得 ，即 .
【小问2详解】
（i） （定值）.
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学科网（北京）股份有限公司证明如下：当 时，易得 两点关于原点对称，
设 ，则 ，
所以 ，
而 均在曲线 上，
所以 ，
从而 ，证毕.
（ii）由题意知，当 时，显然 ；
设 ， 的中点为 ，
由 ，
由 ，得 ①，
，则 ，
所以 ，因为 ，则 ，从而 ，即 ．
而 ，所以 ，化简得 ，
由 得 ②，将 代入①，
则 ，得： ③，由②③得 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上，实数 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
