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南充高中高2023级第二次月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A C A D B D ABD BD ABD
8．D
【详解】由 可得 ，即 ，
当 时， ，不等式 在 上显然成立；
当 时，令 ，则 在 上恒成立，
由 ，在 上 ，所以 在 上单调递增，
又 时， ， ，所以只需 在 上恒成立，
即 恒成立．
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
其中 ，故 ，所以此时有 ．综上， ．
故选：D．
11．ABD
【详解】对于A选项， ，A对；
对于B选项，由题意可知：
，B对；
对于C选项，设第 次“美好成长”后共插入 项，即 ，共有 个间隔，且 ，
则第 次“美好成长”后再插入 项，则 ，
可得 ，且 ，
答案第1页，共2页故数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，故 ，C错；
对于D选项，因为 ，且 ，
所以， ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，故 ，
所以， ，
所以，数列 的前 项和为
，D对.
故选：ABD.
12.
13.
14. .............................................................................................................................2分
或者化简为： ..........................................3分
答案第2页，共2页详解：（1） ，
（2） 到达点 有两种情况：
①从点 按向量 移动，即
②从点 按向量 移动，即
∴
∴
（3）数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
∴
所以
答案第3页，共2页两边分别累加得
15．(1) ；
(2) 除以7的余数为6
【详解】（1）已知等比数列 是递增，且
可得 .................................................................3分
∴ ，其前n项和 .................................................................6分
（2）由（1）得，
由二项式定理得
.......................................9分
设 ,
∴
∴ 除以7的余数为6 .................................................................13分
16．(1)单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
(2)最大值为2，最小值为 .
【详解】（1）由题意得 ，
由题意得 ，即 ，解得 ， ...........................................................2分
答案第4页，共2页故 ，定义域为R，
，令 得 或 ，令 得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， ..............................6分
易知 为极小值点， 符合题意，
所以 单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 . ...........................................................8分
（2）由（1）知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，...........10
分
当 变化时， 的变化情况如下表所示.
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 ， .又 ， ，...........13分
因为 ,
故 的最大值为2，最小值为 . ...........................................................15分
17．(1)
答案第5页，共2页(2)
【详解】（1）因为椭圆过点 ，所以 ，又 ，且 ，
解得 ，所以椭圆 的方程为 ；...........................................................5分
（2）
由题意，得 ，直线 ， ............................................7分
设 ， ， ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
显然△ ， ，
则点 的横坐标 ，
点 的纵坐标 ．
即 ，
所以线段 的垂直平分线方程为： ， .....................................11
分
令 ，得 ；令 ，得 ，
答案第6页，共2页所以 的面积 ，
的面积 ． ....................................13分
因为 与 的面积相等，
所以 ，解得 ，
所以当 与 的面积相等时，直线 的斜率 ． ....................................15
分
18.（1） ………………1分
∵曲线 在 处的切线方程为 .
∴ ……………………2分
∴ …………………3分
（2）方法一：函数 有两个不同的零点 .
等价于方程 有两个不同的根 .
将方程 变形为
方程 的根等价于 与 的函数图像有两个不同的交
点…………………………………………………………………………………………6分
令 .
在 单减， 单增.…………………………………………………8分
.…………………………………………………………………9分
∴ 的取范围为 ……………………………………………………………10分
方法二：
答案第7页，共2页令
因为方程 有两个不同的解 ，所以 有两个不同的零点.
，当 时， ；当 时，
.
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 ，所以 .………………………………………7分
一方面因为 ，………………………………………………8分
另一方面因为 ，
令 ， ，
所以 .………………………………9分
综上： .…………………………………………………………10分
（3）
判断：
只需判断：
下证： 等价于 .……………………11分
因为 ，所以 ，所以 ，
………………………………………………12分
要证： 即证 ，即证： ，因为 ，即证：
答案第8页，共2页，令 ……………15分
设 ，则 ，
所以 ，所以 .……………17分
19.（1）
………………………………………………………………………………3分
（2）第 行的 个数之和为
···········4分
········5分
……………
……………………………………………………………………………7分
第 行的最后一个数为 …………………………………………8分
……………………………………………………………………………………10分
所以第 行的 个数之和与第 行的最后一个数相等.
答案第9页，共2页注意：
学生将 与 计算出作比较也给分.
同理
（3）【小问3详解】
当 ， 时， ， ，当 时，此时显然不成立.
猜测：存在正整数k，使得 恒成立，k的最大值为3.
下证：当 时， 恒成立.………………………………………12分
由（1）知， ，则 ，
因为
.
又 ，当 时， .……………16分
当 时， ，所以 .
综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得 恒成立.………………17分
答案第10页，共2页答案第11页，共2页
