文档内容
吉林市普通高中2025—2026学年度高二年级阶段性调研测试
12．
数学试题参考答案
（写成 也给分)
13．
试题题源：人教 版、 版选择性必修一的教材与教参，以下教材、教参均指人教版选择性必修一.
教材 教参 真题
14． ；
版
版 练习 14题教学提示：此题用到如下知识：
1．正弦定理
2．焦点三角形面积
版 例
3．三角形面积用周长和内切圆半径表示（分割法）
版 和
四 、解答题
版 习题
15．【解析】
版 例 ， 习题 年新高考Ⅰ卷 题
解：（Ⅰ）选①（法一）
版 例
设圆 的标准方程为 .····················································2分
版 例 ， 和
年新高考Ⅱ卷 题 由题意可得 解得 ····················································5分
教学建议：基础年级教师在教学时关注课标+教材+教参+真题.
圆 的标准方程为 . ····················································7分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
（Ⅰ）选①（法二）
1 2 3 4 5 6 7 8
设圆 的一般方程为 . ·······························2分
B A B B A D D C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分
由题意可得 解得 ·····················································5分
分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABD ABD
圆 的一般方程为 ，
即圆 的标准方程为 . ································································7分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个
空填对得3分．
(注：圆的方程未写成标准方程形式扣1分. )
高二数学试题答案 第 1 页 （共 7 页）（Ⅰ）选②（法一）
所以 ， ，由两点间距离公式得 . ··············13分
由题意可得 ， 中点为 ，
(注：利用弦长公式求 正确给满分. )
线段 的垂直平分线为 ，即 ．·······································2分
16．【解析】
（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ．
圆心 在直线 上， 联立 解得 即圆心 ．
分别为 中点， ，且 ．
圆的半径 ，··························································5分
，且 ．
圆 的标准方程为 . ······························································7分
四边形 为平行四边形， ．·····························································4分
（Ⅰ）选②（法二）
平面 平面
设圆心 ， ， ····2分
平面 ．································································································6分
（Ⅱ）
整理得 ， 圆心 ， . ··································5分
又 平面
圆 的标准方程为 . ································································7分
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
（Ⅱ）（法一）由（Ⅰ）知，圆心 到直线 的距离 ． 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
··························································································································10分
依题意， 是平面 的一个法向量，························································8分
圆的半径 ， . ································13分
， ，
（法二）联立直线 方程与圆的方程，解得 和 ，··································10分
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ．
则 取 ，则 ，
高二数学试题答案 第 2 页 （共 7 页）平面 的一个法向量为 . ···································································12分
，
设平面 与平面 的夹角为 ，则
所以 的面积 ，············12分
化简得 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 . ····························································15分
解得 （负值舍去），所以 或 ，·······················································14分
（注：若在第一问建系，求出平面 法向量给8分，证明 平面 给2分，但不强调
平面 扣1分；第二问求出平面 法向量给2分，计算平面 与平面 夹角余
所以直线 的方程为 或 .·····················································15分
弦值给2分，结论1分．）
（法二）设直线 方程为 ，
注：立体几何解答题答题规范说明：
1. 建系规则：建系默认用右手直角坐标系．若用左手直角坐标系，解题全程正确、答案无误，可获
满分；若有错误，则不得分． 联立直线 方程与椭圆方程，消去 ，得 ，
2. 呈现要求：须在答题卡答题区清晰展示建系过程，明确标注坐标轴方向与原点位置．
17．【解析】
点 到直线 的距离 ， ，
解：（Ⅰ）由题知， ， ，则 ，又 ，··································2分
的面积 ，·······························································12分
所以椭圆 的标准方程为 . ······································································4分
解得 或 ．·····························································································14分
（Ⅱ）（法一）由题可知，直线 斜率不为 ，
所以直线 的方程为 或 .·····················································15分
设直线 的方程为 ， ， ，
（注：若设直线 方程为 ，需讨论斜率 不存在的情况，不讨论扣
分.）
联立 消去 得 ，
，
18．【解析】
（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ， ，
恒成立，所以 ， ，······················8分
因为
高二数学试题答案 第 3 页 （共 7 页）又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， .
平面 ．······························································································4分
则 取 ，则 ，
又 平面 ， ．
．································13分
又 与 相交，且 平面 ，
平面 .·····························································································7分
设点 到平面 的距离
（Ⅱ）（法一）线段 上存在点 ，使点 到平面 的距离为 ．取 中点 ，连接
，又 ．
．
即线段 上存在点 ，当 时，点 到平面 的距离为 ． ·····15分
由（Ⅰ）知， 平面 平面 ， ．
又 分别为 中点， ．
点 到平面 的距离为
平面 ． ·······················································9分
点 到平面 的距离为 ．
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系.
四面体 的体积为 . ··············17分
， ， ， ，
（法二） 平面 ， ，取 中点 ．
， ，
又 ， ， 四边形 是平行四边形， ．
， ， ．
又由（Ⅰ）知， 平面 ，则 平面 ．··············································9分
设 ．········································11分
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、
轴， 轴，如图建系．
高二数学试题答案 第 4 页 （共 7 页）， ， ， ， 解：（Ⅰ）设椭圆 的焦距为 .
椭圆 离心率为 ， ．又 ， ．
， ， ，
， .
， ， ．
椭圆 的标准方程为 .············································································3分
设 ，
当 时，椭圆 的标准方程为 .····················4分
． ···················································································11分
(注：椭圆方程未写成标准方程形式扣1分. )
设平面 的一个法向量为 ，则 ， . （Ⅱ）（法一）证明：当直线 斜率不存在时，直线 方程为 ，
当 时，代入椭圆 ，得 ， ，则 .
则 取 ，则 ， ．······················13分
设点 到平面 的距离 ， ， .·····························5分
即线段 上存在点 ，当 时，点 到平面 的距离为 ． ·····15分
当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，设 ， ，
四面体 的体积为 . ··············17分
联立 消去 ，得 .
（法三）解题思路：
设点 ， ， 到平面 的距离为 ， ， ， ， 则 ，化简得 .··············7分
利 用 等 积 法 可 求 得 ， 又 ， 则 ，
联立 消去 ，得 .
，以下思路同法一．
19．【解析】 因为 ，由韦达定理得 ， ．···········9分
高二数学试题答案 第 5 页 （共 7 页）（法三）利用 化简得 ， ，·······························9分
.
则 ，点 到直线的距离 ，
综上， 的面积为定值 . ························11分
所以 .······································11分
（法二）证明：当直线 斜率为 时，直线 方程为 ，
(注：利用其他方法求面积正确给满分. )
当 时，代入椭圆 ，得 ， ，则 .
（Ⅲ）折叠后，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、
.·······················································································5分 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
当直线 斜率不为 时，设直线 方程为 ， ， ， 则 ， ， ， ．
联立 消去 ，得 . 点 在线段 上运动，设 .
则 ，化简得 .················································7分 ， ，
， .
联立 消去 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，则 ， .
因为 ，由韦达定理得， ， ．···································9分
则 取 ，则 ， ．
平面 的一个法向量为 ．···································································14分
. 设直线 与平面 所成角为 ，
综上， 的面积为定值 . ··········································································11分
高二数学试题答案 第 6 页 （共 7 页）则 ,
，解得 或 （舍）.
，即点 是线段 的中点． .
即 的长为 .···································································································17分
高二数学试题答案 第 7 页 （共 7 页）
