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微专题 81 带电粒子在直线边界磁场中的运动
1．一般步骤：画轨迹，定圆心，求半径或圆心角，三个步骤顺序根据题目灵活选择。2.在
直线边界，粒子进出磁场具有对称性，出射角和入射角相等。3.对于平行边界，轨迹与边界
相切是出不出磁场的临界条件。
1. 如图所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ之间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向
均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电的粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿
图中与MN成θ＝60°角方向射入的粒子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长
时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系有 a＝Rsin 30°，解得R＝
2a，设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运动的时间为t＝T，即
α越大，粒子在磁场中运动的时间越长，α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，
如图乙所示，因R＝2a，此时圆心角α 为120°，即最长运动时间为，因T＝＝，所以粒子在
m
磁场中运动的最长时间为。故选C。
2．(2023·四川宜宾市模拟)如图所示，L 和L 为两条平行的磁场边界线，L 上方和L 下方都
1 2 1 2
是垂直纸面向里、范围足够大、且磁感应强度大小相等的匀强磁场，L 和L 之间无磁场；
1 2
A、B两点是L 上相距一定距离的两点。一带电粒子从A点以初速度v 与L 成30°角斜向右
2 0 2
上方射出，经过偏转后恰好过B点，不计重力，下列说法正确的是( )
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料A．该粒子一定是带正电
B．该粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度相同
C．若只稍微增大该粒子在A点的初速度，它将仍可能经过B点
D．若只将该粒子在A点的初速度方向改为与L 成60°角斜向右上方，它将不可能经过B点
2
答案 C
解析 作出粒子的运动轨迹的部分可能情况如图所示
由此可知，粒子可能带正电也可能带负电，且粒子经过 B点时的速度一定跟在A点时的速
度大小相等，而速度方向可能相同，也可能不同，故A、B错误；
由轨迹图可知，若只稍微增大该粒子在A点的初速度，但速度方向不变，粒子仍可能经过B
点，故C正确；
设L 与L 之间的距离为d，初速度与L 的夹角为θ，则A到B 的距离为x＝，假设θ为30°
1 2 2 2
时，经n个周期，粒子到B点，将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L 成60°角斜向右
2
上方，则经过3n周期后仍有可能经过B点，故D错误。
3．(多选)如图所示，等腰直角三角形区域内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长 AB＝2
m，O为BC的中点，磁感应强度 B ＝0.25 T，一群质量 m＝1×10－7 kg、电荷量q＝－
0
2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，不计带
电粒子重力及相互之间的作用，则( )
A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料D．在磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射
答案 ACD
解析 粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则|q|vB ＝m，解得R＝1 m，当其中一个
0
粒子从O 点入射，如图所示，其轨迹与AB相切于D点，根据几何关系可知，轨迹的圆心
1
在O点，轨迹同时与AC边相切于E点，此粒子在磁场中运动的时间最长，O 到B点的距离
1
BO ＝BO－OO ＝(－1) m，D正确；由几何关系可知粒子不能从C点射出，B错误；当粒子
1 1
从BO 间入射，则粒子从BD间射出，由几何知识得BD的距离为1 m，C正确；当入射点从
1
O 点向O点移动时，则从AC边的射出点先向A点移动，当出射点F到BC边的距离为1 m
1
时，出射点F离A点的距离最小，然后出射点向E点移动，所以在AC边界上的EF间有粒
子射出，由几何关系可知CF＝ m，CE＝1 m，解得 EF＝(－1)m，A 正确。
4. (2023·四川遂宁市模拟)如图所示，平面直角坐标系xOy 内，存在垂直纸面向里的匀强磁
场， 磁感应强度 B＝0.2 T，原点O有一粒子源，能向纸面内各个方向释放出比荷为4×108
C/kg的带正电粒子，粒子初速度 v ＝8×106 m/s，不计粒子重力及相互之间作用， 有一与
0
x轴成 45°角倾斜放置的足够长挡板跨越第一、三、四象限，P是挡板与 x 轴交点，OP＝
16 cm，则挡板上被粒子打中的区域长度为( )
A．24 cm B．16 cm C．20 cm D．32 cm
答案 C
解析 粒子源到挡板的距离h＝16sin 45° cm＝16 cm
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB＝m
0
解得R＝10 cm<h＝16 cm
作出粒子打在挡板上的动态轨迹如图所示
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料则有x ＝＝12 cm，x ＝＝8 cm
AC BC
则挡板上被粒子打中的区域长度L＝x ＋x ＝20 cm。
AC BC
5. (多选)(2023·四川达州市模拟)如图所示，一个棱长为l的立方体空间被对角平面MNPQ划
分成两个区域，平面MNPQ左侧存在磁感应强度大小B ＝、方向沿z轴负方向的匀强磁场，
1
右侧存在磁感应强度大小B ＝、方向沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的
2
带正电粒子(不计重力)从z轴上的某点以速度v垂直yOz平面进入磁场，并穿过两个磁场区
域。则( )
A．粒子在磁场中运动的时间t＝
B．粒子在磁场中运动的时间t＝
C．粒子在磁场中的位移x＝(－1)l
D．粒子在磁场中的位移x＝l
答案 BD
解析 设粒子在左侧磁场区域做圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
1 1
解得r＝l
1
同理可得粒子在右侧磁场区域做圆周运动的半径为r＝(－1)l
2
所以从上往下看粒子在磁场中运动轨迹如图所示：
由公式T＝可得，粒子在左、右磁场中运动的周期分别为T＝，T＝
1 2
由轨迹图可知，粒子在磁场中运动的时间t＝＋＝
由几何关系可得，粒子在磁场中的位移x＝＝l，故选B、D。
6．(2023·河南信阳市质检)如图，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能
够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于 MP的正、负离子，离子运动一段
时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界 PQ射出的离子中，离子速度为v 时射出点
0
与P点距离最大为x ，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。
m
求：
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料(1)射出点与P点最大距离x ；
m
(2)从边界MP射出的离子，速度的最大值。
答案 (1) (2)
解析 (1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ射出的速度为v 的离子，设其运动半
0
径为R，运动轨迹恰好与MN相切，运动轨迹如图中2所示
1
根据牛顿第二定律得qvB＝m
0
根据几何关系得x ＝2Rcos α
m 1
解得x ＝
m
(2)从边界MP射出的离子，速度最大时离子运动轨迹恰好与MN相切，设其运动半径为R，
2
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料运动轨迹如图中1所示，根据牛顿第二定律得qv B＝m
m
设MP的长度为L，根据几何关系得Lsin α＝R－Rsin α
1 1
L＝＋R
2
解得v ＝。
m
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