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公众号：黑洞视角
绝密★考试结束前
2024 学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考
高三数学 试题
考生须知：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4.考试结束后， 只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题
目要求.)
1. 已知集合A={-2,-1,0,1,2}, B={x|x²-2x>1},则A∩B=
A. {-2,-1} B. {-2,-1,0} C. {-2,-1,2} D. {-2,2}
2.已知复数z 满足z(1+i)=2-i, 则 z⋅z=
25 25 5 5
A. B. C D
4 16 4 2
3.已知向量a=(x,1), b=(1,x), 若(a+b)⊥b, 则x=
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
( π)
4.将函数 f (x)=2sin 2x− 图象上所有的点向左平移π/12个单位长度，再把所有点的纵坐标变
6
1 ( π )
为原来 ₂后，得到函数g(x)的图象. 则 g =
2 12
√3 1
A.√3 B. C D. 1
2 2
5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.
该指标是通过体重( kg)除以身高(m)的平方计算得来. 这个公式所得比值在一定程度可以反映
人体密度. 一般情况下，我国成年人的身体质量指数在 18.5~23.9内属正常范围. 已知A，B，C
三人的体质指数的平均值为20，方差为3. D，E两人的体质指数分别为18和22. 则这5人的体
质指数的方差为
17 14 17 14
A. B. C D
5 5 3 3
6.已知A，B为抛物线 x²=4 y上的动点, P(x₀, y₀)为AB中点, 若|AB|=6, 则y₀的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
高三数学 试题 第1页 共4页公众号：黑洞视角
7.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小
球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为
A. 20 B. 36 C. 54 D. 108
{ 2ln(2x−2)+2x, x>1,
8.已知函数 f (x)= ,若对∀x≠1, f(2-x)=-f(x)恒成立, 则 abc=
aln(−2x+2)+bx+c, x<1
A. -16 B. 16 C. -4 D. 4
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)
9.已知等差数列 ₙa 的前n项和为/ ₙS ,且公差 d≠0,2a₁₅+a₁₈=24.则以下结论正确的是
4
A.a₁₆=8 B.若 S₉=S₁₀, 则 d=
3
C.若d=-2, 则 Sn的最大值为S₂₁ D.若 a₁₅, a₁₆, a₁₈成等比数列，则d=4
−x+1 2a
10.已知a>0, 函数 f (x)=ax+ln ,g(x)= −a(1−x). 则以下结论正确的是
x+1 x+1
A. f(x)为偶函数
B. g(x)的图象关于点(-1,-2a)对称
C.当0 时,方程f(x)=g(x)无实根
e
x2
11.已知双曲线 C: −y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过坐标原点 O 的直线l与双曲线 C 的
4
左、右两支分别交于A，B两点，P为C的右支上一点(异于点 B)，△PF₁F₂的内切圆圆心为
N.则以下结论正确的是
π
A.直线PA与PB 的斜率之积为4 B.若 |PF₁|⋅|PF₂|=4, 则 ∠F PF =
1 2 3
C.以PF₁为直径的圆与圆. x²+ y²=4相切 D.若 ⃗PF ⋅⃗PF =0, 则点 N坐标为 (2,√6−√5)
1 2
高三数学 试题 第2页 共4页公众号：黑洞视角
非选择题部分
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
( 2) 7
12.在
x+
的展开式中，x³的系数为 .
x
13.若曲线 y=eˣ⁺ᵃ过坐标原点的切线与圆( (x−1)²+(y+1)²=2相切, 则实数a= .
14.如图,在四面体 SABC 中, SA=SC=√5,AB=BC=√6,AC=2√2,
SB=√3,则该四面体的外接球体积为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
( π)
15.(13分) 设△ABC中的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且 2asin C+ =b+c.
6
(1) 求A;
(2) 若a= √6 △ABC的周长为 6+2√6, 求△ABC的面积.
16.(15 分) 中国数学奥林匹克(CMO) 竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影
响力的数学竞赛. 某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛. 比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格
者可进入决赛.
(1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩X~N(70，225)，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名
学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数(结果取整数)；
(2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答
错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有
3
选错得0分. 假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为 ₅；每个多选题得
5
1 3 1
15分、5分、0分的概率均分别 , , .求甲同学决赛成绩Y 的数学期望.附：若.X~N(μ,
5 5 5
σ²), 则 .P(μ-
σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.955,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
高三数学 试题 第3页 共4页17. (15分) 已知函数. f (x)=(mx−1)eˣ(m∈R)在 x=0处取得极值.
(1) 求f(x)的单调区间;
(2) 若 f (x)≥ex+a恒成立，求实数a 的取值范围.
18. (17 分) 如图, 在四棱台 ABCD−A₁B₁C₁D₁中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB‖CD,
AB=2A₁B₁=4,AD=CD=2,AD⊥BB₁,BB₁=DD₁=B₁D₁.
(1) 证明: 平面 ABCD⊥平面D₁DBB₁;
(2) 求该四棱台的体积；
(3) 求平面A₁ABB₁与平面 B₁BCC₁夹角的余弦值.
19. (17分)阅读材料： “到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题. 其
内容为：若将直线 l₁绕l₁与l₂的交点逆时针方向旋转到与直线 l₂第一次重合时所转的角为
k −k
θ，则称 θ 为 l₁ 到 l₂ 的角，当直线 l₁ 与 l₂ 不垂直且斜率都存在时， tanθ= 2 1 (其中
1+k k
1 2
k₁,k₂分别为直线l₁和l₂的斜率).结合阅读材料，回答下述问题：
x2 y2
已知椭圆 E: + =1(a⟩b>0)的左、右焦点分别为 F₁,F₂,A(−2,1)为椭圆上一点，B(0,-1),
a2 b2
四边形 AF₁BF₂的面积为2 2√3,，O为坐标原点.
(1) 求椭圆E 的方程;
(2)求. ∠F₁AF₂的角平分线所在的直线l的方程；
(3)过点 A 的且斜率存在的直线l₁，l₂分别与椭圆交于点 P，Q(均异于点 A) ，若点 B 到直线
l₁, l₂的距离相等，证明：直线PQ 过定点.
高三数学 试题 第4页 共4页
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