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2020 年甘肃省兰州市中考数学真题及答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1.－2020的绝对值是( C )．
2.如图是有5个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( A )．
A． B． C． D．
3.据中国电子商务研究中心（100EC．CN）发布《2020年度中国共享经济发展报告》显示，截止
2020年12月，共有190家共享经济平台获得1159．56亿元投资．数据1159．56亿元用科学
计数法可表示为（ C ）
A.1159．56×108元 B.11.5956×1010元
C.1.15956×1011元 D.1.15956×108元
4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( B ).
A. B. C. D.
5如图,AB//CD,AD＝CD，∠1＝65°则∠2的度数是（ A ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
6.下列计算正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
7.如图,边长为4的等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的面积是（ A ）
A. B. C. D.
C
D E
A B
(第7题)
8.如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,BE//DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长度是（ C）A. B． C． D．
E
A
C
D
B
F
9．如图，将口ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F．若 ABD＝48°，
CFD＝40°，则 E为（ B ）
A．102° B．112° C．122° D．92°
A
D y
B
F C
- O 1 x
E 1
第11题图
10．关于x的分式方程 的解为负数，则a的取值范围为（ D ）
A. a＞1 B．a＜1 C．a＜1且a －2 D．a＞1且a 2
D.解析：化简得x＝a－1<0（x －1）即a>1且a 2．
11．如图，已知二次函数 的图像如图所示，有下列5个结论：
① ；②b－a＞c；
③ ．其中正确的结论
有（ B ）
A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤
B.解析：开口向下，a<0，与y轴交点在上方，c>0， ，即b>0，故 ；x＝
－1时，y＝a－b＋c<0，故b－a>c；x＝2时，y＝4a＋2b＋c<0； 是2到3之间的数x
－ 1 到 0 之 间 的 数 > － 3 ， 故 3a< － c ； ⑤ 式 化 解 得 ， ，，无论m大于1还是 1，该式总成立，故⑤成立，即答案为B．
12．如图，抛物线 与x轴的交于点A、B，把抛物线在x轴即其下方的部分
记作C，将C 向左平移得C，C 与x轴的交于点B、D．若直线 与C、C 共有三个不
1 1 2 2 1 2
同的交点，则m的取值范围是（ C ）
y
D B A
O
C 2 C 1
A. B.
C. D.
C.解析:在y＝ 中，令y＝0，解得x＝9,x＝5，∴点A，B的坐标分别为（9，
1 2
0），（5，0）．∵C 是由C 向左平移得到的，∴点D的坐标为（1，0），C 对应的函数解析式为y＝
2 1 2
＝ （1≤x≤5）．当直线y＝ 与C 相切时，可知关于x
2
的一元二次方程 ＝ 有两个相等的实数根，即方程x2－7x＋5－2m＝0有
两个相等的实数根，∴Δ＝（－7）2－4×1×（5－2m）＝0，解得m＝ ．当直线y＝
过点B时，可得0＝ ，解得m＝ ．如图，故当 <m< ，直线y＝ 与
C，C 共有3个不同的交点．
1 2
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共24分．
13．因式分解： ＝ ．y(x＋y)(x－y)
14．不等式组 的解集为 ．
－1<x<3.
15．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是 ．
C
O
B
A
.
13. 如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AB交BN于点E，连
接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是
．
D M N C
F
E
A B
第16题图
三、解答题（本大题共11小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算： ．
解: ．18.解方程: ．
解:移项,得3x2－2x＝2,
配方,得3（x－ ）2＝ ,
解得x＝ ，x＝ ．
1 2
19．先化简，再求值： ，其中 ．
解:原式＝ ＝ 代入 得原式＝ ．
,
20. （6分）如图，在Rt△ABC中．
（1）利用尺度作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
C
A B
第20题图
解:∠A的角平分线作法.作图略．
21．（7分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛帮助，学校为了解全校学生
课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计
图表．
学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图
借阅图书 0次 1次 2次 3次 4次及
4次及
的次数 以上 以上
3次
0次
人数 7 13 a 10 3 b%
1次
2次 26%请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）请计算扇形统计图中的“3次”所对应的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4次及以
上”的人数．
解:(1)17，20%. ＝17,b＝ ＝20%；
(2)10,10.由中位数和众数的定义即可得；（3）72°.360° 20%＝72°；
（4）120人. （人）
22．（7分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状是、大小完全
相同．李强从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一
个小球，记下数字为y，这样就确定了点M的坐标（x，y）．
（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝x＋1的图像上的概率．
解:（1）
x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
y 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
（2） .解:一共12个点坐标，有三个点坐标在上面．
23.（7分）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E
处分别测得CD顶部点D的仰角为30°，60°．求CD的高度．（结果保留根号）
D
B
F
A C
E
解:过B点作CD的垂线，垂足为F,设CD＝x米,则DF＝（x－3）（米），BF＝AC，BF＝ ，AC＝AE＋CE
＝ ，即 ，
解得， ，即CD长为9 米．
24．（7分）某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一
件需支付给商家管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”
的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该商品单价
每降1元，每天的销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30，且x为整数）的销量为y件．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？
最大利润是多少元？
解:（1）y＝38＋2x；解析：y＝40＋2（x－1）＝2x＋38；
（2） ＝
故x＝21时，w值最大，为2041元，即第21天时，利润最大，最大利润为2041元．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b的图像与反比例函数 的图
1
像交于点A（1，2）和B（－2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出 时，x的取值范围；
（3）过点B做BE//x轴， 于点D，点C是直线BE上一点，若AC＝2CD，求点C的坐标．
y
y 1
A
y
2
O
x
E
D
B
第25题图
解:（1） ；解析：代入点坐标即可；
（3） ；解析：观察图像可知；（3）C点的坐标为 ；解析：易知D（1，－1），设C点坐标为（x，－
1 ） ， 故 AC ＝ ， BC ＝ ， 由 AC ＝ 2BC 可 知 ， ， 即
， 解 得 ， 故 C 点 的 坐 标 为
．
26．（8分）如图，在 ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，
交CB的延长线于点G．连接AD、CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝ ，求AB的长．
证明（1）
A
D
F E
G B C
第26题图
（2）
即AB的长为6．
27．（9分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，D为BA延长线上的一点， ．
（1）求证：DC为圆O的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F，且 ＝45°，圆O的半径为5， ，求CF
的长． C
F
E
B
D
O A（1）连接OC，
（2）解析：由∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，可知，∠CFE＝∠CEF＝45°，即CF＝CE． 由
，可得AC＝6,由勾股定理得，BC＝8，设CF＝CE＝x，由∠CDE＝∠BDF，∠ECD＝
∠FBD，可知，△CED相似于△BFD，即 ，由∠CFD＝∠AED，∠EDA＝∠FDC，
可知△CFD相似于△AED，即 ，联立①②得， ，即CF的长为 ．
28．（12分）如图，抛物线 经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，
连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分 ；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 是以AB为直角边的直角三角形．若存在，
求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
y
O
A x
C B
第28题图解:（1）将A，B两点的坐标分别代入，
得
解得
故抛物线的表达式为y＝
．
（2）证明：设直线AB的表达式为y＝kx＋b’，
则
解得
故直线AB的表达式为y＝ ．
设直线AB与y轴的交点为点D，则点D的坐标为（0， ）．
易得点C的坐标为（0，－4），
则由勾股定理，可得AC＝ ．
设点B到直线AC的距离为h，
则 ,
解得h＝4．
易得点B到x轴的距离为4，
故AB平分∠CAO．
（3）存在．
易得抛物线的对称轴为直线 ，
设点M的坐标为（ ）．
由勾股定理，得AB2＝[5－(－3)]2＋(－4－0)2＝80，AM2＝[ －(－3)]2＋(m－0)2＝ ＋
m2，BM2＝（ －5）2＋[m－(－4)]2＝m2＋8m＋ ．
当AM为该直角三角形的斜边时，
有AM2＝AB2＋BM2，即 ＋m2＝80＋m2＋8m＋ ，
解得m＝－9，故此时点M的坐标为（ ，－9）．
当BM为该直角三角形的斜边时，
有BM2＝AB2＋AM2，即m2＋8m＋ ＝80＋ ＋m2，
解得m＝11，
故此时点M的坐标为（ ，11）．
综上所述，点M的坐标为（ ，－9）或（ ，11）．
