2019年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案)_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_甘肃省_甘肃兰州数学08-22

2019年兰州市中考试题数学
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟；
2.考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上；
3.考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）
1. －2019的相反数是（ ）
1 1
A. B. 2019 C. －2019 D. －
2019 2019
2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）
A. 1300. B. 1200. C. 1100. D. 1000.
第2题图
3. 计算： － ＝ （ ）
12 3
A. 3 . B. 2 3. C. 3 . D. 4 3 .
4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）
A. －2 . B. －3 . C. 4 . D. －6.
16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（ ）
A. 1100. B. 1200. C. 1350. D. 1400.
7. 化简：a2 1 2 ＝ （ ）

a1 a1
a1 1
A. a－1 . B. a+1 . C. . D. .
a1 a1
BC
8.已知△ABC∽△A′B′C′, AB＝8，A’B’＝6， 则 ＝ （ ）
B'C'
4 16
A. 2 . B. . C. 3 . D. .
3 9
9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互
换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，
则可列方程为 （ ）
5x6y 1 6x5y 1 5x6y 1 6x5y 1
A.  B.  C.  D. 
5x y 6yx 5x y 6y x 4x y 5y x 4x y 5yx
10. 如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形ABCD，已知A（－
1 1 1 1
3，5），B（－4，3），A（3，3）.则点B 坐标为（ ）
1 1
A. （1，2） B. （2，1） C. （1，4） D. （4，1）
211. 已知,点A（1，y），B（2，y）在抛物线y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A. 2> y> y B. 2 > y > y C. y> y>2 D. y > y>2
1 2 2 1 1 2 2 1
12. 如图，边长为 的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在
2
对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M,则DM＝（ ）
A. 1 B. 2 C. －1 D. －1
3 2
2 2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________.
【
14. 在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________.
k
15. 如图， 矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝ （x>0）的图象上，S ＝6，则
矩形OABC
x
k＝___________.
第15题图
16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分
1
别交AB、AC于点M、N两点，再分别以点M、N 为圆心，以大于 MN的长为半径作
2
弧交于点 P ,作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE＝1，则矩形 ABCD 的面积等于
___________
3三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题5分）
计算：|－2|－（ 3+1）0+（－2）2－tan450 .
18.(本题5分) 化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)
2x1 x5

19.（本题5分）解不等式组：x1
 x1

 3
20. （本题6分）如图，AB＝DE, BF＝EC. ∠B＝∠E.
求证：AC∥DF.
第20题图
21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识
挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道
题目.
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A,A,A,A 表示）;
1 2 3 4
第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B,B,B 表示）.
1 2 3
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.
22.（本题7分）
如图， AC＝8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交于点B和D，依次连接A、B、C、D，
连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长. 第22题图
423. （本题7分）
k
如图， 在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y＝ （k≠0）的图象，过
x
等边△BOC的顶点B，OC＝2,点A在反比例函数图象上，连接AC、AO.
k
（1）求反比例函数y＝ （k≠0）的表达式；
x
（2）若四边形ACBO的面积是3 ，求点A的坐标.
3
24. （本题7分）
为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成
绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：
表一
分数段
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
班级
八年级1班 7 5 10 3
表二
小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：
5
表三分数段
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级1班 78 85 36 105.28
分数段
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级2班 75 76 73 44 146.80
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.
25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：
问题提出：
如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限
度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD.
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太
阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的
正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.560）；
窗户的高度AB＝2m.
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.
（结果精确到0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86,
tan30.560≈ 0.59, Sin77.440≈ 0.98, cos77.440≈ 0.22,
tan77.440≈4.49）.
26.（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm,BC＝8cm,点D为BC的中点，
BE＝DE.将∠BDE绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直
6线AB于M、N两点.设B、M两点间的距离为xcm，M、N两点间的距离为ycm.
小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.
请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是根据B、M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组
对应值：
8
x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
3
y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87
请你通过计算，补全表格.
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点
（x，y）.并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________.
(4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）.
主要学习
通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题
【模型呈现】
如右图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900,将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以
推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC＝DE, BC＝AE.
我们把这个数学模型称为“K型”
推理过程如下：
【模型应用】
27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到
AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.
7（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接FC交AB于点G，连接FB，
求证：FG2＝GO•GB.
28.(本题12分)二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M
从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点
D，连接AC，设运动的时间为t秒.
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
3
（2）连接BD，当t＝ 时，求△DNB的面积；
2
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角
三角形时，求此时点D的坐标；
5
（4）当t＝ 时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求
4
点Q的坐标.
2019年兰州市中考试题数学
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟；
82.考生必须将姓名、准考证号、座位号等个人信息填（涂）与在答题卡上；
3.考生务必将答案直接填（涂）与在答题卡的相应位置。
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个正确选项）
1. －2019的相反数是（ ）
1 1
A. B. 2019 C. －2019 D. －
2019 2019
【答案】B．
【考点】相反数的定义.
【考察能力】运算求解能力
【难度】简单
【解析】－（－2019）＝2019
2.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b, ∠1＝∠800， 则∠2＝（ ）
A. 1300. B. 1200. C. 1100. D. 1000.
【答案】D． 第2题图
【考点】平行线的性质.
【考察能力】识图运算能力
【难度】容易
【解析】∵∠1＝800，
∴∠1的对顶角为800，
又∵ a∥b, ∴∠1的对顶角和∠2互补，
∴∠2＝1800－800＝1000，
答案为D．
3. 计算： 12 － 3＝ （ ）
A. 3 . B. 2 3. C. 3 . D. 4 3 .
【答案】A．
【考点】平方根的运算.
【考察能力】运算求解能力
【难度】简单
【解析】 12 － 3＝2 3－ 3＝ 3.
4. 剪纸是中国特有的民间艺术，在如图
9所示的四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】C．
【考点】轴对称图形和中心对称图形
【考察能力】观察能力
【难度】容易
【解析】轴对称图形关于某条直线对称，可以排除A、B，中心对称图形是图形绕某一点旋转1800后与原图形
重合的图形排除D.
故选C.
5. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）
A. －2 . B. －3 . C. 4 . D. －6.
【答案】A．
【考点】一元二次方程的解，整式运算
【考察能力】运算求解能力
【难度】简单
【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
故选A.
6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝400，则∠C＝（ ）
A. 1100. B. 1200. C. 1350. D. 1400.
【答案】D．
【考点】圆内接四边形的性质.
【考察能力】运算求解能力和观察识图能力
【难度】容易
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故选D.
a2 1 2
7. 化简：  ＝ （ ）
a1 a1
a1 1
A. a－1 . B. a+1 . C. . D. .
a1 a1
【答案】A．
【考点】分式计算.
【考察能力】运算求解能力.
10【难度】简单
a2 1 2 a2 12 (a1)(a1)
【解析】  ＝ ＝ ＝a－1 .
a1 a1 a1 a1
故选A.
BC
8.已知△ABC∽△A′B′C′, AB＝8，A’B’＝6， 则 ＝ （ ）
B'C'
4 16
A. 2 . B. . C. 3 . D. .
3 9
【答案】B．
【考点】相似三角形的性质.
【考察能力】运算求解能力.
【难度】容易
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′,
AB BC
∴ ＝
A'B' B'C'
又∵AB＝8，A’B’＝6，
BC 4
∴ ＝ .
B'C' 3
故选B.
9. ≪九章算术≫是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互
换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，
则可列方程为 （ ）
5x6y 1 6x5y 1 5x6y 1 6x5y 1
A.  B.  C.  D. 
5x y 6yx 5x y 6y x 4x y 5y x 4x y 5yx
【答案】C．
【考点】利用方程求解实际问题.
【考察能力】抽象概括能力.
【难度】中等
【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1
(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：
4x+y＝5y+x,
故选C.
10. 如图，平面直角坐标系xoy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平
移得到四边形ABCD，已知A（－3，5），B（－4，3），A（3，3）.则点B 坐标为
1 1 1 1 1 1
（ ）
A. （1，2） B. （2，1） C. （1，4） D. （4，1）
【答案】B．
11【考点】图形的平移.
【考察能力】识图能力和计算能力
【难度】简单
【解析】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A（3，3）得向右平移
1
3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B（2，1）.
1
故选B.
11. 已知,点A（1，y），B（2，y）在抛物线y＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A. 2> y> y B. 2 > y > y C. y> y>2 D. y > y>2
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】A．
【考点】二次函数顶点式以及二次函数的性质.
【考察能力】空间想象能力，运算求解能力.
【难度】较难
【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减
性可以得到，当x>－1时，y随x的增大而减小.因为－1<1<2.,所以2> y> y .
1 2
故选A.
12. 如图，边长为 2 的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在
对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M,则DM＝（ ）
1 2
A. B. C. 3－1 D. 2 －1
2 2
【答案】D．
【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质.
【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
【难度】较难
【解析】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q，
∵ 正方形的边长为 2 ，
2
∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝ ,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF.
2
又∵AC⊥BD, ∴OM＝PM,
设OM＝PM＝x
∵OQ⊥CD，MP⊥CD
∴∠OQC＝∠MPC＝900， ∠PCM＝∠QCO,
∴△CMP∽△COQ
12x 1x

∴ MP ＝CM , 即 2 1 ， 解得x＝ 2 －1
OQ CO 2
∴OM＝PM＝ 2 －1.
故选D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 因式分解：a3 +2 a2+ a＝___________.
【答案】a（a+1）2．
【考点】因式分解.
【考察能力】运算求解能力.
【难度】简单
【解析】a3 +2 a2+ a＝a（a2 +2 a+ 1）＝a（a+ 1）2.
14. 在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝400，则∠B＝___________.
【答案】700．
【考点】等腰三角形性质.
【考察能力】空间想象能力.
【难度】容易
【解析】∵AB＝AC, ∠A＝400，
∴∠B＝∠C＝700.
k
15. 如图， 矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝ （x>0）的图象上，S ＝6，则
矩形OABC
x
k＝___________.
【答案】6．
【考点】k的几何意义.
【考察能力】数形结合.
第15题图
【难度】简单
【解析】|k|＝S ＝6，∵图象在第一象限，∴k>0，∴k＝6.
矩形OABC
16. 如图， 矩形ABCD, ∠BAC＝600. 以点A为圆心，以任意长为半径作弧分
13
第16题图1
别交AB、AC于点M、N两点，再分别以点M、N 为圆心，以大于 MN的长为半径作弧交于点P ,作射线AP交
2
BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于___________.
【答案】3 3．
【考点】尺规作图，矩形的性质.
【考察能力】基础运算能力，空间想象能力，推理论证能力..
【难度】难.
【解析】 由题可知AP是∠BAC的角平分线
∵∠BAC＝600
∴∠BAE＝∠EAC＝300
∴AE＝2 BE＝2.
∴AB＝ 3
∴∠AEB＝600
又∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA
∴∠EAC＝∠ECA＝300
∴AE＝EC＝2
∴BC＝3
∴S ＝3 3．
矩形ABCD
三、解答题（本大题共12小题，满分86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题5分）
计算：|－2|－（ 3+1）0+（－2）2－tan450 .
【答案】4．
【考点】实数的计算.
【考察能力】运算求解能力.
【难度】简单.
【解析】解：原式＝2－1+4－1＝4.
1418.(本题5分) 化简：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)
【答案】a－2．
【考点】代数式的化简.
【考察能力】运算求解能力.
【难度】简单.
【解析】解：a(1－2a)+2(a+1)(a－1)
＝a－2a2+2a2－2
＝a－2.
2x1 x5 ①

19.（本题5分）解不等式组：x1
  x1 ②
 3
【答案】2<x<6．
【考点】不等式组的解法.
【考察能力】计算能力.
【难度】中等.
2x1 x5 ①

【解析】 解：x1
  x1 ②
 3
由①得：x<6
由②得：x>2
所以原不等式组的解集为：2<x<6.
20. （本题6分）如图，AB＝DE, BF＝EC. ∠B＝∠E.
求证：AC∥DF.
第20题图
【答案】AC∥DF.
【考点】三角形的全等.
【考察能力】推理论证能力.
【难度】简单.
【解析】证明：∵BF＝EC
15∴BF+CF＝EC+CF
∴BC＝EF
在△ABC与△DEF中，
AB  DE

B E

BC  EF

∴△ABC≌△DEF (SAS)
∴∠ACB＝∠EFD
∴AC∥DF.
21.（本题6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强----国学知识
挑战赛”总决赛拉开帷幕.小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道
题目.
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用A,A,A,A 表示）;
1 2 3 4
第二环节：成语听写、诗词对句、经典通读（分别用B,B,B 表示）.
1 2 3
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能的结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率.
【答案】解：（1）12种．
1
（2） .
6
【考点】概率与统计.
【考察能力】推理论证能力.
【难度】简单.
【解析】（1）解：
二
B B B
一 1 2 3
A AB AB AB
1 1 1 1 2 1 3
A AB AB AB
2 2 1 2 2 2 3
A AB AB AB
3 3 1 3 2 3 3
A AB AB AB
4 4 1 4 2 4 3
2 1
（2）小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为：P(抽取题目都是成语题目) ＝ ＝ .
12 6
22.（本题7分）
如图， AC＝8,分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两弧分别相交
于点B和D，依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O.
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
16（2）求BD的长.
【答案】（1）菱形， （2）BD＝6．
【考点】菱形的判定，垂直平分线的应用.
【考察能力】推理论证能力，运算求解能力.
第22题图
【难度】中等.
【解析】 证明：（1）由图可知，BD垂直平分AC，且AB＝BC＝CD＝AD＝5,
所以四边形ABCD是菱形.
（2）∵AC＝8, BD⊥AC且BD平分AC，
∴OA＝OC＝4
∴在Rt△AOB中，OB＝ AB2 OA2 ＝ 52 42 ＝3,
∴BD＝2 OB＝2×3＝6
∴BD的长为6.
23. （本题7分）
k
如图， 在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y＝ （k≠0）的图象，过
x
等边△BOC的顶点B，OC＝2,点A在反比例函数图象上，连接AC、AO.
k
（1）求反比例函数y＝ （k≠0）的表达式；
x
（2）若四边形ACBO的面积是3 3，求点A的坐标.
3 1
【答案】（1）y＝ ； （2）A（ ，2 3）
x 2
【考点】反比例函数解析式，不规则图形面积.
【考察能力】运算求解能力，推理论证能力.
【难度】中等.
【解析】 解：（1）∵ OC＝2,
∴OM＝1, BM＝ 3,
17∴点B(－1 ，－ 3 )，
∴ k＝(－1) ×（－ 3 ) ＝ 3,
6x5y1
∴y＝ .
5xy6yx
（2）∵S ＝3 3， S ＝S + S
ACBO ACBO △AOC △BOC
3
∵S ＝ OC2＝ 3,
△BOC
4
∴ 3+ S ＝3 3，
△AOC
∴S ＝2 3.
△AOC
∵OC＝2
1
∴ ×OC×AN＝2 3
2
∴AN＝2 3
设A（t，2 3）
∴2 3t＝ 3
1
∴t＝
2
1
∴A（ ，2 3）.
2
24. （本题7分）
为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成
绩进行了调查分析.小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：
表一
分数段
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
班级
八年级1班 7 5 10 3
表二
小丽用同样的方式对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：
18
表三分数段
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级1班 78 85 36 105.28
分数段
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级2班 75 76 73 44 146.80
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩处在80≤x＜90这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85.
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由.
【答案】（1）80． （2）八年级1班更为优异.
【考点】统计，数据的集中程度和离散程度.
【考察能力】运算求解能力，数据处理能力.
【难度】中等.
【解析】 （1）
表二
分数段
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级1班 78 80 85 36 105.28
（2）八年级1班更为优异.理由如下：可以从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，理由合理即可.
25 （本题7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究.过程如下：
问题提出：
如图1是某住户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限
度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直了墙面AC的遮阳篷CD.
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太
阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.440）；冬至这一天的
正午时刻，太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.560）；
19窗户的高度AB＝2m.
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳篷CD的长.
（结果精确到 0.1m，参考数据：sin30.560≈0.51, cos30.560≈0.86, tan30.560≈0.59,
Sin77.440≈0.98, cos77.440≈0.22, tan77.440≈4.49）.
【答案】0.5m．
【考点】三角函数及其应用.
【考察能力】运算求解能力，实际应用能力.
【难度】中等
【解析：在Rt△BCD中，∠BCD＝900，∠BDC＝30.560，
BC
∵tan∠BDC＝ ,
CD
∴BC＝CD⋅tan∠BDC,
在Rt△ACD中，∠ACD＝900，∠ADC＝77.440，
AC
∵tan∠ADC＝ ,
CD
∴AC＝CD⋅tan∠ADC,
∵AC－BC＝AB,
∴CD⋅tan∠ADC－CD⋅tan∠BDC＝2
即 CD⋅tan77.440－CD⋅tan30.560＝2
（4.49－0.59）CD＝2
∴CD＝0.5
答：遮阳篷CD长为0.5m.
26.（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm,BC＝8cm,点D为BC的中点，
BE＝DE.将∠BDE绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直
线AB于M、N两点.设B、M两点间的距离为xcm，M、N两点间的距离为ycm.
小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行
了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整.
（1）列表：下表的已知数据是根据B、M两点间的距离x进行取点、画图、
测量，分别得到了y与x的几组对应值：
8 3.81 3.90 3.93 4.10
x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68
3
6.71 7.27 7.41 8.87
y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01
请你通过计算，补全表格.
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点
（x，y）.并画出函数y关于x的图象：
20（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________.
(4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）.
【答案】（1）
8
x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
3
10
y/cm 3 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87
3
（2）图略（描点可得）
（3）随着自变量x的不断增大，函数y呈现先减小再增大的趋势.
（4）4和1.33
【考点】函数图象性质，三角形相似.
【考察能力】数据处理分析能力
【难度】难
【解析】 （1）当x＝0时，M点与N点分别和B点E点重合 MN＝BE＝3
8
当x＝ 时，假设DN交CA的延长线于点H
3
∵AB＝AC,
∴∠B＝∠C,
又∵D为BC的中点， BE＝DE.
∴∠B＝∠EDB, ED为AC边的中位线
根据旋转性质
∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN,
∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)
∠NDB＝∠MDB+∠MDN,
∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C
∴∠MDB＝∠H, ∠B＝∠C,
∴△MDB∽△DHC
CH DC
∴ ＝ ,
BD BM
4
CH
∴ ＝ 8 , CH＝6＝AC 即A点与H点重合
4
3
10
∴MN＝6－BM＝ .
3
21(2)根据表格描点可得.
（3）根据图象可得
（4）∵MN＝2BM
设BM＝x，MN＝2x，
EN＝3x－3 ， AN＝6－3x，
∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质)
∠NDB＝∠MDB+∠MDN,
∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C
∴∠MDB＝∠H, ∠B＝∠C,
∴△MDB∽△DHC
CH DC
∴ ＝ ,
BD BM
CH 4 16 16
∴ ＝ , ∴CH＝ ， HA＝HC－AC＝ －6
4 x x x
又∵△HAN∽△DEN
AH AN
∴ ＝ ,
ED NE
16
6 63x 4
∴ x ＝ , 解得： x＝4， x＝ ≈1.33
1 2
3x3 3
3
答：BM为4或1.33.
主要学习
通过对下面数学模型的研究学习，解决第27题、第28题
【模型呈现】
如右图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900,将斜边AB绕点A顺时针旋转900得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以
推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC＝DE, BC＝AE.
我们把这个数学模型称为“K型”
推理过程如下：
【模型应用】
27.（本题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝900, BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到
AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC, DE＝1,连接DO交⊙O于点F.
22（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接FC交AB于点G，连接FB，
求证：FG2＝GO•GB.
【答案】答案见解析．
【考点】三角形相似，圆切线证明.
【考察能力】推理论证能力，运算求解能力
【难度】较难
【解析】 （1）证明：∵∠DAE＝∠ABC 且∠ABC+∠CAB＝900,
∴∠EAD+∠CAB＝900,
∴∠DAB＝900,
∵AO为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线.
（2）证明：由（1）知∠DAB＝900,
∵ AC＝1， BC＝2
∴AB＝ 5,
由模型可知，△AED≌△BCA,
∴AD＝ 5,
5 5
∴AO＝ , ∴DO＝ ,
2 2
AE AD DE 2 5
∵ ＝ ＝ ＝ ,
AD DO AO 5
∴△AED∽△DAO
∴∠EAD＝∠ADO
∴AE∥DO
∴∠ACF＝∠CFO＝∠ABF
∵∠FGO＝∠BGF,
∴△FGO∽△BGF
FG GO
∴ ＝
BG FG
∴FG2＝GO•GB.
28.(本题12分)二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C.动点M
从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点
D，连接AC，设运动的时间为t秒.
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
233
（2）连接BD，当t＝ 时，求△DNB的面积；
2
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；
5
（4）当t＝ 时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠QAC＝900,求点Q的坐标.
4
1 3
【答案】（1）y＝－ x2+ x+2．
2 2
（2） 2
（3） D（1，3）
3 5 3 5
（4）Q（ ， ）或Q（ ，－ ）
2 2 2 2
【考点】二次函数的综合应用.
【考察能力】运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力.
【难度】困难
【解析】 （1）将点A（－1，0），点B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：
 1
a  
ab20   2
 解得：
16a4b20

3
b 

 2
1 3
所以，二次函数的表达式为：y＝－ x2+ x+2．
2 2
3
（2） ∵ t＝ ，
2
∴AM＝3，
又∵OA＝1, ∴ OM＝2,
设BC的解析式为：y＝kx+b (k≠0),将点C（0,2）、B（4，0）代入，得：
 1
b  2 k  
 解得： 2
4k b 0
 b  2
1
所以直线BC的解析式为：y＝－ x+2．
2
1 3 1
将x＝2分别代入y＝－ x2+ x+2和y＝－ x+2中，得：D（2，3）、N（2，1）
2 2 2
∴DN＝2,
1
∴ S ＝ ×2×2＝2.
△DNB
2
24(3)过点P作x轴的平行线，交y轴于点E，过点B作y 轴的平行线，交EP的延长线于点F，设D
1 3
（m，－ m2+ m+2）、E（0，n）、P（m,n）、F（4，n），由题意得：
2 2
△PEC≌△BFP,
∴PE＝BF, CE＝PF
4m  2n m 1
∴ ∴ 
n  m n  1
所以，点D的坐标为：（1，3）.
5 5
（4）当t＝ 时，AM＝ ,此时M点在二次函数的对称轴上，
4 2
以M点为圆心，AM长为半径作圆，交MN于Q、Q 两点，
1 2
3
∵C（0，2） ，M（ ，0）
2
5
∴CM＝ ＝R,
2
∴C点在该圆上
∴∠ACB＝900,
∴∠CAB+∠CBA＝900,
∵∠CQA＝∠CAB, (同弧所对的圆周角)
1
∴∠C QA+∠CBA＝900,
1
∠C QA+∠CBA＝900,
2
3 5 3 5
∴Q（ ， ）或Q（ ，－ ）
2 2 2 2
25