文档内容
2016 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷)
一、选择题
1．（4分）（2016•兰州）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）（2016•兰州）反比例函数是y= 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．（4分）（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与
△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（4分）（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．（4分）（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）（2016•兰州）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
1页（共34页）A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是
（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4
9．（4分）（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花
（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空
地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
10．（4分）（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则
∠ADC的大小为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
11．（4分）（2016•兰州）点P（﹣1，y ），P（3，y ），P（5，y ）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图
1 1 2 2 3 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y =y C．y ＞y ＞y D．y =y ＞y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
2页（共34页）12．（4分）（2016•兰州）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转
了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
13．（4分）（2016•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下
结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（4分）（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，
AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
15．（4分）（2016•兰州）如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反比例函
数y= 的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k
2
﹣k
1
=（
）
3页（共34页）A．4 B． C． D．6
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
16．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是 ．
17．（4分）（2016•兰州）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有
6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实
验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球 个．
18．（4分）（2016•兰州）双曲线y= 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的
取值范围是 ．
19．（4分）（2016•兰州） ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条
件： ，使得 ▱ABCD为正方形．
20．（4分）（2016•兰州）对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形
ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩
形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，
矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣
矩形”时，点C的坐标为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
4页（共34页）21．（10分）（2016•兰州）（1） +（ ）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0
（2）2y2+4y=y+2．
22．（5分）（2016•兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不
写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
23．（6分）（2016•兰州）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任
意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），
两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各
自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树
状图的方法求他获胜的概率．
24．（7分）（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°
夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角
（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
5页（共34页）25．（10分）（2016•兰州）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，
G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说
明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
6页（共34页）26．（10分）（2016•兰州）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ ，
1）在反比例函数y= 的图象上．
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S = S ，求点P的坐标；
△AOP △AOB
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点
E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
27．（10分）（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于
点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC= ，求DE的长．
7页（共34页）28．（12分）（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，
动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作
PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．
（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；
（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个
单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ
沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写
出S与t的函数关系及t的取值范围．
2016 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷)
8页（共34页）参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）（2016•兰州）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1，据此可得出图
形，从而求解．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图是
．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形
内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小
正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视
图中相应行中正方形数字中的最大数字．
2．（4分）（2016•兰州）反比例函数是y= 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数是y= 中，k=2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
故选B．
9页（共34页）【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k
＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题
的关键．
3．（4分）（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与
△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为 ，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为 ，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积
的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比．
4．（4分）（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长
代入求出AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= = ，BC=6，
∴AB= = =10，
故选D
10页（共34页）【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
5．（4分）（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等
的实数；△＜0 方程没有实数根，进⇔行判断即可． ⇔
【解答】解：∵⇔△=22﹣4×1×1=0，
∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 ⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔ 方程没有实数根．
⇔
6．（4分）（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 = ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = = ，
故选C．
11页（共34页）【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础
定义或定理，难度不大．
7．（4分）（2016•兰州）如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD，
根据等腰三角形性质得出∠BOC= ∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是 的中点，OC过O，
∴OA=OB，
∴∠BOC= ∠AOB=40°，
故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
8．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是
（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4
【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．
12页（共34页）【解答】解：y=x2﹣2x+4配方，得
y=（x﹣1）2+3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的形式你，配方法是解题关键．
9．（4分）（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花
（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空
地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形
的面积公式方程可列出．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18，
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外
求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
10．（4分）（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则
∠ADC的大小为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
13页（共34页）【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得 ，求出β即可解
决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC= β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
11．（4分）（2016•兰州）点P（﹣1，y ），P（3，y ），P（5，y ）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图
1 1 2 2 3 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y =y C．y ＞y ＞y D．y =y ＞y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的
增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P（﹣1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，可判断
1 1 1
y =y ＞y ．
1 2 3
【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P （3，y ），P （5，y ）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
2 2 3 3
∵3＜5，
∴y ＞y ，
2 3
根据二次函数图象的对称性可知，P （﹣1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，
1 1 1
故y =y ＞y ，
1 2 3
故选D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性
及增减性．
14页（共34页）12．（4分）（2016•兰州）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转
了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：根据题意得：l= =3πcm，
则重物上升了3πcm，
故选C
【点评】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
13．（4分）（2016•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下
结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b=2a＜0，由抛物线与y
轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到△=b2﹣4ac＞
0，则可对②进行判断；利用b=2a可对③进行判断；利用x=﹣1时函数值为正数可对④进行
判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
15页（共34页）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵b=2a，
∴2a﹣b=0，所以③错误；
∵抛物线开口向下，x=﹣1是对称轴，所以x=﹣1对应的y值是最大值，
∴a﹣b+c＞2，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系
数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开
口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称
轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点
位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线
与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与
x轴没有交点．
14．（4分）（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，
AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而
得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根
16页（共34页）据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求
出菱形OCEF的面积即可．
【解答】解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=2 ，DE=2，
∴OE=2 ，即OF=EF= ，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF= =1，即DC=2，
则S菱形ODEC = OE•DC= ×2 ×2=2 ．
故选A
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是
解本题的关键．
15．（4分）（2016•兰州）如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反比例函
数y= 的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k
2
﹣k
1
=（
）
17页（共34页）A．4 B． C． D．6
【分析】设A（m， ），B（n， ）则C（m， ），D（n， ），根据题意列出方程组即可解决
问题．
【解答】解：设A（m， ），B（n， ）则C（m， ），D（n， ），
由题意： 解得k ﹣k =4．
2 1
故选A．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解
决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
16．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是 ﹣ 7 ．
【分析】利用配方法把二次函数写成顶点式即可解决问题．
【解答】解：∵y=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，
∵a=1＞0，
18页（共34页）∴x=﹣2时，y有最小值=﹣7．
故答案为﹣7．
【点评】本题考查二次函数的最值，记住a＞O函数有最小值，a＜O函数有最大值，学会利用
配方法确定函数最值问题，属于中考常考题型．
17．（4分）（2016•兰州）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有
6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实
验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球 2 0 个．
【分析】由于摸到黄球的频率稳定在30%，由此可以确定摸到黄球的概率，而袋中有6个黄球，
由此即可求出．
【解答】解：∵摸到黄球的频率稳定在30%，
∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，
而袋中黄球只有6个，
∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），
故答案为：20．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左
右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果
个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
18．（4分）（2016•兰州）双曲线y= 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的
取值范围是 m ＜ 1 ．
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，
解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y= 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
19页（共34页）【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于m的
一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性
结合反比例函数的性质找出反比例系数k的取值范围是关键．
19．（4分）（2016•兰州） ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条
件： ∠ BAD=90 ° ，使得 ▱ABCD为正方形．
【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可．
【解答】解：∵ ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，
当∠BAD=90°时， ▱ABCD为正方形．
故答案为：∠BAD=90°．
【点评】本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角．
20．（4分）（2016•兰州）对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形
ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩
形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，
矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣
矩形”时，点C的坐标为 （ ﹣ ，﹣ ）或（ ， ） ．
【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角
线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标，和矩
形的长和宽；
20页（共34页）有两种情况：①矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和DH
的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；②矩形在x轴上方时，也分别过C、
B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（ ， ）．
【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，
根据直线l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，
由勾股定理得：MN= =2 ，
①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由cos∠ABD=cos∠ONM= = ，
∴ = ，AB= ，则AD=1，
∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MON，
∴ ，
∴ ，
∴DG= ，
∴CG= + = ，
同理可得： ，
∴ = ，
∴DH= ，
∴C（ ﹣ ，﹣ ）；
②矩形在x轴上方时，同理可得：C（ ， ）；
故答案为：（ ﹣ ，﹣ ）或（ ， ）．
21页（共34页）【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解
答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯
穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩
形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．
三、解答题（共8小题，满分70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）（2016•兰州）（1） +（ ）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0
（2）2y2+4y=y+2．
【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利
用利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1） +（ ）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0
=2 +2﹣2× ﹣1
= +1；
（2）2y2+4y=y+2，
2y2+3y﹣2=0，
（2y﹣1）（y+2）=0，
2y﹣1=0或y+2=0，
22页（共34页）所以y = ，y =﹣2．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因
式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两
个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次
方程的问题了（数学转化思想）．也考查了实数的运算．
22．（5分）（2016•兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不
写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接
正四边形ABCD．
【解答】解：如图所示，四边形ABCD即为所求：
【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90°的四边
形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
23．（6分）（2016•兰州）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任
意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），
两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各
自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5，用列表或画树
状图的方法求他获胜的概率．
23页（共34页）【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为5情况数，即可确定小军
胜的概率．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字的和为5的情况有4种，
所以小军获胜的概率= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（7分）（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°
夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角
（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】根据题意，可以得到BC=BD，由∠CDB=45°，∠EDB=53°，由三角函数值可以求得BD
的长，从而可以求得DE的长．
【解答】解：设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米，
在Rt△BDE中，tan∠EDB= ，
24页（共34页）即 ，
解得，x≈6.06，
∵sin∠EDB= ，
即0.8= ，
解得，ED≈10
即钢线ED的长度约为10米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的
边的长度．
25．（10分）（2016•兰州）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，
G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说
明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
25页（共34页）【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF= AC，然后根据平
行四边形判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，于是得到当AC=BD时，
FG=HG，即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即
可得到结论．
【解答】解：（1）是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
26页（共34页）∴四边形EFGH为矩形．
【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于
第三边且等于第三边的一半．
26．（10分）（2016•兰州）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ ，
1）在反比例函数y= 的图象上．
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S = S ，求点P的坐标；
△AOP △AOB
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点
E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【分析】（1）将点A（ ，1）代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（ ，﹣3），计算求出S = × ×4=2 ．则
△AOB
S = S = ．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；
△AOP △AOB
（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣ ，﹣1），即可求
解．
27页（共34页）【解答】解：（1）∵点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k= ×1= ，
∴反比例函数的表达式为y= ；
（2）∵A（ ，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC= ，AC=1，
由射影定理得OC2=AC•BC，可得BC=3，B（ ，﹣3），
S = × ×4=2 ．
△AOB
∴S = S = ．
△AOP △AOB
设点P的坐标为（m，0），
∴ ×|m|×1= ，
∴|m|=2 ，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣2 ，
∴点P的坐标为（﹣2 ，0）；
（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=2 ，AB=4，
∴sin∠ABO= = = ，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，
∴BO=BD=2 ，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，
而BD﹣OC= ，BC﹣DE=1，
∴E（﹣ ，﹣1），
∵﹣ ×（﹣1）= ，
∴点E在该反比例函数的图象上．
28页（共34页）【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三
角形的面积，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键．
27．（10分）（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于
点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC= ，求DE的长．
【分析】（1）连接OC，欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°．
（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得 = 求出AE，EC，再根据sin∠A=sin∠EDH，
得到 = ，求出DE即可．
【解答】证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵OD⊥AB，
∴∠A+∠AEO=90°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠AEO=∠DEC，
∴∠AEO=∠DCE，
29页（共34页）∴∠OCE+∠DCE=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O切线．
（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH=∠A，
∵DE=DC，
∴EH=HC= EC，
∵⊙O的半径为5，BC= ，
∴AB=10，AC=3 ，
∵△AEO∽△ABC，
∴ = ，
∴AE= = ，
∴EC=AC﹣AE= ，
∴EH= EC= ，
∵∠EDH=∠A，
∴sin∠A=sin∠EDH，
∴ = ，
∴DE= = = ．，
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添
加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．
28．（12分）（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，
动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作
PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．
（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；
30页（共34页）（2）连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；
（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个
单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ
沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写
出S与t的函数关系及t的取值范围．
【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，
PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；
（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部分
的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当 ＜t≤2.5时，如图4
所示，△PDN就是重合部分的面积S．
【解答】解：（1）把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：
解得 ，
∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4；
（2）如图1，当t= 时，AP=2t，
∵PC∥x轴，
∴ ，
∴ ，
31页（共34页）∴OD= = × = ，
当y= 时， =﹣x2+ x+4，
3x2﹣5x﹣8=0，
x =﹣1，x = ，
1 2
∴C（﹣1， ），
由 得 ，
则PD=2，
∴S = ×PC×BD= ×3× =4；
△BCP
（3）如图3，
当点E在AB上时，
由（2）得OD=QM=ME= ，
∴EQ= ，
由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴
∴ ，
∴ ，
∴t= ，
同理得：PD=3﹣ ，
∴当0≤t≤ 时，S=S = ×PD×MQ= ×（3﹣ ）× ，
△PDQ
S=﹣ t2+ t；
32页（共34页）当 ＜t≤2.5时，
如图4，P′D′=3﹣ ，
点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t， ），
∵AB的解析式为：y=﹣ x+4，
D′E的解析式为：y= x+ t，
则交点N（ ， ），
∴S=S = ×P′D′×FN= ×（3﹣ ）（ ﹣ ），
△P′D′N
∴S= t2﹣ t+ ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，
并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；
同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似
结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．
33页（共34页）参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；CJX；1286697702；sks；733599；sjzx；zjx111；
2300680618；王学峰；守拙；gsls；弯弯的小河；三界无我；曹先生；tcm123；HLing；wd1899；
zgm666（排名不分先后）
34页（共34页）
