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2012年兰州市中考数学试题
一、单项选择题（每小题4分，共60分）
1．sin60°的相反数是【 】
A．－ B．－ C．－ D．－
2．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则
y与x的函数关系式为【 】
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
3．已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【 】
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
4．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是【 】
A．直线x＝ B．直线x＝－ C．y轴 D．直线x＝2
5．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为【 】
A．6 B．8 C．12 D．24
6．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇
形”的面积为【 】
A．π B．1 C．2 D．
7．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是【 】
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
8．用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，
当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是【 】
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
9．在反比例函数y＝(k＜0)的图象上有两点(－1，y)，(－，y)，则y－y 的值是【 】
1 2 1 2
A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定
10．某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列
方程为【 】
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200
C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200
11．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a、b的大小关系为【 】
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定
12．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速
度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直
角三角形时，t(s)的值为【 】2
A． B．1 C．或1 D．或1或
13．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使
△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实
数根，则k的取值范围是【 】
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3
15．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块
完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：
cm)之间的函数关系的大致图象是【 】
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
16．如图所示，小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与
桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 ．
17．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD
为矩形，则它的面积为 ．
23
18．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB
的取值范围是 ．
19．如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过
点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 ．
20．如图，M为双曲线y＝上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于点D、C
两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为 ．
三、解答题（本大题8小题，共70分）
21．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式÷的值．
22．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面
的夹角为倾角 ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图(2)设计者为了提高楼梯
的安全程度，要把楼梯的倾角 减至 ，这样楼梯所占用地板的长度由d 增加到d，已知d＝
1 2 1 2 1
4m，∠ ＝40°，∠ ＝36°，求楼梯占用地板增加的长度(计算结果精确到0.01m，参考数据：
1 2
tan40°＝0.839，tan36°＝0.727)．
34
23．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
24．5月23、24日，兰州市九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测
试成绩，将测试成绩整理后作出如统计图．甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算
出第一组的频率为0.04，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15．结合统计
图回答下列问题：
(1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？
(2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？
(3)如果这次测试成绩中的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多
少人？
25．如图，定义：若双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的
长度为双曲线y＝(k＞0)的对径．
(1)求双曲线y＝的对径；
(2)若双曲线y＝(k＞0)的对径是10，求k的值；
(3)仿照上述定义，定义双曲线y＝(k＜0)的对径．
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[来源:学科网]
26．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、
OE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的长．
27．若x、x 是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x、x 和系数a、b、c
1 2 1 2
有如下关系：x＋x＝－，x•x＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函
1 2 1 2
数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x，0)，B(x，0)．利用根与系数关系定
1 2
理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB＝|x－x|＝ ＝ ＝ ＝ ．
1 2
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x，0)、B(x，0)，抛物线的顶点
1 2
为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
56
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
28．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、
B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形
ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的
坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作
∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关
系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的
坐标；若不存在，说明理由．
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2012年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题4分，共60分)．
1．sin60°的相反数是( )
A． B． C． D．
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可．
解答：
解：∵sin60°＝ ，
∴sin60°的相反数是－ ，
故选C．
点评：本题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义，要求学生牢记并熟练运用．
2．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y
与x的函数关系式为( )
A． B． C． D．
[来源:
学科网]
y＝
考点：根据实际问题列反比例函数关系式。
专题：应用题。
分析：设出反比例函数解析式，把(0.25，400)代入即可求解．
解答：
解：设y＝ ，
400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，
∴k＝0.25×400＝100，
∴y＝ ．
故选C．
点评：
反比例函数的一般形式为y＝ (k是常数，且k≠0)，常用待定系数法求解函数解析式．
3．已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是( )
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
考点：圆与圆的位置关系。
分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接
得出答案．
解答：解：由题意知，
两圆圆心距d＝3＞R－r＝2且d＝3＜R＋r＝6，
故两圆相交．
故选A．
点评：本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R＋r；外切，则P＝R＋r；相交，则R
－r＜P＜R＋r；内切，则P＝R－r；内含，则P＜R－r．(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的
半径)．
4．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( )
A． B． C．y轴 D．直线x＝2
直线 直线
考点：二次函数的性质。
分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．
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解答：解：∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，
∴对称轴是直线x＝0(y轴)，
故选C．
点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．
5．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为( )
A．6 B．8 C．12 D．24
考点：由三视图判断几何体。
分析：找到主视图中原几何体的长与高让它们相乘即可．
解答：解：主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合
三者之间的关系从而确定主视图的长和高分别为4，2，所以面积为8，故选B．
点评：解决本题的关键是根据所给的左视图和俯视图得到主视图的各边长．
6．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇
形”的面积为( )
A．π B．1 C．2 D．
考点：扇形面积的计算；弧长的计算。
专题：新定义。
分析：根据扇形的面积公式计算．
解答：解：设扇形的半径为r，
根据弧长公式得S＝ r＝ r＝2
l 2
故选C．
点评：本题主要考查了扇形的面积公式．
7．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
考点：二次函数图象与几何变换。
分析：根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解答：解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝(x＋2)2，
抛物线y＝(x＋2)2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝(x＋2)2－3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选B．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下
减．
8．(2012•兰州)用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心
角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是( )
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
考点：几何概率；扇形统计图。
分析：根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在
陆地的概率．
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解答：解：∵“陆地”部分对应的圆心角是108°，
∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360＝ ，
∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是 ＝0.3，
故选B．
点评：此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积
之比．
9．在反比例函数 的图象上有两点(－1，y)， ，则y－y 的值是( )
1 1 2
A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
分析：
反比例函数 ：当k＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大
而增大．
解答：
解：∵反比例函数 中的k＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；
又∵点(－1，y)和 均位于第二象限，－1＜－ ，
1
∴y＜y，
1 2
∴y－y＜0，即y－y 的值是负数，
1 2 1 2
故选A．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限
内．
10．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，
则可列方程为( )
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程。
专题：几何图形问题。
分析：根据花圃的面积为200列出方程即可．
解答：解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，
∴长为(x＋10)米，
∵花圃的面积为200，
∴可列方程为x(x＋10)＝200．
故选C．
点评：考查列一元二次方程；根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．
11．(2012•兰州)已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a，b的大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定
考点：二次函数的最值。
专题：探究型。
分析：根据函数有最小值判断出a的符号，进而可得出结论．
解答：解：∵二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，
∴a＞0，
∵无论b为何值，此函数均有最小值，
∴a、b的大小无法确定．
故选D．
点评：本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直
接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
910
12．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速
度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三
角形时，t(s)的值为( )
A． B．1 C． D．
或1 或1或
考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；三角形中位线定理。
专题：分类讨论。
分析：若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°；在上述两种情况
所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，
由AE＝AB－BE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离(有两种情况)，根据时间
＝路程÷速度即可求得t的值．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
Rt△ABC中，BC＝2，∠ABC＝60°；
∴AB＝2BC＝4cm；
①当∠BFE＝90°时；
Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则BE＝2BF＝2cm；
故此时AE＝AB－BE＝2cm；
∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t＝1s或3s；
由于0≤t＜3，故t＝3s不合题意，舍去；
所以当∠BFE＝90°时，t＝1s；
②当∠BEF＝90°时；
同①可求得BE＝0.5cm，此时AE＝AB－BE＝3.5cm；
∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t＝1.75s或2.25s；
综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．
故选D．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学
思想．
13．(2012•兰州)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点
M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )
A．130° B．120° C．110° D．100°
考点：轴对称-最短路线问题。
分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关
1011
于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋
∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案．
解答：解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为
△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°，
故选：B．
点评：此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质
等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
14．(2012•兰州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个
不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3
考点：二次函数的图象；二次函数的性质。
分析：先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等
的实数根时，k的取值范围．
解答：解：根据题意得：y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图：
所以若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，
则k＞3，
故选D．
点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图
象得出k的取值范围．
15．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块
完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)
之间的函数关系的大致图象是( )
1112
A． B． C． D．
考点：函数的图象。
分析：露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
解答：解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露
出水面一定高度．
故选C．
点评：本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通
过求解析式来解决．
二、填空题：每小题4分，共20分．
16．如图所示，小明和小龙做转陀螺游戏，他们同时分别转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与
桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 ．
考点：列表法与树状图法。
分析：列举出所有情况，让桌面相接触的边上的数字都是奇数的情况数除以总情况数即为所求的
概率．
解答：解：列表得：
(4，6) (5，6) (6，6) (7，6) (8，6) (9，6)
(4，5) (5，5) (6.5) (7，5) (8，5) (9，5)
(4，4) (5，4) (6，4) (7，4) (8，4) (9，4)
(4，3) (5，3) (6，3) (7，3) (8，3) (9，3)
(4，2) (5，2) (6，2) (7，2) (8，2) (9，2)
(4，1) (5，1) (6，1) (7，1) (8，1) (9，1)
∴与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是 ，
所以答案： ．
点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线y＝ 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形
ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．
1213
考点：反比例函数系数k的几何意义。
分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面
积S的关系S＝|k|即可判断．
解答：解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线 上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y＝ 上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2．
故答案为：2．
点评：
本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂
线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题
一定要正确理解k的几何意义．
18．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB
的取值范围是 8＜AB≤10 ．
考点：直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理。
专题：计算题。
分析：解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公
共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共
点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
解答：
解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，
连接OA，OD，可得OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD，
1314
在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，
∴AD＝4，
∴AB＝2AD＝8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB＝10，
所以AB的取值范围是8＜AB≤10．
故答案为：8＜AB≤10
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，
其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最
长．
19．(2012•兰州)如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴
上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 －
≤x≤ ．
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求
解即可．
解答：解：连接OD，由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°，
故可得OP'＝ ，即x的极大值为 ，
同理当点P在x轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x＝－ ，
综上可得x的范围为：－ ≤x ．
故答案为：－ ≤x ．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题
的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．
1415
20．(2012•兰州)如图，M为双曲线y＝ 上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－
x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为 2
．
考点：反比例函数综合题。
专题：综合题。
分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y＝－x＋m，易得A(0，m)，B(m，0)，得
到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为(a，
b)，则ab＝ ，
并且CE＝b，DF＝a，则AD＝ DF＝ a，BC＝ CE＝ b，于是得到AD•BC＝ a•
b＝2ab＝2 ．
解答：解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y＝－x＋m，
令x＝0，则y＝m；令y＝0，－x＋m＝0，解得x＝m，
∴A(0，m)，B(m，0)，
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为(a，b)，则ab＝ ，
CE＝b，DF＝a，
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴AD＝ DF＝ a，BC＝ CE＝ b，
∴AD•BC＝ a• b＝2ab＝2 ．
故答案为2 ．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求
一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．
三、解答题：本大题8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
21 ． (2012• 兰 州 ) 已 知 x 是 一 元 二 次 方 程 x2 － 2x ＋ 1 ＝ 0 的 根 ， 求 代 数 式
1516
的值．
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解．
解答：解：∵x2－2x＋1＝0，
∴x＝x＝1，
1 2
原式＝ ÷ ＝ • ＝ ，
∴当x＝1时，原式＝ ．
点评：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，会解一元二次方程及能将分式的除法转
化为分式的乘法是解题的关键．
22．(2012•兰州)在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图(1)，虚线为楼梯的倾斜度，斜
度线与地面的夹角为倾角 ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图(2)设计者为了提
高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角 减至 ，这样楼梯所占用地板的长度由d 增加到d，已知d
1 2 1 2 1
＝4米，∠ ＝40°，∠ ＝36°，楼梯占用地板的长度增加率多少米？(计算结果精确到0.01米，参
1 2
考数据：tan40°＝0.839，tan36°＝0.727)
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析：根据在Rt△ACB中，AB＝dtan ＝4tan40°，在Rt△ADB中，AB＝dtan ＝dtan36°，即可
1 1 2 2 2
得出d 的值，进而求出裸体用地板增加的长度．
2
解答：解：由题意可知可得，∠ACB＝∠ ，∠ADB＝∠ 在Rt△ACB中，AB＝dtan ＝4tan40°，
1 2 1 1
在Rt△ADB中，AB＝dtan ＝dtan36°，
2 2 2
得4tan40°＝dtan36°，
2
∴d＝ ，
2
∴d－d＝4.616－4＝0.616≈0.62，
2 1
答：裸体用地板的长度增加了0.62米．
点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角
函数得出d 的值是解题关键．
2
23．(2012•兰州)如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
1617
(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
考点：翻折变换(折叠问题)。
分析：(1)根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形．
(2)由折叠的性质，易得∠FDB＝∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证
得∠FDB＝∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．
解答：解：(1)做法参考：
方法1：作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；
方法2：作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；
方法3：作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE…2分
(做法合理均可得分)
∴△DEB为所求做的图形…3分．
(2)等腰三角形．…4分
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴△BDE≌△BDC，
∴∠FDB＝∠CDB，…5分
[来源:Z。xx。k.Com]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，…6分
∴∠FDB＝∠BDC，…7分
∴△BDF是等腰三角形．…8分
点评：此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定，折叠的性质以及尺规作图．此题难度不大，注
意掌握数形结合思想的应用．
24．(2012•兰州)5月23、24日，兰州市九年级学生进行了中考体育测试，某校抽取了部分学生的一
分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如统计图．甲同学计算出前两组的频率和是0．12，乙
同学计算出第一组的频率为0.04，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15．结
合统计图回答下列问题：
(1)这次共抽取了多少名学生的一分钟跳绳测试成绩？
(2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？
(3)如果这次测试成绩中的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？
1718
考点：频数(率)分布直方图；中位数。
专题：数形结合。
分析：(1)根据题意：结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；易得第二组的
频率0.08；再由频率、频数的关系频率＝ 可得总人数．
(2)根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，和(1)的结论；容易求得各组的
人数，这样就能求出优秀率．
(3)由中位数的意义，作答即可．
解答：解：(1)第二组的频率为0.12－0.04＝0.08，
又第二组的人数为12人，故总人数为： (人)，
即这次共抽取了150名学生的一分钟跳绳测试成绩．
(2)第一组人数为150×0.04＝6(人)，
第三组人数为51人，
第四组人数为45人，
这次测试的优秀率为 ．
(3)前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，所以成绩为120次的学生
至少有7人．
点评：本题考查频率分布直方图，关键是要掌握各小组频率之和等于1，频率、频数的关系为：频
率＝ ，难度一般．
25．(2012•兰州)如图，定义：若双曲线y＝ (k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，
则线段AB的长度为双曲线y＝ (k＞0)的对径．
(1)求双曲线y＝ 的对径．
(2)若双曲线y＝ (k＞0)的对径是10 ，求k的值．
(3)仿照上述定义，定义双曲线y＝ (k＜0)的对径．
1819
考点：反比例函数综合题。
专题：综合题。
分析：过A点作AC⊥x轴于C，
(1)先解方程组 ，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，
则△OAC为等腰直角三角形，得到OA＝ OC＝ ，则AB＝2OA＝2 ，于是得到双曲
线y＝ 的对径；
(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10 ，即AB＝10 ，OA＝5 ，根
据OA＝ OC＝ AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝
(k＞0)即可得到k的值；
(3)双曲线y＝ (k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲
线y＝ (k＜0)的对径．
解答：解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
(1)解方程组 ，得 ， ，
∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，
∴OC＝AC＝1，
∴OA＝ OC＝ ，
∴AB＝2OA＝2 ，
∴双曲线y＝ 的对径是2 ；
(2)∵双曲线的对径为10 ，即AB＝10 ，OA＝5 ，
∴OA＝ OC＝ AC，
∴OC＝AC＝5，
∴点A坐标为(5，5)，
把A(5，5)代入双曲线y＝ (k＞0)得k＝5×5＝25，
即k的值为25；
(3)若双曲线y＝ (k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，
则线段AB的长称为双曲线y＝ (k＞0)的对径．
1920
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰
直角三角形的斜边是直角边的 倍；强化理解能力．
26．(2012•兰州)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中
点，连接DE、OE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若tanC＝ ，DE＝2，求AD的长．
考点：切线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；解
直角三角形。
专题：计算题；证明题。
分析：(1)连接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，
∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可；
(2)BD＝ x，CD＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出( x)2＋(2x)2＝16，求出x，求出
BD，根据tan∠ABD＝tanC求出AD＝ BD，代入求出即可．
解答：解：(1)DE与⊙O相切，
理由如下：连接OD，BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BE＝CE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB．
∴∠EDO＝∠EBO＝90°，(用三角形全等也可得到)
2021
∴DE与⊙O相切．
(2)∵tanC＝ ，可设BD＝ x，CD＝2x，
∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD2＋CD2＝BC2
∴( x)2＋(2x)2＝16，
解得：x＝± (负值舍去)
∴BD＝ x＝ ，
∵∠ABD＝∠C，
∴tan∠ABD＝tanC
AD＝ BD＝ × ＝ ．
答：AD的长是 ．
点评：本题综合考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，切线的判
定等知识点，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，注意：①证切线的方法，②方程思
想的运用．
27．(2012•兰州)若x、x 是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x、x
1 2 1 2
和系数a、b、c有如下关系：x＋x＝－ ，x•x＝ ．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如
1 2 1 2
果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x，0)，B(x，0)．利用根与系数
1 2
关系定理可以得到 A、B连个交点间的距离为：AB＝|x －x|＝ ＝
1 2
＝ ＝ ；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x，0)，B(x，0)，抛物线的顶点为C，
1 2
显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。
2122
分析：(1)当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作
CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB＝ ，根据顶点坐标公
式，得到CE＝| |＝ ，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝ AE＝ ，据此列出方程，解方
程即可求出b2－4ac的值．
解答：解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac．
∵a＞0，∴AB＝ ，
又∵CE＝| |＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵b2－4ac＞0，
∴b2－4ac＝4；
(2)当△ABC为等边三角形时，
由(1)可知CE＝ ，
∴ ，
∵b2－4ac＞0，
∴b2－4ac＝12．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系
定理，综合性较强，难度中等．
2223
28．(2012•兰州)如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为
坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝ x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线
x＝ 上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD
是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥B
D交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写
出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说
明理由．
考点：二次函数综合题。
分析：
(1)根据抛物线y＝ 经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝ 上，得出b，c即可；
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出
x＝5或2时，y的值即可．
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝ 时，求出y即可；
(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出 ，得到ON＝ ，进而表示出
△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．
解答：
解：(1)∵抛物线y＝ 经过点B(0，4)
∴c＝4，
∵顶点在直线x＝ 上，
∴ ；
∴所求函数关系式为 ；
(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
2324
当x＝5时，y＝ ，
当x＝2时，y＝ ，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则 ，
解得： ，
∴ ，
当x＝ 时，y＝ ，
∴P( )，
(4)∵MN∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴ 即 得ON＝ ，
设对称轴交x于点F，
则 (PF＋OM)•OF＝ ( ＋t)× ，
∵ ，
( )× ＝ ，
S＝ (－ )，
＝－ (0＜t＜4)，
S存在最大值．
由S＝－ (t－ )2＋ ，
∴当S＝ 时，S取最大值是 ，
此时，点M的坐标为(0， )．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积
最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．
2425
25
