2010年甘肃省兰州市中考数学试题(含答案)_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_甘肃省_甘肃兰州数学08-22

2010年兰州中考试卷 兰州市 2010 年初中毕业生学业考试试卷 数 学（A） 注意事项： 1.全卷共150分，考试时间120分钟。 2.考生必须将报考学校、姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡的 相应位置上。 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。 一、选择题 (本题15小题，每小题4分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1. 观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 2. 函数y ＝ 2x ＋ x3中自变量x的取值范围是 A．x≤2 B．x＝3 C．x＜2且x ≠3 D．x ≤2且x≠3 3. 已知一个几何体的三种视图如右图所示，则这个 几何体 是 A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．正方体 4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作 圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半 径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个 y 3x2 6x5 5. 二次函数 的图像的顶点坐标是 A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4） x2 5x60 6. 已知两圆的半径R、r分别为方程 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的 位置关系是 A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数 分别为86°、30°，则∠ACB的大小为 A．15 B．28 C．29 D．34 2010年兰州中考试卷（数学）（A） 第 1 页 共 12 页第 7 题 图 第 8 题图 8. 某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图. 则这 组数据的众数和中位数分别是 A．7、7 B． 8、7.5 C．7、7.5 D． 8、6 90 8cm 9. 现有一个圆心角为 ，半径为 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接 缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为 4cm 3cm 2cm 1cm A． B． C． D． 10. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为 A．2 B． 3 C． 3 D． 2 3 第 10 题图 第11题图 3 11. 如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm ，DE⊥AB，垂足为E， sin A=5，则下列结论正 确的个数有 DE 3cm BE 1cm 15cm2 BD  2 10cm ① ② ③菱形的面积为 ④ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 a 12. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价 %后售价为128元. 下列所列 方程中正确的是 168(1a %)2 128 168(1a %)2 128 A． B． 168(12a %) 128 168(1a2 %) 128 C． D． y  x2 bxc 13. 抛物线 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的 y  x2 2x3 解析式为 ，则b、c的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 第 2 页 共 12 页 2010年兰州中考试卷（数学）（A）k2 1 y  y y y x 14. 已知点（-1， 1），（2， 2），（3， 3）在反比例函数 的图像上. 下列结 论中正确的是 y  y  y y  y  y y  y  y A． 1 2 3 B． 1 3 2 C． 3 1 2 D． y  y  y 2 3 1 y  ax2 bxc y  bx4acb2 15. 抛物线 图像如图所示，则一次函数 与反比例 abc y  函数 x 在同一坐标系内的图像大致为 x x x x x 第15题图 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分） （m1)x2  x1 0 16. 已知关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 ． 17. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转 90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为 ． 18. 如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点 C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ． 第 17 题 图 第18题图 19. 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子 里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米. 20. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋 千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小 明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离 为 米. 2010年兰州中考试卷（数学）（A） 第 3 页 共 12 页第19题图 第20题图 三、解答题（本题8小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.（本题满分10分） 1 1 ( )2  12 （1）（本小题满分4分） 2tan60 — (3.14)0 + 2 2 （2）（本小题满分6分） 已知：y＝y＋y，y与x2成正比例，y与x成反比例，且x＝1 1 2 1 2 1 时，y＝3；x＝-1时，y＝1. 求x＝-2 时，y的值． 22.（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想 建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹）． 90 （2）（本小题满分2分））若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC= ，试求小明家圆形 花坛的面积． 第 22题图 23.（本题满分6分）小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥 两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌， 将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游 戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数 字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去． （1）请用数状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率； （2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公 平的游戏规则． 第 4 页 共 12 页 2010年兰州中考试卷（数学）（A）24.（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全 性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送 带AB长为4米. （1）求新传送带AC的长度； （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物 MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数 2 3 5 6 据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45) 第 24题图 k y  (k＞0) 25.（本题满分9分）如图，P 是反比例函数 x 1 在第一象限图像上的一点，点A 的坐标为(2，0)． 1 （1）当点P 的横坐标逐渐增大时，△PO A 的面积 1 1 1 将如何变化？ （2）若△PO A 与△P A A 均为等边三角形，求 1 1 2 1 2 此反比例函数的解析式及A 点的坐标． 2 第 25 题 图 26.（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的 延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线； 1 （2）求证：BC=2 AB； （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值. 2010年兰州中考试卷（数学）（A） 第 5 页 共 12 页第 26 题图 27.（本题满分10分）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8． （1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ； 60 （2）若AC与BD的夹角∠AOD= ，求四边形ABCD的面积；  （3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD= a b  a b AC= ，BD= ，试求四边形ABCD的面积（用含 ， ， 的代数式表示）． 第 27 题图 28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y y  x2 bxc 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线 经过坐标原点O和x轴上另一点E （4,0） （1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速 平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运 动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 11 t  ① 当 4 时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点 的坐标；若无可能，请说明理由． 图 1 第28题图 图2 第 6 页 共 12 页 2010年兰州中考试卷（数学）（A）兰州市2010年初中毕业生学业考试试卷 数学(A)参考答案及评分标准 一、 选择题（本题15小题，每小题4分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 B A B B A B B C C D C B B B D 二、填空题（本题5小题，每小题4分，共20分） 32 2 5 m 4 16． 4 且m≠1 17．5 18． 1 19．6 20．2 三、解答题（本题8小题，共70分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 21.（本题满分10分） （1）（本小题满分4分） 2 3 14 3 解：原式= ……………………………………………2 分 2 33 3 = ………………………………………………………3分 =5 …………………………………………………………………………4分 （2）（本小题满分6分） 解：解：y与x2成正比例，y与x成反比例 1 2 k k 2 2 设y＝kx2，y＝ x ，y＝kx2＋ x …………………………………………………2 1 1 2 1 分 3 k k 1 2  1 k k  把x＝1，y＝3，x＝-1，y＝1分别代入上式得 1 2 ……………………3 分 k  2 1  1 ,y  2x2   k 1 x ∴ 2 ………………………………………… 5分 1 1 1 1 1 3  当x＝-2 , y＝2×(-2 )2＋ 2 ＝2 -2＝-2 ……………………………… 6分 22. （本题满分6分） (1)（本小题满分4分） 用尺规作出两边的垂直平分线 ………………… 2分 2010年兰州中考试卷（数学）（A） 第 7 页 共 12 页作出圆 ………………………… 3分 ⊙O即为所求做的花园的位置.（图略） ……………………………4 分 （2）（本小题满分2分） 90 解：∵∠BAC= ,AB=8米,AC=6米, ∴BC=10米 ∴ △ABC外接圆的半径为5米 ……………………………………5 分 5 ∴小明家圆形花坛的面积为2 平方米 . …………………………… 6 分 23.（本题满分6分） (1)所有可能的结果如有表： 哥哥 4 6 7 8 一共有16种结果，每种结果出现的 小莉 可能性相同． 1 （1，4） （1，6）（1，7）（1，8） 2 （2，4）（2，6）（2，7）（2，8） 3 （3，4）（3，6）（3，7）（3，8） 5 （5，4）（5，6）（5，7）（5，8） …………………………………2 分 6 3  和为偶数的概率为16 8 3 所以小莉去上海看世博会的概率为8 ………………………………3 分 3 5 (2)由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为8，哥哥去的概率为8，所以游戏 不公平，对哥哥有利． ………………………………………… 4分 游戏规则改为：若和为偶数则小莉得5分，若和为奇数则哥哥得3分，则游戏是 公平的． …………………………………………………… 6分 （游戏规则的修改有多种多样，阅卷老师视情况给分） 24.（本题满分8分） （1）如图，作AD⊥BC于点D ……………………………………1分 Rt△ABD中， 2  2 2 2 AD=ABsin45°=4 ……2分 在Rt△ACD中，∵∠ACD=30° 4 2 5.6 ∴AC=2AD= ≈ …………………… …3分 5.6 即新传送带AC的长度约为 米． ………………………………………4 分 第 8 页 共 12 页 2010年兰州中考试卷（数学）（A）（2）结论：货物MNQP应挪走． ……………………………………5分 2  2 2 2 解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 ……………………6分 3 4 2 2 6 2 在Rt△ACD中，CD=AC cos30°= 2 6 2 2  2( 6  2) ∴CB=CD—BD= ≈2.1 ∵PC=PB—CB ≈4—2.1=1.9＜2 ……………………………… 7分 ∴货物MNQP应挪走． …………………………………………………………8 分 25. （本题满分9分） （1）解：（1）△POA 的面积将逐渐减小． …………………………………2 1 1 分 （2）作PC⊥OA，垂足为C，因为△PO A 为等边三角形， 1 1 1 1 3 (1, 3) 所以OC=1，PC= ，所以P ． ……………………………………3 1 1 分 k 3 y y  代入 x ，得k= 3 ，所以反比例函数的解析式为 x ． ……………4 分 3 作PD⊥A A，垂足为D、设AD=a，则OD=2+a，PD= a， 2 1 2 1 2 (2a, 3a) 所以P ． …………………………………………………………… 2 6分 3 y 代入 x ，得 (2a) 3a  3 ，化简得 a2 2a10 2 解的：a=-1± …………………………………………… 7分 a  1 2 ∵a＞0 ∴ ……………………………… 8分 2 2 所以点A 的坐标为﹙ ，0﹚ ……………………………………………… 2 9分 26. （本题满分10分） 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1 分 ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2 分 ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ………………………………………… 3分 ∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4 分 2010年兰州中考试卷（数学）（A） 第 9 页 共 12 页（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5 分 ∴BC=OC 1 2 ∴BC= AB ……………………………………………………… 6分 (3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点 ∴ 弧 AM= 弧 BM ∴ ∠ ACM=∠ BCM ………7分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB BM MN  ∴ MC BM ∴BM2=MC·MN …………………… 8分 ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM 2 2 ∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9 分 ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10 分 27. （本题满分10分） 解：（1）∵AC⊥BD ∴四边形ABCD的面积 ………………………………………2 分 （2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E …………………………………3分 ∵四边形ABCD为平行四边形 1 1 AO CO  AC 5 BO  DO  BD  4 2 2 AE sinAOE  在Rt⊿AOE中， AO 3 5 3 AE  AOsinAOE  AOsin60o 5  ∴ 2 2 …………4分 1 1 3 S  OD AE  4 55 3 ∴ AOD 2 2 2 ………………………………5分 第 10 页 共 12 页 2010年兰州中考试卷（数学）（A）S  4S  20 3 ∴四边形ABCD的面积 AOD ……………………………………6分 (3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F …………7分 AE sinAOE  在Rt⊿AOE中， AO AE  AOsinAOE  AOsin ∴ 同理可得 CF COsinCOF COsin ………………………………8分 ∴四边形ABCD的面积 1 1 S  S S  BD AE  BDCF ABD CBD 2 2 1  BDsin(AOCO) 2 1  BD ACsin 2 28. （本题满分11分） 1  absin …………………………………10 y  x2 bxc2 解：（1）因抛物线 经过坐标原点O（分0, 0）和点E（4,0） 故可得c=0,b=4 y  x2 4x 所以抛物线的解析式为 …………………………………………1分 y  x2 4xyx22 4 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 （2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)， 设直线ME的关系式为y=kx+b. 4kb0 k 2   于是得2kb4 ，解得b8 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 11 11 11 11 t  P( , ) 由已知条件易得，当 4 时，OA=AP= 4 ， 4 4 …………………4分 ∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com] 11 t  4 ∴ 当 时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 2010年兰州中考试卷（数学）（A） 第 11 页 共 12 页分 ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的 1 1 高为AD，∴ S=2DC·AD=2 ×3×2=3. （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， 1 1 ∴ S=2 (CD+PN)·AD=2 [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分 当 -t 2+3 t+3=5 时 ， 解 得 t=1 、 2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有 （ⅱ）也可以,不扣分） 第 12 页 共 12 页 2010年兰州中考试卷（数学）（A）