文档内容
2015 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．
y=x2+
2．（4分）（2015•兰州）由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几
何体三种视图叙述正确的是（ ）
A．左视图与俯视图相同 B．左视图与主视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（4分）（2015•兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2
4．（4分）（2015•兰州）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2015•兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A
的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
第1页（共34页）6．（4分）（2015•兰州）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
7．（4分）（2015•兰州）下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
8．（4分）（2015•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=
（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，
点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ）
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
10．（4分）（2015•兰州）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
第2页（共34页）11．（4分）（2015•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的
10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已
知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均
增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
（1+x）2= （1+x）2= 1+2x= 1+2x=
12．（4分）（2015•兰州）若点P（x ，y ），P（x ，y ）在反比例函数y=（k＞0）的图
1 1 1 2 2 2
象上，且x =﹣x ，则（ ）
1 2
A．y ＜y B．y =y C．y ＞y D．y =﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
13．（4分）（2015•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴
上，且OA=OC，则（ ）
A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．以上都不是
14．（4分）（2015•兰州）二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x ，0），B
1
（x ，0），且x ＜x ，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
2 1 2
A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x
2
C．当n＜0时，x ＜m＜x D．当n＞0时，m＜x
1 2 1
15．（4分）（2015•兰州）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，
点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，
PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路
径长为（ ）
第3页（共34页）A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
16．（4分）（2015•兰州）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则
a+b= ．
17．（4分）（2015•兰州）如果 = = =k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=
．
18．（4分）（2015•兰州）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小
球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，
之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试
验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50007
根据列表，可以估计出n的值是 ．
19．（4分）（2015•兰州）如图，点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴
于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，
△ABP的面积记为S ，△QMN的面积记为S ，则S S ．（填“＞”
1 2 1 2
或“＜”或“=”）
20．（4分）（2015•兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为
4cm，则∠A的度数是 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
21．（10分）（2015•兰州）（1）计算：2﹣1﹣ tan60°+（π﹣2015）0+|﹣ |；
第4页（共34页）（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）．
22．（5分）（2015•兰州）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心
P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作
图痕迹用黑色签字笔加黑）
23．（6分）（2015•兰州）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传
球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的
机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
第5页（共34页）24．（8分）（2015•兰州）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的
旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高
度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙
上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在
围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些
数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
25．（9分）（2015•兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．
（1）求证：AD=BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互
相垂直平分．
第6页（共34页）26．（10分）（2015•兰州）如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y =ax+b与反比
1
例函数y = 图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
2
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y ﹣y ＞0？
1 2
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐
标．
第7页（共34页）27．（10分）（2015•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD
交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部
分的图形面积．（结果保留根号和π）
第8页（共34页）28．（12分）（2015•兰州）已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y=ax2的解析式；
（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x 、y ）、B（x 、
1 1 2
y ）两点．
2
①当m= 时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
②试判断当m≠ 时（图②），△AOB的形状，并证明；
（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）
2015 年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．
y=x2+
考点： 二次函数的定义．菁优网版权所有
分析： 根据二次函数的定义，可得答案．
解答： 解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
第9页（共34页）D、y=x2+ 不是二次函数，故D错误；
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （ a≠0）是二次函数，注意二次函
数都是整式．
2．（4分）（2015•兰州）由五个同样大小的立方体组成如图的几何体，则关于此几
何体三种视图叙述正确的是（ ）
A．左视图与俯视图相同 B．左视图与主视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
依此即可求解．
解答： 解：如图所示几何体的左视图与主视图都是两列，每列正方形的个数从左
往右都是3，1，左视图与主视图相同；俯视图是两列，每列正方形的个数从左往右
都是2，1．
故选：B．
点评： 此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的定义是解题关
键．
3．（4分）（2015•兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（ ）
A．y=（x+2）2 B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2
考点： 二次函数的性质．菁优网版权所有
分析： 根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
解答： 解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；
y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；
第10页（共34页）y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；
y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．
故选：A．
点评： 本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题
的关键．
4．（4分）（2015•兰州）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
分析： 首先根据∠B=90°，BC=2AB，可得AC= =
，然后根据余弦的求法，求出cosA的值是多少即可．
解答： 解：∵∠B=90°，BC=2AB，
∴AC= = ，
∴cosA= ．
故选：D．
点评： （1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键
是要明确：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（2）此题还考查了直角三角形的性质，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
5．（4分）（2015•兰州）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A
的坐标为（ ）
第11页（共34页）A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
考点： 位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有
分析： 利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标．
解答： 解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段
AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选：B．
点评： 此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题
关键．
6．（4分）（2015•兰州）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
考点： 解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 方程利用配方法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，
故选C
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题
的关键．
7．（4分）（2015•兰州）下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
第12页（共34页）B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
考点： 命题与定理．菁优网版权所有
分析： 根据特殊四边形的对角线的性质进行分析A、B、C；根据矩形的判定分析
D，即可解答．
解答： 解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确 ；
B、平行四边形的对角线互相平分，正确；
C、矩形的对角线相等，正确 ；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
故选：D．
点评： 本题考查了命题与定理，解决本题的关键是熟记菱形的性质、矩形、平行
四边形的性质与判定定理．
8．（4分）（2015•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=
（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
分析： 由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针
对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
解答： 解：（1）当k＞0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经
过一、三象限，如图所示：
第13页（共34页）（2）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象
限．如图所示：
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性
质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形
结合思想、分类讨论思想．
9．（4分）（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，
点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ）
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
考点： 圆周角定理；坐标与图形性质．菁优网版权所有
分析： 由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得
∠ACB=∠AOB=90°．
解答： 解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=∠ACB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到
∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．
第14页（共34页）10．（4分）（2015•兰州）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
考点： 菱形的性质．菁优网版权所有
分析： 首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角
形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角
函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2 ，
∴EF=AE=2 ，
过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面积是： EF•AM= ×2 ×3=3 ．
第15页（共34页）故选：B．
点评： 此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握
菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
11．（4分）（2015•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的
10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已
知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均
增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
（1+x）2= （1+x）2= 1+2x= 1+2x=
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题： 增长率问题．
分析： 股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价
格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每
天相对于前一天就上涨到1+x．
解答： 解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1，
即（1+x）2= ，
故选B．
点评： 此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道
题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x）倍．
12．（4分）（2015•兰州）若点P（x ，y ），P（x ，y ）在反比例函数y=（k＞0）的图
1 1 1 2 2 2
象上，且x =﹣x ，则（ ）
1 2
第16页（共34页）A．y ＜y B．y =y C．y ＞y D．y =﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y = ，y = ，根据x =﹣x 解
1 2 1 2
得y = =﹣ ，从而求得y =﹣y ．
1 1 2
解答： 解：∵点P（x ，y ），P（x ，y ）在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
1 1 1 2 2 2
∴y = ，y = ，
1 2
∵x =﹣x ，
1 2
∴y = =﹣
1
∴y =﹣y ．
1 2
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，
k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
13．（4分）（2015•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴
上，且OA=OC，则（ ）
A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．以上都不是
考点： 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
专题： 数形结合．
分析： 根据图象易得C（0，c）且c＞0，再利用OA=OC可得A（﹣c，0），然后把A
（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c即可得到a、b、c的关系式．
解答： 解：当x=0时，y=ax2+bx+c=c，则C（0，c）（c＞0），
第17页（共34页）∵OA=OC，
∴A（﹣c，0），
∴a•（﹣c）2+b•（﹣c）+c=0，
∴ac﹣b+1=0，
即ac+1=b．
故选A．
点评： 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜
0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当
a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴
在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交
于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2
个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与
x轴没有交点．
14．（4分）（2015•兰州）二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x ，0），B
1
（x ，0），且x ＜x ，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
2 1 2
A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x
2
C．当n＜0时，x ＜m＜x D．当n＞0时，m＜x
1 2 1
考点： 抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
分析： 首先根据a确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论．
解答： 解：∵a=1＞0，
∴开口向上，
∵抛物线的对称轴为：x=﹣ =﹣ = ，
二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x ，0），B（x ，0），且x ＜x ，
1 2 1 2
无法确定x 与x 的正负情况，
1 2
∴当n＜0时，x ＜m＜x ，但m的正负无法确定，故A错误，C正确；
1 2
当n＞0时，m＜x 或m＞x ，故B，D错误，
1 2
故选C．
第18页（共34页）点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象
上点的坐标特征是解题的关键．
15．（4分）（2015•兰州）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，
点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，
PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路
径长为（ ）
A． B． C． D．
考点： 弧长的计算；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
分析： OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过
的角度代入弧长公式即可．
解答： 解：∵PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
∴四边形ONPM是矩形，
又∵点Q为MN的中点，
∴点Q为OP的中点，
则OQ=1，
第19页（共34页）点Q走过的路径长= = ．
故选A．
点评： 本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性
质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
16．（4分）（2015•兰州）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则
a+b= 201 5 ．
考点： 一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析： 由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
解答： 解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
点评： 此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等
的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
17．（4分）（2015•兰州）如果 = = =k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=
3 ．
考点： 比例的性质．菁优网版权所有
分析： 根据等比性质，可得答案．
解答： 解：由等比性质，得k= = =3，
故答案为：3．
点评： 本题考查了比例的性质，利用了等比性质： = = =k k= = ．
⇒
18．（4分）（2015•兰州）在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小
球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，
第20页（共34页）之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试
验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数100 1000 5000 10000 50000 100000
摸出黑球次数46 487 2506 5008 24996 50007
根据列表，可以估计出n的值是 n=1 0 ．
考点： 模拟实验．菁优网版权所有
分析： 利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概
率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
解答： 解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，
∴ =0.5，
解得：n=10．
故答案为：10．
点评： 此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率
可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．
19．（4分）（2015•兰州）如图，点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴
于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，
△ABP的面积记为S ，△QMN的面积记为S ，则S = S ．（填“＞”或“＜”
1 2 1 2
或“=”）
考点： 反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
分析： 设p（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果．
解答： 解；设p（a，b），Q（m，n），
第21页（共34页）则S = AP•AB= a（b﹣n）= ab﹣ an，
△ABP
S = MN•QN= （m﹣a）n= mn﹣ ，
△QMN
∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴ab=mn=k，
∴S =S ．
1 2
点评： 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向
两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的
思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
20．（4分）（2015•兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为
4cm，则∠A的度数是 30 ° 或 150 ° ．
考点： 三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网
版权所有
分析： 利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出
答案．
解答： 解：如图：连接BO，CO，
∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°．
若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．
∴∠A=30°或150°．
故答案为：30°或150°．
第22页（共34页）点评： 此题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和
圆周角定理等知识，得出△OBC是等边三角形是解题关键．
三、解答题（共8小题，满分70分）
21．（10分）（2015•兰州）（1）计算：2﹣1﹣ tan60°+（π﹣2015）0+|﹣ |；
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特
殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函
数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简
计算即可得到结果；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：（1）原式= ﹣ × +1+ =﹣1；
（2）方程整理得：x2﹣2x﹣3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，
解得：x =﹣1，x =3．
1 2
点评： 此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
22．（5分）（2015•兰州）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心
P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作
图痕迹用黑色签字笔加黑）
考点： 作图—复杂作图；角平分线的性质；垂径定理．菁优网版权所有
第23页（共34页）分析： 作∠AOB的角平分线，作MN的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的
交点为圆心，以圆心到M点（或N点）的距离为半径作圆．
解答： 解：如图所示．
圆P即为所作的圆．
点评： 本题考查了几何作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等
的性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和
线段垂直平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键．
23．（6分）（2015•兰州）为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传
球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的
机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
考点： 列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析： （1）画出树状图，
（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解；
（3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．
解答： 解：（1）根据题意画出树状图如下：
第24页（共34页）由树形图可知三次传球有8种等可能结果；
（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率= ；
（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率= ，传到乙脚下的概率= ，
所以球回到乙脚下的概率大．
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完
成的事件．
24．（8分）（2015•兰州）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的
旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高
度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙
上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在
围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些
数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 平行 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
考点： 相似三角形的应用；平行投影．菁优网版权所有
第25页（共34页）分析： （1）这是利用了平行投影的有关知识；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投
影的知识可以得到比例式： = ，即 = ，由此求得CD即电线杆的高度
即可．
解答： 解：（1）该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的；
故答案是：平行；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．
则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．
所以AM=10﹣2=8，
由平行投影可知， = ，即 = ，
解得CD=7，即电线杆的高度为7米．
点评： 本题考查了平行投影，相似三角形的应用．解题时关键是找出相似的三角
形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
25．（9分）（2015•兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．
（1）求证：AD=BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互
相垂直平分．
第26页（共34页）考点： 全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；中点四边形．菁优网版权
所有
专题： 证明题．
分析： （1）由平行四边形的性质易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等
三角形判定定理及性质得出结论；
（2）连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，易得四边
形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得 ▱HFGE为菱形，易得
EF与GH互相垂直平分．
解答： 证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，
∵AB∥CD
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，
在△ACD和△BDC中，
，
∴△ACD≌△BDC（SAS），
∴AD=BC；
（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，
∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，
∴HE∥AD，且HE= AD，FG∥AD，且FG= ，
∴四边形HFGE为平行四边形，
由（1）知，AD=BC，
∴HE=EG，
∴▱HFGE为菱形，
∴EF与GH互相垂直平分．
第27页（共34页）点评： 本题主要考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，菱
形的判定及性质，综合运用平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质与判定
是解答此题的关键．
26．（10分）（2015•兰州）如图，A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y =ax+b与反比
1
例函数y = 图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
2
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y ﹣y ＞0？
1 2
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐
标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
第28页（共34页）分析： （1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数
图象上方；
（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m
的值；
（3）设P点坐标为（m， m+ ），利用三角形面积公式可得到 • •（m+4）= •1•（2
﹣ m﹣ ），解方程得到m=﹣ ，从而可确定P点坐标．
解答： 解：（1）当y ﹣y ＞0，
1 2
即：y ＞y ，
1 2
∴一次函数y =ax+b的图象在反比例函数y = 图象的上面，
1 2
∵A（﹣4， ），B（﹣1，2）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y ﹣y ＞0；
1 2
（2）∵y = 图象过B（﹣1，2），
2
∴m=﹣1×2=﹣2，
∵y =ax+b过A（﹣4， ），B（﹣1，2），
1
∴ ，解得 ，
∴一次函数解析式为；y= x+ ，
（3）设P（m， m+ ），过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴PM= m+ ，PN=﹣m，
∵△PCA和△PDB面积相等，
第29页（共34页）∴ BD•DN，
即； ，
解得m=﹣ ，
∴P（﹣ ， ）．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数
图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察
函数图象的能力．
27．（10分）（2015•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD
交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部
分的图形面积．（结果保留根号和π）
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析： （1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判
定推出即可；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而
求得半径r的值；②根据S =S ﹣S 求得即可．
阴影 △BOD 扇形DOE
解答： 解：（1）直线BC与⊙O相切；
第30页（共34页）连结OD，∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
即OD⊥BC．
又∵直线BC过半径OD的外端，
∴直线BC与⊙O相切．
（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，
∴OB=2r，
在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∴3r=6，解得r=2．
（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°．
∴ ．
∴所求图形面积为 ．
点评： 本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等
知识点的应用，主要考查学生的推理能力．
28．（12分）（2015•兰州）已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y=ax2的解析式；
第31页（共34页）（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x 、y ）、B（x 、
1 1 2
y ）两点．
2
①当m= 时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
②试判断当m≠ 时（图②），△AOB的形状，并证明；
（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）
考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有
分析： （1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；
（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明
△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分
别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可
证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形
（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．
解答： （1）解：∵y=ax2过点（2，1），
∴1=4a，解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x2；
（2）①证明：
当m= 时，联立直线和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴A（﹣2，1），B（8，16），
第32页（共34页）分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，
∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，
∴ = = ，且∠ACO=∠ODB，
∴△ACO∽△ODB，
∴∠AOC=∠OBD，
又∵∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形；
②解：△AOB为直角三角形．
证明如下：
当m≠ 时，联立直线和抛物线解析式可得 ，解得 或
，
∴A（2m﹣2 ，（m﹣ ）2），B（2m+2 ，（m+ ）2），
分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，
第33页（共34页）∴AC=（m﹣ ）2，OC=﹣（2m﹣2 ），BD=（m+ ）2，OD=2m+2
，
∴ = = ，且∠ACO=∠ODB，
∴△ACO∽△OBD，
∴∠AOC=∠OBD，
又∵∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形；
（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，
则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．
点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和
性质、直角三角形的判定等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）
中注意表示出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不
唯一，可结合（2）的过程得出．本题知识点较多，综合性很强，难度较大．
第34页（共34页）
