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甘肃省兰州市 2018 年中考数学试卷（A 卷）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1. 的绝对值是
A. B. C. 2018 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数a的绝对值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.
【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，
所以-2018的绝对值是2018，
故选C.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.
2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．
【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
如图所示，故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图．
3.据中国电子商务研究中心 发布 年度中国共享经济发展报告 显示，截止2017年12
月，共有190家共享经济平台获得 亿元投资，数据 亿元用科学记数法可表示为
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝
对值<1时，n是负数．
【详解】 亿=115956000000，
所以 亿用科学记数法表示为1.15956×1011，
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】A、 不是最简二次根式，错误；
B、 是最简二次根式，正确；
C、 不是最简二次根式，错误；D、 不是最简二次根式，错误，
故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： 被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5.如图， ， ， ，则 的度数是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数．
【详解】 ，
，
，
，
=180°-∠ACD-∠CAD= ，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，正确得出 的度数是解题关键．
6.下列计算正确的是
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式乘法法则、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算的法则逐项进行计算即可得.
【详解】A、 ，故A选项错误；
B、 ，故B选项错误；
C、 ，故C选项错误；
D、 a2+a2=2a2，故D选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.如图，边长为4的等边 中，D、E分别为AB，AC的中点，则 的面积是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得DE是 ABC的中位线，由此可得 ADE和 ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形
的面积比等于相似△比的平方，可求出 ABC的△面积． △
△
【详解】 等边 的边长为4，
，
点D，E分别是 的边AB，AC的中点，是 的中位线，
， ， ， ，
即 ，
∽ ，相似比为 ，
故 ： ：4，
即 ，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟
练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
8.如图，矩形ABCD中， ， ， 且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点D作 ，垂足为G，则 ，首先证明 ≌ ，由全等三角形的性质可
得到 ，设 ，则 ，在 中依据勾股定理列方程求解即可．【详解】如图所示：过点D作 ，垂足为G，则 ，
， ， ，
≌ ，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，解得： ，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质，依据题意列出关于x的方
程是解题的关键．
9.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若 ，
，则 为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出 ，由三角形的外角性质求出
，再由三角形内角和定理求出 ，即可得到结果．
【详解】 ，
，
由折叠可得 ，
，
又 ，
，
又 ，
中， ，
，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应
用，熟练掌握平行四边形的性质，求出 的度数是解决问题的关键．
10.关于x的分式方程 的解为负数，则a的取值范围是
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于 a的不等式，求
出不等式的解集即可确定出a的范围．【详解】分式方程去分母得： ，即 ，
因为分式方程解为负数，所以 ，且 ，
解得： 且 ，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何
时候都要考虑分母不为0．
11.如图，已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论 ；
； ； ； 的实数 其中正确结论的有
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与
x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】 对称轴在y轴的右侧，
，
由图象可知： ，
，故 不正确；当 时， ，
，故 正确；
由对称知，当 时，函数值大于0，即 ，故 正确；
，
，
，
，
，故 不正确；
当 时，y的值最大 此时， ，
而当 时， ，
所以 ，
故 ，即 ，故 正确，
故 正确，
故选B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口
方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
12.如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将
向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出点A和点B的坐标，然后再求出 的解析式，分别求出直线 与抛物线 相切时m的
值以及直线 过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】 抛物线 与x轴交于点A、B，
∴ =0，
∴x=5，x=9，
1 2
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式 ，
当直线 过B点，有2个交点，
，，
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线 与 、 共有3个不同的交点，
-- ，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思
想是解答本题的关键.
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.因式分解： ______．【答案】
【解析】
【分析】
.
先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可
【详解】
=
= ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后
再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.不等式组 的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】 ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
不等式组的解集为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”找出不等式组的解集是解此题的关键．
15.如图， 的外接圆O的半径为3， ，则劣弧 的长是______ 结果保留
【答案】
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求 ，根据弧长公式可求劣弧 的长．
【详解】 ， ，
，
根据弧长公式 的长 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握弧长公式是解题的关键.
16.如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足 ，连接AC交BN于点E，连接
DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．
【答案】【解析】
【分析】
先判断出 ≌ ，得出 ，进而判断出 ≌ ，
得出 ，即可判断出 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，
CF的长度最小．
【详解】如图，
在正方形ABCD中， ， ， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
在 和 中，
，
≌ ，，
，
，
，
，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则 ，
在 中， ，
根据三角形的三边关系， ，
当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．
三、解答题
17.算：
【答案】 ．
【解析】
【分析】
按顺序依次进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按
顺序进行计算即可得.【详解】 45°
=
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各
运算的运算法则是解题的关键.
18.解方程： ．
【答案】 ， .
【解析】
【分析】
先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
【详解】a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x= = ，
， .
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根
据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.
19.先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得.【详解】 ，
，
，
，
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
20.某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管
理费5元，未来一个月 按30天计算 ，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每
天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x
天 且x为整数 的销售量为y件．
直接写出y与x的函数关系式；
设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多
少元？
【答案】 ； 第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【解析】
【分析】
(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．
【详解】 由题意可知 ；根据题意可得： ，
，
，
，
函数有最大值，
当 时，w有最大值为3200元，
第20天的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关系准确的列出函数关系式
是解决问题的关键．
21.如图，在 中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离 的长 等于PC的长；
利用尺规作图，作出 中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
【答案】 作图见解析； （2）作图见解析.
【解析】
【分析】
由点P到AB的距离 的长 等于PC的长知点P在 平分线上，再根据角平分线的尺规作图
即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以
大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求
的点）；根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为
半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB
的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．
【详解】 如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活
运用所学知识解决问题．
22.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调
查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
借阅图
4次及
书的次 0次 1次 2次 3次
以上
数
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______， ______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．【答案】 17、20； 2次、2次； ； 人．
【解析】
【分析】
(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得 a的值，用3次的人
数除以总人数求得b的值；
的
(2)根据中位数和众数 定义求解；
(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【详解】 被调查的总人数为 人，
， ，即 ，
故答案为17、20；
由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为2次、2次；
扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为 ；
估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为 人．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.
23.在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中
随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定
了点M的坐标
画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；
求点 在函数 的图象上的概率．
【答案】 见解析； ．
【解析】
【分析】
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
(2)找出点(x，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．
【详解】 画树状图得：
共有12种等可能的结果 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ；
在所有12种等可能结果中，在函数 的图象上的有 、 、 这3种结果，
点 在函数 的图象上的概率为 ．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上
完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶
部点D的仰角为 ， ，求CD的高度 结果保留根号
【答案】CD的高度是 米．
【解析】
【分析】
作 于点F，设 米，在直角 中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角 中
表示出CE的长，然后根据 即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
【详解】如图，作 于点F，设 米，
在 中， ，
则 ，
在直角 中， 米 ，
在直角 中， ，则 米，
，即 ，
解得： ，则 米 ，
答：CD的高度是 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出
相关线段的长度是解题的关键.
25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和
．
求一次函数和反比例函数的表达式；
请直接写出 时，x的取值范围；
过点B作 轴， 于点D，点C是直线BE上一点，若 ，求点C的坐标．
【答案】 反比例函数的解析式为 ，一次函数解析式为： ； 当 或
时， ； 当点C的坐标为 或 时， ．【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求出k，求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)利用数形结合思想，观察直线在双曲线上方的情况即可进行解答；
(3)根据直角三角形的性质得到∠DAC=30°，根据正切的定义求出CD，分点C在点D的左侧、点C在点D
的右侧两种情况解答．
【详解】 点 在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的解析式为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
，
则点B的坐标为 ，
由题意得， ，
解得， ，
则一次函数解析式为： ；
由函数图象可知，当 或 时， ；
， ，
，
由题意得， ，在 中， ，即 ，
解得， ，
当点C在点D的左侧时，点C的坐标为 ，
当点C在点D的右侧时，点C的坐标为 ，
当点C的坐标为 或 时， ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵
活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键．
26.如图，在 中，过点C作 ，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的
延长线于点G，连接AD，CF
求证：四边形AFCD 是平行四边形．
若 ， ， ，求AB的长．
【答案】 证明见解析； ．
【解析】【分析】
由E是AC的中点知 ，由 知 ，据此根据“AAS”即可证 ≌
，从而得 ，结合 即可得证；
证 ∽ 得 ，据此求得 ，由 及 可得答案．
【详解】 是AC的中点，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
又 ，即 ，
四边形AFCD是平行四边形；
，
∽ ，
，即 ，解得： ，
四边形AFCD是平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟
练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
27.如图，AB为 的直径，C为 上一点，D为BA延长线上一点， ．
求证：DC为 的切线；
线段DF分别交AC，BC于点E，F且 ， 的半径为5， ，求CF的长．
【答案】 证明见解析； ．
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得： ，根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可
得： ，可得结论；
先根据三角函数计算 ， ，证明 ∽ ，得 ，设， ，利用勾股定理列方程可得x的值，证明 ∽ ，列比例式可得CF的长．
【详解】（1）如图，连接OC，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，即 ，
为 的切线；
中， ， ，
， ，
， ，
∽ ，
，
设 ， ，中， ，
，
舍 或 ，
， ，
，
设 ，
，
，
，
，
∽ ，
，
， ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添
加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
28.如图，抛物线 经过 ， 两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，
BC．求抛物线的表达式；
求证：AB平分 ；
抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 抛物线的解析式为 ； 证明见解析； 点 M 的坐标为 或
．
【解析】
【分析】
将 ， 代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
先求得AC的长，然后取 ，则 ，连接BD，接下来，证明 ，然后依据SSS
可证明 ≌ ，接下来，依据全等三角形的性质可得到 ；
作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作 ，作 ，分别交抛物线
的对称轴与 、M，依据点A和点B的坐标可得到 ，从而可得到 或，从而可得到FM和 的长，故此可得到点 和点M的坐标．
【详解】 将 ， 代入得： ，
解得： ， ，
抛物线的解析式为 ；
， ，
，
取 ，则 ，
由两点间 的距离公式可知 ，
， ，
，
，
在 和 中， ， ， ，
≌ ，，
平分 ；
如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为 ，则 ．
， ，
，
，
，
，
，
同理： ，
又 ，
，，
点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形
的性质和判定、锐角三角函数的定义等，熟练掌握相关知识、正确添加辅助线、运用分类讨论思想与数形
结合思想是解题的关键.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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