文档内容
2015 年甘肃省天水市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）（2015•天水）若a与1互为相反数，则|a+1|等于（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
2．（4分）（2015•天水）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A． 圆柱 B． 圆锥 C． 正三棱柱 D． 正三棱锥
3．（4分）（2015•天水）某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数
法表示为（ ）
A． 6.7×10﹣5 B． 6.7×10﹣6 C． 0.67×10﹣5 D． 6.7×10﹣6
4．（4分）（2015•天水）在天水市汉字听写大赛中，10名学生得分情况如表
人数 3 4 2 1
分数 80 85 90 95
那么这10名学
生所得分数的中位数和众数分别是（ ）
A． 85和82.5 B． 85.5和85 C． 85和85 D． 85.5和80
5．（4分）（2015•天水）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则
a+b+1的值是（ ）
A． ﹣3 B． ﹣1 C． 2 D． 3
6．（4分）（2015•天水）一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，
则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．（4分）（2015•天水）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落
在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）A． 65° B． 55° C． 50° D． 25°
8．（4分）（2015•天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2
，CD= ，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为 ，则点P的个
数为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
9．（4分）（2015•天水）如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于
⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点
E，G为半圆弧上的中点．当点C在 上运动时，设 的长为x，CF+DE=y．则下
列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2015•天水）定义运算：a b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几
种结论：①2 （﹣2）=6，②a b=b a，③若a+b=0，则（a a）+（b b）=2ab，④若
⊗
a b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗A． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最简结果）
11．（4分）（2015•天水）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是
．
12．（4分）（2015•天水）不等式组 的所有整数解是 ．
13．（4分）（2015•天水）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的
⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
[来源:学科网ZXXK]
14．（4分）（2015•天水）一元二次方程x2+3﹣2 x=0的解是 ．
15．（4分）（2015•天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的
示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城
墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，
那么该古城墙的高度CD是 米．
16．（4分）（2015•天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐
开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线
CDEF的长是 ．17．（4分）（2015•天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）
①y= （x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y= （x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣
x2+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有 个．
18．（4分）（2015•天水）正方形OA B C 、A A B C 、A A B C ，按如图放置，其中
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
点A 、A 、A 在x轴的正半轴上，点B 、B 、B 在直线y=﹣x+2上，则点A 的坐标
1 2 3 1 2 3 3
为 ．
三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过
程。）
19．（9分）（2015•天水）计算：
（1）（π﹣3）0+ ﹣2cos45°﹣
（2）若x+ =3，求 的值．
20．（9分）（2015•天水）2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震
源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C
处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数
据 ≈1.41， ≈1.73）
21．（10分）（2015•天水）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为
（﹣3，0），经过A、O两点作半径为 的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．
四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。）
22．（8分）（2015•天水）钓鱼岛是我国固有领土．某校七年级（15）班举行“爱国
教育”为主题班会时，就有关钓鱼岛新闻的获取途径，对本班50名学生进行调查
（要求每位同学，只选自己最认可的一项），并绘制如图所示的扇形统计图．
（1）该班学生选择“报刊”的有 人．在扇形统计图中，“其它”所
在扇形区域的圆心角是 度．（直接填结果）
（2）如果该校七年级有1500名学生，利用样本估计选择“网站”的七年级学生
约有 人．（直接填结果）（3）如果七年级（15）班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调
查，求恰好选用“网站”和“课堂”的概率．（用树状图或列表法分析解答）
23．（8分）（2015•天水）天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为
8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来
增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
24．（10分）（2015•天水）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x
轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．
（2）点E在线段CD上，S =10，求点E的坐标．
ABE
△
[来源:学科网]25．（12分）（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于
弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC•PD=AP•BC；
（2）PE=PD．
26．（12分）（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣ x2+bx+c（b、c为常数）
的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为
（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为 时，
试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点
为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；
若不存在，请说明理由．2015 年甘肃省天水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把正确的选项选出来）
1．（4分）（2015•天水）若a与1互为相反数，则|a+1|等于（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
考点： 绝对值；相反数．
分析： 根据绝对值和相反数的定义求解即可．
解答： 解：因为互为相反数的两数和为0，所以a+1=0；
因为0的绝对值是0，则|a+1|=|0|=0．
故选B．
点评： 本题考查了绝对值与相反数，绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身
一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．相反数的定义：只有符号不同
的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．（4分）（2015•天水）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）[来源:学科
网ZXXK]
A． 圆柱 B． 圆锥 C． 正三棱柱 D． 正三棱锥
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 根据三视图易得此几何体为圆锥．
解答： 解：根据几何体的三视图即可知道几何体是圆锥．
故选B．
点评： 此题主要考查了由三视图判断几何体的应用，关键是能理解三视图的意
义，培养了学生的观察图形的能力．3．（4分）（2015•天水）某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数
法表示为（ ）
A． 6.7×10﹣5 B． 6.7×10﹣6 C． 0.67×10﹣5 D． 6.7×10﹣6
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 直接根据科学计数法的表示方法即可得出结论．
解答： 解：∵0.000067中第一位非零数字前有5个0，
∴0.000067用科学记数法表示为6.7×10﹣5．
故选A．
点评： 本题考查的是科学计数法，再用科学计数法表示小于0的数时，n的值等
于第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）．
4．（4分）（2015•天水）在天水市汉字听写大赛中，10名学生得分情况如表
人数 3 4 2 1
分数 80 85 90 95
那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（ ）
A． 85和82.5 B． 85.5和85 C． 85和85 D． 85.5和80
考点： 众数；中位数．
分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
解答： 解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；
而将这组数据从小到大的顺序排列80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，
处于中间位置的那个数是85，85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数
是 =85；
故选：C．点评： 本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从
小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），
叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排
列，就会出错．
5．（4分）（2015•天水）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则
a+b+1的值是（ ）
A． ﹣3 B． ﹣1 C． 2 D． 3
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数图象上点的坐标特征，把（1，1）代入解析式可得到a+b的值
然后计算a+b+1的值．
解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴a+b+1=3．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．
6．（4分）（2015•天水）一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，
则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
考点： 几何体的展开图．
专题： 计算题．分析： 分8为底面周长与6为底面周长两种情况，求出底面半径即可．
解答： 解：若6为圆柱的高，8为底面周长，此时底面半径为 = ；
若8为圆柱的高，6为底面周长，此时底面半径为 = ，
故选C．
点评： 此题考查了几何体的展开图，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意不
重不漏，考虑问题要全面．
7．（4分）（2015•天水）如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C、D两点分别落
在C′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED′的度数是（ ）
A． 65° B． 55° C． 50° D． 25°
考点： 平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 先根据平行线的性质求出∠DEF的度数，再由图形翻折变换的性质求出
∠DED′的度数，根据补角的定义即可得出结论．
解答： 解：∵AD∥BC，∠EFB=65°，
∴∠DEF=65°，
∴∠DED′=2∠DEF=130°，
∴∠AED′=180°﹣130°=50°．
故选C．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．（4分）（2015•天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2
，CD= ，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为 ，则点P的个
数为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 等腰直角三角形；点到直线的距离．
分析： 首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的
最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距
离，由已知计算出AE、CF的长与 比较得出答案．
解答： 解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2 ，CD= ，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，
∵sin∠ABD= ，
∴AE=AB•sin∠ABD=2 •sin45°
=2 • =2＞ ，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为 的点2个，故选A．
点评： 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边
上点到BD的最大距离比较得出答案．
9．（4分）（2015•天水）如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于
⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点
E，G为半圆弧上的中点．当点C在 上运动时，设 的长为x，CF+DE=y．则下
列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的弦心距为定值，据
此可以得到函数的图象．
解答： 解：作OH⊥CD于点H，
∴H为CD的中点，
∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，∴OH为直角梯形的中位线，
∵弦CD为定长，
∴CF+DE=y为定值，
故选B．
点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是化动为静．
10．（4分）（2015•天水）定义运算：a b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几
种结论：①2 （﹣2）=6，②a b=b a，③若a+b=0，则（a a）+（b b）=2ab，④若
⊗
a b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
A． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④
⊗
考点： 整式的混合运算；有理数的混合运算．
专题： 新定义．
分析： 各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
解答： 解：根据题意得：2 （﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；
a b=a（1﹣b）=a﹣ab，b a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；
⊗
（a a）+（b b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；
⊗ ⊗
若a b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，
⊗ ⊗
故选A
⊗
点评： 此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最简结果）
11．（4分）（2015•天水）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是 2
或 8 ．考点： 圆与圆的位置关系．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
专题： 计算题．
分析： 根据两圆内切或外切两种情况，求出圆心距即可．
解答： 解：若两圆内切，圆心距为5﹣3=2；
若两圆外切，圆心距为5+3=8，
故答案为：2或8
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系，利用了分类讨论的思想，分类讨论时做到
不重不漏，考虑问题要全面．
12．（4分）（2015•天水）不等式组 的所有整数解是 0 ．
考点： 一元一次不等式组的整数解．
分析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．
解答： 解： ，
解不等式①得，x＞﹣ ，
解不等式②得，x＜1，
所以不等式组的解集为﹣ x＜1，
所以原不等式组的整数解是0．
故答案为：0．
点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小
找不到（无解）．13．（4分）（2015•天水）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的
⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
考点： 圆周角定理；锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可．
解答： 解：由图可得，∠AED=∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB=2，AC=1，
则tan∠ABC= = ，
∴tan∠AED= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义，解答本题的关键是掌握同
弧所对的圆周角相等．
14．（4分）（2015•天水）一元二次方程x2+3﹣2 x=0的解是 x =x = ．
1 2
考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．
解答： 解：x2+3﹣2 x=0（x﹣ ）2=0
∴x =x = ．
1 2
故答案为：x =x = ．
1 2
点评： 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键．
15．（4分）（2015•天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的
示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城
墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，
那么该古城墙的高度CD是 8 米．
考点： 相似三角形的应用．
分析： 首先证明△ABP∽△CDP，可得 = ，再代入相应数据可得答案．
解答： 解：由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴ = ，
∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴ = ，
CD=8米，
故答案为：8．
点评： 此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比
例．
16．（4分）（2015•天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐
开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线
CDEF的长是 4 π ．
考点： 弧长的计算；等边三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长
的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
解答： 解：弧CD的长是 = ，
弧DE的长是： = ，
弧EF的长是： =2π，
则曲线CDEF的长是： + +2π=4π．
故答案为：4π．点评： 本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120
度，半径分别是1，2，3是解题的关键．
17．（4分）（2015•天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）
①y= （x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y= （x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣
x2+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有 3 个．
考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性
质．
分析： 分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析
即可．
解答： 解：①y= （x＞0），n＞1，y的值随x的值增大而减小；
②y=（n﹣1）x，n＞1，y的值随x的值增大而增大；
③y= （x＞0）n＞1，y的值随x的值增大而增大；
④y=（1﹣n）x+1，n＞1，y的值随x的值增大而减小；
⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，n＞1，y的值随x的值增大而增大；
y的值随x的值增大而增大的函数有3个，
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，
关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，y的值随x的值增大而增大；一次函
数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数
从左到右下降；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；反比例函数的性质，当k＜0，双曲
线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．18．（4分）（2015•天水）正方形OA B C 、A A B C 、A A B C ，按如图放置，其中
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
点A 、A 、A 在x轴的正半轴上，点B 、B 、B 在直线y=﹣x+2上，则点A 的坐标
1 2 3 1 2 3 3
为 （ ， 0 ） ．
考点： 正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
专题： 规律型．
分析： 设正方形OA B C 的边长为t，则B（t，t），根据t一次函数图象上点的坐
1 1 1 1
标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B（1，1），然后利用同样的方法可求得B（ ，
1 2
），B （ ， ），则A （ ，0）．
3 3
解答： 解：设正方形OA B C 的边长为t，则B（t，t），所以t=﹣t+2，解得t=1，得
1 1 1 1
到B （1，1）；
1
设正方形A A B C 的边长为a，则B（1+a，a），a=﹣（1+a）+2，解得a= ，得到B（
1 2 2 2 2 2
， ）；
设正方形A A B C 的边长为b，则B（ +b，b），b=﹣（ +b）+2，解得b= ，得到B
2 3 3 3 3 3
（ ， ），
所以A （ ，0）．
3
故答案为（ ，0）．点评： 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也
考查了一次函数图象上点的坐标特征．
三、解答题（本大题共3小题，共28分。解答时写出必要的文字说明及演算过
程。）
19．（9分）（2015•天水）计算：
（1）（π﹣3）0+ ﹣2cos45°﹣
（2）若x+ =3，求 的值．
考点： 实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函
数值．
分析： （1）根据0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负指数幂的定
义解答；
（2）分子分母同时除以x2，配方后整体代入即可解答．
解答： 解：（1）原式=1+3 ﹣2× ﹣8=2 ﹣7；
（2）原式= =
=
=
= ．
点评： （1）本题考查了实数运算，熟悉0指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角
函数值、负指数幂的定义是解题的关键；
（2）本题考查了分式的化简求值，熟悉配方法是解题的关键．20．（9分）（2015•天水）2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震
源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C
处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面
的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数
据 ≈1.41， ≈1.73）
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 首先过C作CD⊥AB，设CD=x米，则DB=CD=x米，AD= CD= x米，
再根据AB相距2米可得方程 x﹣x=2，再解即可．
解答： 解：过C作CD⊥AB，
设CD=x米，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBD=45°，
∴DB=CD=x米，
∵∠CAD=30°，
∴AD= CD= x米，
∵AB相距2米，
∴ x﹣x=2，解得：x= ．
答：命所在点C与探测面的距离是 米．
点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是正确分析出CD、AD、BD的
关系．
21．（10分）（2015•天水）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为
（﹣3，0），经过A、O两点作半径为 的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．
考点： 一次函数综合题．
专题： 代数综合题；压轴题．
分析： （1）由于∠AOB=90°，故AB是直径，且AB=5在Rt AOB中，由勾股定理
△
可得BO= = =4，则B点的坐标为（0，﹣4）；（2）由于BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有
∠DAB+∠ADB=90°，又因为∠BDO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于
∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO， = ，OD= = = ，D的坐标为（
，0），把B，D两点坐标代入一次函数的解析式便可求出k，b的值，从而求出其
解析式．
解答： 解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，且AB=5，
在Rt AOB中，由勾股定理可得BO= = =4，
△
∴B点的坐标为（0，﹣4）；
（2）∵BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ADB=90°
又∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠DBO，
∵∠AOB=∠BOD=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴ = ，∴OD= = = ，
∴D的坐标为（ ，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则有 ，∴ ，
∴直线BD的解析式为y= x﹣4．
点评： 此题较复杂，把一次函数与圆的相关知识相结合，利用勾股定理及相似三
角形的性质解答，是中学阶段的重点内容．
四、解答题（本大题共50分，解答时写出必要的演算步骤及推理证明过程。）
22．（8分）（2015•天水）钓鱼岛是我国固有领土．某校七年级（15）班举行“爱国
教育”为主题班会时，就有关钓鱼岛新闻的获取途径，对本班50名学生进行调
查（要求每位同学，只选自己最认可的一项），并绘制如图所示的扇形统计图．
（1）该班学生选择“报刊”的有 6 人．在扇形统计图中，“其它”所在扇形区
域的圆心角是 3 6 度．（直接填结果）
（2）如果该校七年级有1500名学生，利用样本估计选择“网站”的七年级学生
约有 42 0 人．（直接填结果）
（3）如果七年级（15）班班委会就这5种获取途径中任选两种对全校学生进行调
查，求恰好选用“网站”和“课堂”的概率．（用树状图或列表法分析解答）
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．
专题： 计算题．
分析： （1）根据扇形统计图及调查学生总数为50名，求出所求即可；（2）根据样本中选择“网站”的七年级学生百分数，乘以1500即可得到结果；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好选用“网站”和“课堂”的情况数
即可求出所求的概率．
解答： 解：（1）根据题意得：50×12%=6（人），360°×10%=36°，
则该班学生选择“报刊”的有6人．在扇形统计图中，“其它”所在扇形区域的
圆心角是36度；
故答案为：6；36；
（2）根据题意得：1500×28%=420（人）；
故答案为：420；
（3）列表如下：（A表示报刊；B表示网站；C表示其它；D表示课堂；E表示电视）
A B C D E
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A） （E，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B） （E，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C） （E，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣ （E，D）
E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，恰好选用“网站”和“课堂”的情况有2种，
则P= = ．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清
题中的数据是解本题的关键．
23．（8分）（2015•天水）天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为
8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来
增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系
列出函数关系式；（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
解答： 解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，
列出方程式为：y=（x﹣8）[20﹣4（x﹣9） ，
即y=﹣4x2+88x﹣448（9≤x≤14）；
]
（2）将（1）中方程式配方得：
y=﹣4（x﹣11）2+36，
∴当x=11时，y =36元，
最大
答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．
点评： 本题考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解
答此题的关键．
24．（10分）（2015•天水）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x
轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．
（2）点E在线段CD上，S =10，求点E的坐标．
ABE
△
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，
确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD
面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．解答： 解：（1）由题意得： ，
解得： ，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y= ，
将A（1，6）代入得：k=6，
则反比例解析式为y= ；
（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S =S ﹣S ﹣S
ABE 四边形ABCD ADE BCE
△ △ △
= （BC+AD）•DC﹣ DE•AD﹣ CE•BC
= ×（1+6）×5﹣ （x﹣1）×6﹣ （6﹣x）×1
= ﹣ x
=10，
解得：x=3，
则E（3，0）．点评： 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐
标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（12分）（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于
弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC•PD=AP•BC；
（2）PE=PD．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据
DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以 = ；然后判断出 = ，即可
判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．
（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出 ；然后根据PE=PD，可得 ，据此
判断出AC•PD=AP•BC即可．
解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴ = …①，
又∵AD∥OC，
∴∠DAE=∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴ = = = …②，
由①②，可得ED=2EP，
∴PE=PD．
（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，[来源:学科网]
∴ ，
∵PE=PD，
∴ ，∴AC•PD=AP•BC．
点评： （1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必
经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
26．（12分）（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣ x2+bx+c（b、c为常数）
的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为
（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为 时，
试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点
为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；
若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离 时，到达P′，作
P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的
解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；
（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F
（AB 中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．
解答： 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为
（4，3）
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴ ，
解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=﹣ x2+2x﹣1．
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离 时，到达P′，作
P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，
∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵直线的斜率为1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵PP′= ，
∴P′M=PM=1，
∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣ x2+2x﹣1=﹣ （x﹣2）2+1，
∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣3）2+2，
令y=0，则0=﹣ （x﹣3）2+2，
解得x =1，x=5 ，
1 2
∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），
解 ，得 或
∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．
（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，
取AB中点F，
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′= =2 ．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2 ．点评： 本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法
一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短
路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．
