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山东省潍坊市 2021 年中考数学真题
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项
正确．）
1. 下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣2
2. 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为
60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
3. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科
学记数法（精确到十万位）（ ）
A. 1.02×108 B. 0.102×109 C. 1.015×108 D.
0.1015×109
4. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
5. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
6. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
学科网（北京）股份有限公司C. D.
7. 如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相
对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ）
A. 对10个国家出口额 的中位数是26201万美元
B. 对印度尼西亚的出口额比去年同期减少
C. 去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额
D. 出口额同比增速中，对美国的增速最快
8. 记实数x，x，…，x 中的最小数为min|x，x，…，x|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，
1 2 n 1 2 n
x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正
确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．）
9. 下列运算正确的是 ．
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司10. 如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象上的动点，1为半径作⊙A．已知点B
（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为_______．
A. 3 B. C. 5 D.
11. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：
①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，
D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形
AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A. △AOE的内心与外心都是点G B. ∠FGA＝∠FOA
C. 点G是线段EF的三等分点 D. EF＝ AF
12. 在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝
ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确是（ ）．
A. 抛物线的对称轴是直线
B. 抛物线与x轴的交点坐标是（﹣ ,0）和（2,0）
C. 当t＞ 时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D. 若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．）
学科网（北京）股份有限公司13. 甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数 的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
14. 若x＜2，且 ，则x＝_______．
15. 在直角坐标系中，点A 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：
1
A（1，0），A（1，1），A（﹣1，1），A（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），A（2，
2 3 4 5 6 7
2），…．若到达终点A（506，﹣505），则n的值为 _______．
n
16. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点 与 （a＞b＞0）在第一象限的图象分
别为曲线C ，C ，点P为曲线C 上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C 于点A，作x轴
1 2 1 2
的垂线交C 于点B，则阴影部分的面积S ＝_______．（结果用a，b表示）
2 △AOB
四、解答题（共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
17. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值： （x，y）是函数y＝
学科网（北京）股份有限公司2x与 的图象的交点坐标．
18. 如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．
甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处
海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
19. 从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如
下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：
80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组
成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；
用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x ＝76，x ＝76；样本方差为s 2＝80，s 2＝
甲 乙 甲 乙
275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
20. 某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年
度纯收入如表所示：
年度（年） 2016 2017 2018 2019 2020 2021
.
年度纯收入（万元） 1.5 2.5 45 7.5 11.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），
学科网（北京）股份有限公司（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示 （m＞
0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数 （m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元 的农机设备，根据（2）中你选择的函
数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
21. 如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长
到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点
C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
22. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线顶点为M（2，﹣ ），抛物线与x
轴的一个交点为A（4，0），点B（2， ），点C（-2， ）
学科网（北京）股份有限公司（1）判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，求四边形AOCB的面积；
（3）设点P是抛物线上AC间的动点，连接PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；
当S的值为2 时，求点P的横坐标的值．
23. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点
（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位
置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，
AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程
中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司山东省潍坊市 2021 年中考数学真题
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题四个选项只有一项
正确．）
1. 下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A. 2 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念先求得每个选项中对应的数据的相反数，然后再进行有理数的
大小比较．
【详解】解：2的相反数是﹣2，
1的相反数是﹣1，
﹣1的相反数是1，
﹣2的相反数是2，
∵2＞1＞﹣1＞﹣2，
故选：D．
【点睛】本题考查相反数的概念及有理数的大小比较，只有符号不同的两个数叫做互为相
反数，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小．
2. 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为
60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面
所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，
∴CD//EF，
学科网（北京）股份有限公司∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC AGB 60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
3. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科
学记数法（精确到十万位）（ ）
A. 1.02×108 B. 0.102×109 C. 1.015×108 D.
0.1015×109
【答案】C
【解析】
【分析】先用四舍五入法精确到十万位，再按科学记数法的形式和要求改写即可．
【详解】解：
故选：C
【点睛】本题考查了近似数和科学记数法的知识点，取近似数是本题的基础，熟知科学记
数法的形式和要求是解题的关键．
4. 若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程的解，即可得到 ，根据菱形的性质求出 和
，根据勾股定理求出 即可．
【详解】解：解方程 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
由勾股定理得 ，
即菱形的边长为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键．
5. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直
线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形称为中心对称图形进行判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图如下：
三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单
几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．
6. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在同一数轴上即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①，得：x≥-1，
解不等式②，得：x＜2，
将不等式的解集表示在同一数轴上：
所以不等式组的解集为-1≤x＜2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，关键是正确求出每一个不等式解集，并会将
解集表示在同一数轴上．
7. 如图为2021年第一季度中国工程机械出口额TOP10国家的相关数据（同比增速是指相
对于2020年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 对10个国家出口额的中位数是26201万美元
B. 对印度尼西亚的出口额比去年同期减少
C. 去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额
D. 出口额同比增速中，对美国的增速最快
【答案】A
【解析】
【分析】A、根据中位数的定义判断即可；
B、根据折线图即可判断出对印度尼西亚 的出口额的增速；
C、分别求出去年同期对日本和俄罗斯联邦的出口额即可判断；
D、根据折线图即可判断．
【详解】解：A、将这组数据按从小到大的顺序排列为：19677，19791，21126，24268，
25855，26547，29285，35581，39513，67366，位于中间的两个数分别是25855，26547，
所以中位数是 ，选项正确，符合题意；
B、根据折线图可知，对印度尼西亚的出口额比去年同期增长 ，选项说法错误，不
符合题意；
C、去年同期对日本的出口额为: ，对俄罗斯联邦的出口额为：
，选项错误，不符合题意 ；
D、根据折线图可知，出口额同比增速中，对越南的增速最快，选项错误，不符合题意.
故选：A．
【点睛】此题考查了中位数的概念和折线统计图和柱状图，解题的关键是正确分析出图中
的数据．
学科网（北京）股份有限公司8. 记实数x，x，…，x 中的最小数为min|x，x，…，x|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，
1 2 n 1 2 n
x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别画出函数 的图像，然后根据min|x ，x ，…，x|＝
1 2 n
﹣1即可求得．
【详解】如图所示，分别画出函数 的图像，
由图像可得， ，
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数图像的性质，解题的关键是由题意分析出各函数之间的关系．
二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分．每小题四个选项有多项正
学科网（北京）股份有限公司确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分．）
9. 下列运算正确的是 ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方公式、负数指数幂、分式的化简、根式的化简分别计算解答即可．
【详解】解：A、 ，选项运算正确；
B、 ，选项运算错误；
C、 是最简分式，选项运算错误；
D、 ，选项运算错误；
故选：A．
【点睛】此题综合考查了代数式的运算，关键是掌握代数式运算各种法则解答．
10. 如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象上的动点，1为半径作⊙A．已知点B
（﹣4，0），连接AB，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值可能为_______．
A. 3 B. C. 5 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据“⊙A与两坐标轴同时相切”分为⊙A在第二象限，第四象限两种情况进行
学科网（北京）股份有限公司解答．
【详解】解：如图，当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切时，
在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO﹣OM＝4﹣1＝3，
∴tan∠ABO ；
当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切时，
在Rt△ABM中，AM＝1＝OM，BM＝BO+OM＝4+1＝5，
∴tan∠ABO ；
故答案为：B或D．
【点睛】本题考查切线的性质和判定，解直角三角形，根据不同情况画出相应的图形，利
用直角三角形的边角关系求出答案是解决问题的前提．
11. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：
①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，
D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形
AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A. △AOE的内心与外心都是点G B. ∠FGA＝∠FOA
学科网（北京）股份有限公司C. 点G是线段EF的三等分点 D. EF＝ AF
【答案】D
【解析】
【分析】证明 AOE 是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断 A；．证明
∠AGF=∠AOF=60△°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF= AF，可判断D．
【详解】解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF， AOE， EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
△ △
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF= AF，故D错误，
故答案为：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形
的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
12. 在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝
ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确是（ ）．
A. 抛物线的对称轴是直线
学科网（北京）股份有限公司B. 抛物线与x轴的交点坐标是（﹣ ,0）和（2,0）
C. 当t＞ 时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D. 若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入 ,求得抛物线解析式为
,再根据对称轴直线 求解即可得到A选项是正确答案,由抛物线解析
式为 ,令 ,求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（-1,0）和（2,0）,从而
判断出B选项不正确,令关于x的一元二次方程 的根的判别式当
,解得 ,从而得到 C 选项正确,根据抛物线图象的性质由 ,推出
,从而推出 ,得到D选项正确．
【详解】当抛物线图象经过点 A 和点 B 时,将 A（1,-2）和 B（2,-2）分别代入
,
得 ,解得 ,不符合题意,
,
当抛物线图象经过点B和点C时 将B（2,-2）和C（2,0）分别代入 ,
得 ,此时无解,
当抛物线图象经过点A和点C时,将A（1,-2）和C（2,0）分别代入 得
,解得 ,因此,抛物线经过点A和点C,其解析式为 ,
抛物线的对称轴为直线 ,故A选项正确,
因为 ,所以 ,抛物线与x轴的交点坐标
是（-1,0）和（2,0）,故B选项不正确,
由 得 ,方程根的判别式
当 , 时, ,当 时,即 ,解
学科网（北京）股份有限公司得 ,此时关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,故C
选项正确,
因为抛物线 与x轴交于点（-1,0）和（2,0）,且其图象开口向上,若P（m,n）和
Q（m+4,h）都是抛物线上 的点,且n<0,得 ,又得 ,
所以h＞0,故D选项正确．
故选ACD．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点､根的判别式､二次函数的性质及二次函数图象上点
的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标
的解答方法．
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果．）
13. 甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
【解析】
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据函数的性质得出b=1，k＜0，从而确定一次函
数解析式，本题答案不唯一．
【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b，
∵函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，取k=-1，
∴y=-x+1，此函数图象不经过第三象限，
∴满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司14. 若x＜2，且 ，则x＝_______．
【答案】1
【解析】
【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即
可．
【详解】解： |x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为 2﹣x+x﹣1＝0，
即 1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15. 在直角坐标系中，点A 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：
1
A（1，0），A（1，1），A（﹣1，1），A（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），A（2，
2 3 4 5 6 7
2），…．若到达终点A（506，﹣505），则n的值为 _______．
n
【答案】2022
【解析】
【分析】终点 在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ 是第四象限的点，
∴ 落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含
的规律是解题的关键．
16. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点 与 （a＞b＞0）在第一象限的图象分
别为曲线C ，C ，点P为曲线C 上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C 于点A，作x轴
1 2 1 2
的垂线交C 于点B，则阴影部分的面积S ＝_______．（结果用a，b表示）
2 △AOB
【答案】 a
【解析】
【分析】设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），阴影部分的面积S ＝矩形的
△AOB
面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
【详解】解：设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C 上的任意一点，
1
∴mn＝a，
∴阴影部分的面积S ＝mn b b （m ）（n ）
△AOB
＝mn﹣b （mn﹣b﹣b ）
＝mn﹣b mn+b
学科网（北京）股份有限公司a ．
故答案为： a ．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点
的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．
四、解答题（共7小题，共68分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤）
17. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值： （x，y）是函数y＝
2x与 的图象的交点坐标．
【答案】（1）9 ；（2）y-x，1或-1．
【解析】
【分析】（1）根据实数的运算法则计算；
（2）首先根据图象交点的求法得到x与y的值，再对原式进行化简，然后把x与y的值代
入化简后的算式可得解．
【详解】解：（1）原式=1+9 +（1- ×18）
=1+9 -1=9 ；
（2）由已知可得：
，
解之可得： 或 ，
∵原式=
=
=y-x，
∴当 时，原式=2-1=1；
学科网（北京）股份有限公司当 时，原式=-2-（-1）=-1；
∴原式的值为1或-1．
【点睛】本题考查实数与函数的综合应用，熟练掌握实数的运算法则、分式的化简与求值、
函数图象交点的求法是解题关键．
18. 如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．
甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处
海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
【答案】1.4v
【解析】
【分析】过点C作AM的垂线，构造直角三角形，可得 ACD是含有30°角的直角三角形，
BCD是含有45°角的直角三角形，设辅助未知数，表示AC，BC，再根据时间相等即可求
△
出甲船的速度．
△
【详解】解：过点C作CD⊥AM，垂足为D，
由题意得，∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=45°，
设CD=a，则BD=a，BC= a，AC=2CD=2a，
∵两船同时到达C处海岛，
∴t =t ，
甲 乙
即 ，
∴ ，
∴V = ≈1.4v．
甲
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂
线构造直角三角形是解决问题的关键．
19. 从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如
下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：
80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组
成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；
用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x ＝76，x ＝76；样本方差为s 2＝80，s 2＝
甲 乙 甲 乙
275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
【答案】（1）图见解析；平均成绩为76.5；（2） ；（3）甲班的数学素养总体水平好．
【解析】
【分析】（1）由D组所占百分比求出D组的人数，再根据A、B、E、D组的人数求出C
组人数，即可补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
（2）画树状图，共有16种等可能 的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有
学科网（北京）股份有限公司12种，再由概率公式求解即可；
（3）由两班样本方差的大小作出判断即可．
【详解】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6
（人），
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为： 76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为 ；
（3）∵样本方差为s 2＝80，s 2＝275.4，
甲 乙
∴s 2＜s 2，
甲 乙
∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知
识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事
件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年
度纯收入如表所示：
年度（年） 2016 2017 2018 2019 2020 2021
学科网（北京）股份有限公司年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），
（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示 （m＞
0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数 （m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函
数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
【答案】（1）不能选用函数 （m＞0）进行模拟，理由见解析；（2）选用y=ax2-
0.5x+c（a>0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点 的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数
模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入
y，然后比较结果即可．
【详解】解：（1）不能选用函数 （m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
学科网（北京）股份有限公司∴不能选用函数 （m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数 （m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），
（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b
（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二
次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成
为解答本题的关键．
21. 如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长
到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点
C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）底面半径为1，高为
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解；
（2）证明△BFH∽△DAH，即可求解；
（3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB
学科网（北京）股份有限公司∴△ADB是直角三角形，
∵AC＝CD，
∴BC是△ADB的中线
∴BC=
∴AC=BC
（2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴∠B+∠A=∠A+∠D=90°
∴∠B=∠D
∵∠BHF=∠DHA=90°
∴△BFH∽△DAH，
∴
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）∵∠ABC=θ=45°
∴∠AOC=2∠ABC=90°
∵直径AB＝8，
∴半径OA=4，
设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r
∴
解得r=1
∴圆锥的高为 ．
【点睛】此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形
的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点．
学科网（北京）股份有限公司22. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线顶点为M（2，﹣ ），抛物线与x
轴的一个交点为A（4，0），点B（2， ），点C（-2， ）
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，求四边形AOCB的面积；
（3）设点P是抛物线上AC间的动点，连接PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；
当S的值为2 时，求点P的横坐标的值．
【答案】（1）在抛物线上，理由见解析（2） （3）- +1或 +1
【解析】
【分析】（1）求出抛物线解析式，故可判断；
（2）证明四边形AOCB是平行四边形，故可求解；
（3）先求出直线AC的解析式，过P点做y轴的平行线交AC于Q点，表示出△PAC的面积，
故可求解．
【详解】（1）∵抛物线顶点为M（2，﹣ ），
可设抛物线为y=a（x-2）2-
代入A（4，0）得0=a（4-2）2-
解得a=
∴抛物线为y= （x-2）2- = x2- x
当x=-2时，y= ×（-2）2- ×（-2）=
学科网（北京）股份有限公司∴点C（-2， ）在抛物线上；
（2）如图，连接AB，BC，CO，
∵B（2， ），C（-2， ）
∴BC AO，BC=2-(-2)=4=OA
∴BC=AO
∴四边形AOCB是平行四边形
∴四边形AOCB的面积为4× =
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b
把A（4，0），C（-2， ）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y= x+
过P点作y轴的平行线交AC于Q点，
设P（x， x2- x），则Q（x， x+ ）
∵△PAC的面积S=
∴
解得x=- +1，x= +1
1 2
∴点P的横坐标为- +1或 +1．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法的应用、平行四边形
的平行与性质、三角形的面积求解方法．
23. 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点
（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位
置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，
AE，AF，BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程
中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）① ；②见解答；
（3）是，∠MPN=30°．
【解析】
【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最
小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，
学科网（北京）股份有限公司∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；
②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；
（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则
∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC= ，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE= ，
故答案为： ；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，
学科网（北京）股份有限公司∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN= AD= FE=PN，
∴∠MPN= (180°-∠PNM)=30°．
【点睛】本题是三角形与旋转变换 的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定
与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性
质是解题关键 ．
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
