2 0 1 4 年潍坊市初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分．第1卷2页，为选择题，3 6分；第Ⅱ卷2
页，为非选择题，84分；共1 20分．考试时间为1 20分钟．
2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、
写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．
第1卷 （选择题 共3 6分）
一、选择题（本题共1 2小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请
把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记O分．）
1． 的立方根是( )
A．-1 B．O C．1 D． ±1
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2．下列标志中不是中心对称图形的是( )
·n·j·y
3．下列实数中是无理数的是( )
A． B.2-2 c. D.sin450
4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体是( )
5．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是( )
A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>-l D．x>-1且x≠3
6．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙0的
直径BE上，连接AE，∠E=360，，则∠ADC的度数是( )A,440 B．540 C．720 D．530
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7. 若不等式组 无解，则实数a的取值范围是( )
A．a≥一1 B．a<-1 C．a≤1 D.a≤-1
8．如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个
动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点 E从点B运动
到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是
9．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程
x2 -12x+k=O的两个根，则k的值是( )
A:27 B:36 C:27或36 D:18
10. 右图是某市7月1日至1 0日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气
质量优良，空气质量指数大于2 00表示空气重度污染，
某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该
市，并连续停留3天．则此人在该市停留期间有且仅
有1天空气质量优良的概率是( )
A 、 B、 C、 D、
11．已知一次函数y=kx+b（k<O）与反比例函数y= (m≠O)的图象相交于A、B两点，其横坐
1 2
标分别是-1和3，当y>y 时，实数x的取值范围是( )
1 2
A．x<-l或O<x<3 B．一1<x<O或O<x<3 C．一1<x<O或x>3 D．O<x<3
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12，如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻
折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的
对角线交点M的坐标变为 ( )
A．(—2012,2) B．（一2012，一2）
C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
第Ⅱ卷 （非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，共1 8分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）13．分解因式：2x(x-3)一8= .
14．计算：82014×(一0.125)2015= .
15．如图，两个半径均为 的⊙O 与⊙O 相交于A、B两点,且
1 2
每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留π）
16．已知一组数据一3，x，一2, 3，1，6的中位数为1，则其方差为 .
17．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和
点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔
52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平
面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建
筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆
FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和
标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
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18.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈
周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几
何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是
十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A
处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤
的最短长度是 尺．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答要写出必要的文字说明、证明算步骤．）
19．（本小题满分9分）
今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容．考试前某校为了解
该项目的整体水平，从九年级220名男生中，随机抽取20名进行“引体向上”
测试成绩（单位：个）如下：
9 12 3 13 18 8 8 4 ■ ，12
13 12 9 8 12 13 18 13 12 10
其中有一数据被污损，统计员只记得11.3是这组样本数据的平均数．
(1)求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差；
(2)请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图；(3)估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成11个以上（包含11个）“引
体向上”？
20．（本小题满分1 0分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接
OD、OC、BE．
(1)求证：OD∥BE；
(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，
求CD的长．
21．（本小题满分10分）
如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度
为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测
得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：
沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到
达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B
的俯角是600，求两海岛间的距离AB．
22．（本小题满分1 2分）
如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
(1)求证：AE⊥BF；
(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的
值；
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
23、（本小题满分12分）
经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米／小时）是车流密度x（辆／千米）
的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O千米/小时；
当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x≤220时，
车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度．
(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应
控制大桥上的车流密度在什么范围内？
(3)车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车
流密度．求大桥上车流量y的最大值．
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24．（本小题满分13分）
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐
标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E
2-1-c-n-j-y
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，
若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
2 0 1 4 年潍坊市初中学业水平考试数学试题
注意事项：
1．本试题分第1卷和第Ⅱ卷两部分．第1卷2页，为选择题，3 6分；第Ⅱ卷2
页，为非选择题，84分；共1 20分．考试时间为1 20分钟．
2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、
写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．
第1卷 （选择题 共3 6分）
一、选择题（本题共1 2小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请
把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记O分．）
1． 的立方根是( )
A．-1 B．O C．1 D． ±1
考点：平方，立方根．
分析：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．根据立方根
的定义求出-1的立方根，而-1的立方等于-1，由此就求出了这个数的立方根．
解答：解：∵ =1 而1的立方根等于1，∴ 的立方根是1．
故选C．
点评：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一
个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的
立方根与原数的性质符号相同．
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2．下列标志中不是中心对称图形的是( )
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是不中心对称图形，故本选项正确；D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
点评：本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形
能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．中心对
称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
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3．下列实数中是无理数的是( )A． B.2-2 c. D.sin450
考点：无理数；负指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：先求出sin45°与2-2的值，再根据无理数的概念进行解答即可．
解答：∵sin45°= ，是无理数； ，是有理数； 是分数，属于有理数； 是无限
循环小数，是有理数。
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故选D．
点评：本题考查的是无理数的定义及特殊角的三角函数值，即无限不循环小数叫做无理数．
4．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体是( )
考点：由三视图还原实物图．
分析：根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状．
解答：由三视图知，从正面和侧面看都是上面梯形，下面长方形，从上面看为圆环，可以想象
到实物体上面是圆台，下面是空心圆柱．
【来源：21·世纪·教育·网】
故选D．
点评：本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化．
5．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是( )
A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>-l D．x>-1且x≠3
考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x
的范围．
解答：根据题意得： 解得x≥-1且x≠3．
故选B．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙0的
直径BE上，连接AE，∠E=360，，则∠ADC的度数是( )
A,440 B．540 C．720 D．530
考点：圆周角定理；平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC，再根据圆周角定理的推
论由BE为⊙O的直径得到∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠ABE的度数．
解答：∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠ABC =90°-∠AEB=54°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=54°，
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦
是直径．也考查了平行四边形的性质．
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7. 若不等式组 无解，则实数a的取值范围是( )
A．a≥一1 B．a<-1 C．a≤1 D.a≤-1
考点：解一元一次不等式组．
分析：先求出②中x的取值范围，再根据不等式组无解确定a的取值范围即可．
解答：解①得，x≥-a，解②得，x＜1,由于此不等式组无解，故-a≥1, a≤-1．
故选D．
点评：本题考查的是一元一次不等式组的解法，解答此题的关键是熟知解不等式组解集应遵
循的原则“同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则．
8．如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个
动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点 E从点B运动
到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是
考点：动点问题的函数图象．
分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.
解答：因为△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=5：（4-x）y，
整理，得y=- （x-2）2+ ，
很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2， ）的抛物线．对应A选项．
故选：A．
点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．
9．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程
x2 -12x+k=O的两个根，则k的值是( )
A:27 B:36 C:27或36 D:18
考点：根与系数的关系；等腰三角形的性质．分析：由于等腰三角形的一边长3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当3为腰
时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，
再根据三角形的三边关系判断出的值是否符合题意即可；②当3为底时，则其他两条边相等，
即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
解答：分两种情况：
①当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得32-12×3+k=0，k=27
将k=27代入原方程，得x2-12x+27=0，解得x=3或9．3，3，9不能够组成三角形；
②当3为底时，则其他两条边相等，即△=0，此时144-4k=0，k=36．
将k=36代入原方程，得x2-12x+36=0，解得x=6． 3，6，6能够组成三角形，
故答案为B．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在
解答时要注意分类讨论，不要漏解．
10. 右图是某市7月1日至1 0日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气
质量优良，空气质量指数大于2 00表示空气重度污染，
某人随机选择7月1日至7月8日中的某一天到达该
市，并连续停留3天．则此人在该市停留期间有且仅
有1天空气质量优良的概率是( )
A 、 B、 C、 D、
考点：折线统计图；；几何概率．
分析：将所用可能结果列举出来，找出符合要求的，后者除以前者即可。用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比
解答：7月1日至1 0日按连续三天划分共有8种情况，其中仅有1天空气质量优良的有4种，
所以概率为 ，故选C.
点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那
么事件A的概率P（A）=
11．已知一次函数y=kx+b（k<O）与反比例函数y= (m≠O)的图象相交于A、B两点，其横坐
1 2
标分别是-1和3，当y>y 时，实数x的取值范围是( )
1 2
A．x<-l或O<x<3 B．一1<x<O或O<x<3 C．一1<x<O或x>3 D．O<x<3
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：画出函数图象，取反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围即可．
解答：一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，且A，B两点的横坐标分
1 2
别为-1，3，
故满足y＜y 的x的取值范围是x＜-1或0＜x＜3．
2 1故选A．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，熟练掌握反比例的图象
性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
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12，如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻
折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的
对角线交点M的坐标变为 ( )
A．(—2012,2) B．（一2012，一2）
C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
考点：坐标与图形变化-对称；坐标与图形变化-平移．
专题：规律型．
分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题
意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律．
解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M的坐标变为(2,2)
∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），
第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为（2-2014， 2），即（-2012， 2）
故答案为A．
点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n
次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2）是
解此题的关键．
第Ⅱ卷 （非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，共1 8分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
13．分解因式：2x(x-3)一8= .
考点：因式分解-十字相乘法等．
分析：先提公因式，再按十字相乘法分解因式．
解答：2x(x-3)一8=2x2-6x-8=2(x2-3x-4)=2(x-4)(x+1)
故答案为：2(x-4)(x+1)
点评：本题重点考查了整式的分解因式这个知识点，分解因式要注意有公因式，应先提取公
因式，然后再考虑利用其他方法，若是有二项，一般考虑平方差公式，三项则考虑完全平方公
式或十字相乘法，本题较简单．
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14．计算：82014×(一0.125)2015= .
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：两数的底数互为负倒数，可以利用积的乘方的逆运算求解．
解答：82014×（-0.125）2014=（-0.125×8）2014×（-0.125）=-0.125，故答案为：-0.125
点评：此题主要考查积的乘方的逆运算：anbn=（ab）n．
15．如图，两个半径均为 的⊙O 与⊙O 相交于A、B两点,且
1 2
每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留π）
考点：相交两圆的性质；菱形的性质．
分析：连接OO，由题意知，四边形AOBOB是菱形，且△AOO，△BOO 都是等边三角形，四边
1 2 1 2 1 2 1 2
形OAOB的面积等于两个等边三角形的面积．据此求阴影的面积．
1 2
解答：连接OO，由题意知，四边形AOBOB是菱形，且△AOO，△BOO 都是等边三角形，四边
1 2 1 2 1 2 1 2
形OAOB的面积等于两个等边三角形的面积，∴S =2×
1 2 O1AO2B
S = ∴S =2（S - S ）=
扇形AO1B 阴影 扇形AO1B O1AO2B
故答案为：
点评：本题利用了等边三角形判定和性质，等边三角形的面积公式、扇形面积公式求解．
16．已知一组数据一3，x，一2, 3，1，6的中位数为1，则其方差为 .
考点：方差；中位数；标准差．
分析：先由中位数的概念列出方程，求出x的值，再根据方差的公式进行计算即可．
解答：共有6个数据，排序后1总在中间．中位数应该是排序后的第3个数和第4个数的平均
数，有 （x+1）=1，∴x=1，数据的平均数= （-3-2+1+3+6+1）=1，
方差S2= [（-3-1）2+（-2-1）2+（1-1）2+（3-1）2+（6-1）2+（1-1）2]=9；
故答案为：9．
点评：本题考查了中位数和方差．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据
的平均数）叫做中位数，关键是根据中位数的概念求得x的值．
17．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和
点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔
52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平
面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建
筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆
FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和
标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：根据 AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得 CD:AB=DG:BG,
EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解题．
【来源：21cnj*y.co*m】解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG ∵CD=DG=2， AB=BG
∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4 ∴BH=2AB ∴BH=2BG=2GH
∵GH=DH-DG=DF=FH-DG=52-2+4=54，∴AB=BG=GH=54.
故答案为：54
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于
GH、BH的关系式并求解是解题的关键．
【出处：21教育名师】
18.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈
周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几
何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是
十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A
处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤
的最短长度是 尺．
考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理的应用．
分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，
所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
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解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长 =25（尺）．
故答案为：25
点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平
面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答要写出必要的文字说明、证明算步骤．）
19．（本小题满分9分）
今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容．考试前某校为了解
该项目的整体水平，从九年级220名男生中，随机抽取20名进行“引体向上”
测试成绩（单位：个）如下：
9 12 3 13 18 8 8 4 ■ ，12
13 12 9 8 12 13 18 13 12 10
其中有一数据被污损，统计员只记得11.3是这组样本数据的平均数．
(1)求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差；
(2)请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图；
(3)估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成11个以上（包含11个）“引
体向上”？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
分析：根据平均数即可求得被污损的数，求出极差，进一步可将频率分布表、频数分布直方图
补充完整；再利用总人数乘以对应的比例即可求解第三问．
解答：(1)设被污损的数据为x，由题意知：
解得：x=19
根据极差的定义，可得该组数据的极差是19-3=16．
(2)由样本数据知，测试成绩在6～10个的有6名，该组频数为6，相应频率是 =o.30；
测试成绩在11～15个的有9名，该组频数为9，相应频率是 =0.45．
补全的频数、频率分布表和频数分布直方图如下所示：
(3)由频率分布表可知，能完成_11个以上的是后两组，(0.45 +0.15)×100%=60％，由此估计
在学业水平体育考试中能完成11个以上“引体向上’的男生数是220×60% =132（名）
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（本小题满分1 0分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接
OD、OC、BE．
(1)求证：OD∥BE；
(2)若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，
求CD的长．
考点：全等三角形、直角三角形、勾股定理；直线与圆的位置关系．分析：（1）连接OE, 证明Rt△OAD≌Rt△OED可得∠AOD=∠ABE，从而OD∥BE；
（2）证明△COD是直角三角形，根据梯形ABCD的面积是48求出xy=48，结合x+y=14可求出
x2+y2的值，从而可得CD的长
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解答：(1)证明：连接OE,
∵CD是⊙O的切线， ∴OE⊥CD，
在Rt△OAD和Rt△OED中，OA=OE, OD=OD，
∴Rt△OADcR≌t△OED， ∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE，
在⊙O中，ABE= ∠AOE, ∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE
(2)同理可证：Rt△COE≌Rt△COB．∴∠COE=∠COB= ∠BOE,
∴∠DOE+∠COE=900，∴△COD是直角三角形，
∵S△DEO=S△DAO, S△COE=S△COB,
∴S梯形ABCD =2(S△DOE+S△COE)=2S△COD=OC·OD=48，即xy=48，
又∵x+y= 14，∴x2 +y2=(x+y)2-2xy=142-2×48=100,
在Rt△COD中,
即CD的长为10．
点评：本题主要考查的是三角形全等、直角三角形、勾股定理；、直线与圆的位置关系.
21．（本小题满分10分）
如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度
为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测
得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：
沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到
达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B
的俯角是600，求两海岛间的距离AB．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据
矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分别在Rt△AEC
与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．
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解答：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF上CD，交CD的延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，所以AB=EF， AE=BF，
由题意可知AE=BF=1100—200=900，CD=19900．∴在Rt△AEC中，∠C=450, AE=900, ∴
在Rt△BFD中，∠BDF=600，BF=900，BF=900 ∴
∴ AB=EF=CD+DF-CE=19900+ -900=19000+
答：两海岛之间的距离AB是(19000+300√3）米
点评：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角
形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
22．（本小题满分1 2分）
如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
(1)求证：AE⊥BF；
(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的
值；
(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和
BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．
分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由BE=CF，即可证得
△ABE≌△BCF,可得∠BAE=∠CBF，由∠ABF+∠CBF=900可得∠ABF+∠BAE=900，即AE⊥BF；
（2）由△BCF≌△BPF, 可得CF=PF,BC=BP,∠BFE=∠BFP，由CD∥AB得∠BFC=∠ABF,从而
QB=QF，设PF为x,则BP为2x,在Rt△QBF中可求 QB为 x，即可求得答案；
（3）由 可求出△AGN的面积，进一步可求出四边形GHMN的面积．
解答：(1)证明：∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴CF=BE，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF ∴∠BAE=∠CBF 又∵∠BAE+∠BEA=900，∴∠CBF+∠BEA=900，
∴∠BGE=900， ∴AE⊥BF
(2)根据题意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=900，
∵CD∥AB, ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB
令PF=k（k>O），则PB=2k，在Rt△BPQ中，设QB=x， ∴x2=(x-k)2+4k2, ∴x= k，∴sin∠BQP=
(3)由题意得：∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF, ∴AN=AB=2,
∵ ∠AHM=900, ∴GN//HM, ∴ ∴
∴ 四边形GHMN=SΔAHM - SΔAGN=1一 =
答：四边形GHMN的面积是 .
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及
三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形
结合思想的应用．
23、（本小题满分12分）
经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米／小时）是车流密度x（辆／千米）
的函数，当桥上的车流密度达到220辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为O千米/小时；
当车流密度不超过20辆／千米时，车流速度为80千米／小时．研究表明：当20≤x≤220时，
车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)求大桥上车流密度为100辆／千米时的车流速度．
(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米／小时且小于60千米／小时时，应
控制大桥上的车流密度在什么范围内？
(3)车流量（辆／小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车
流密度．求大桥上车流量y的最大值．
考点：二次函数的应用；一次函数的应用．
分析：（1）利用当20≤x≤220时，v是x的一次函数，设v与x的一次函数关系为v=kx+b
（k≠0 ），求出表达式后把x=100代入即可；
（2）利用（1）中所求表达式根据题意列出不等式组，求出解集.
（3）利用（1）中所求，再利用车流量=车流密度×车流速度，得出函数关系式，根据顶点坐标
求出最值即可．
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解答：(1)由题意得：当20≤x≤220时，v是x的一次函数，则可设v=kx+b（k≠O），
由题意得：当x=20时，v=80,当x=220时，v=0
所以 解得： ,
所以当20≤x≤220时，v=- x+88 ， 则当x=100时,y=一 ×100+88=48.
即当大桥上车流密度为100辆／千米时，车流速度为48千米／小时．(2)当20≤v≤220时，v=一 x+88(0≤v≤80),
由题意得： ．解得70＜x＜120,
所以应控制车流密度的范围是大于70辆／千米且小于120辆／千米.
(3)①当0≤x≤20时，车流量y=vx=80x,
1
因为k=80>0，，所以y 随x的增大面增大，故当x=20时，车流量y 的最大值为1600．
1 1
②当20≤x≤220时，车流量y2=vx=(一 x+88)x=一(x-110)2+4840,
当x=110时，车流量y 取得最大值4840，
2
因为4840>1600，所以当车流密度是110辆／千米，车流量y取得最大值.
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，注意自变
量取值范围不同函数解析式不同．
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24．（本小题满分13分）
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于
点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物
线交于点D，与直线BC交于点E
2-1-c-n-j-y
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使
四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为
顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
考点：二次函数综合题．
分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）设存在点K，使得四边形ABFC的面积为17，根据点K在抛物线y=-x2+2x+3上设点K的坐
标为：（x，-x2+2x+3），根据S =S +S +S 得到有关x的一元二次方程求出
四边形ABKC △AOC 梯形ONKC △BNK
x即可.．
（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y的值，确定出D坐标，将x=1代入直线BC解析式求出y
的值，确定出E坐标，求出DE长，将x=m代入抛物线解析式表示出F纵坐标，将x=m代入直线
BC解析式表示出P纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ，由DE与QP平行，要使四边形PEDQ
为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．
解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,① ∵对称轴x= =1，∴b=-2a，②，
又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a-2b+c，③
由①②③ 解得：a= , b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y= x+x+4(2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF．
过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G．
设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中O<t<4， 则FH= t2 +t+4 FG=t,
∴△OBF= OB.FH= ×4×（ t2+4t+4）=一t2+2t+8 ,S△OFC= OC.FC= ×4×t=2t
∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF +S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．
令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=(一4)2-4×5=一4<0,
∴方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠O），又过点B(4,0，), C(0,4)
所以 ，解得： ， 所以直线BC的解析式是y=一x+4．
由y= x2+4x+4=一 （x一1)2+ ，得D（1， ），
又点E在直线BC上，则点E(1，3)，于是DE= 一3= .
若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ,
设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一 t2+m+4）．
①当O<m<4时，PQ=（一 t2+m+4）一（一m+4）=一 m2+2m．
由一 m2+2m= ，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合,m=-1舍去,
∴m=-3，此时P (3,1)．
1
②当m<o或m>4时，PQ=（一m+4）一（一 m2++m+4)= m2—2m,
由 m2—2m= ，解得m=2± ，经检验适合题意，
此时P2（2+ ，2一 ），P3（2一 ，2+ ）．
综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+ ，2 - ），P3（2— ，2十
）.
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐
标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐
标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．
