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2021 年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
4．下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10 B．（x3y2）2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3 D．x2•x3＝x5
5．某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取
15名学生在五月份的测评成绩如表：
成绩 90 91 95 96 97 99
（分）
人数 2 3 2 4 3 1
（人）
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A．95，95 B．95，96 C．96，96 D．96，97
6．某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项
成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主
测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（ ）
A．83分 B．84分 C．85分 D．86分
7．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（
）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
8．如图，在 O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，
∠AED＝80⊙°，则∠COB的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
9．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，
用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单
价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相
交于点 F，点 M 从 A 出发，沿 A→B→F 的路线匀速运动到点 F 停止．过点 M 作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关
系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行
标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000用科学记数法表示为
．
12．27的立方根为 ．
13．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他
差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ，则袋中黄球的个数为 ．
15．如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别
以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径画弧两弧相交于点E，作射线CE，交AB于点
F，FH⊥AC于点H．若FH＝ ，则BF的长为 ．16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接
BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ．
17．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E
为CD上任意一点，连接 AE，OE，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过点 A．若
△AOE的面积为2，则k的值是 ．
18．如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝
2cm ， DC ＝ 1cm ． 则 下 列 四 个 结 论 ： ① △ ACD∽ △ BCE ； ② AD⊥ BE ；
③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2
+2）cm2.其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19先化简，再求值： ，其中m＝ ．
20某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生
必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校
的调查结果如图：
图中信息解答下列问题
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 ，请补充条形统计图．
（3）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取
两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰
好都是男生的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型
号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型
公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费
用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
22某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．
观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，
测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．
大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：
≈1.414， ≈1.732）
五、解答满分12分
23某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的
销售量y（个}与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的
销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每填的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的
销售润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24如图，在 O中，∠AOB＝120°， ＝ ，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC
的延长线于⊙点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为2，求线段DF的长．
⊙七、解答题（满分12分）
25如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C
重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并
说明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
八、解答题（满分14分）
26直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，
B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点
E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H
作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边
形是正方形时，请直接写出点P的坐标．参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一
切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，
∴所给的各数中，比﹣1大的数是0．
故选：D．
2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正
方形．
故选：A．
3．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
【分析】根据“直线a∥b，∠1＝50°”得到∠3的度数，再根据∠2+∠3＝180°即可得到
∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝130°，
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10 B．（x3y2）2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3 D．x2•x3＝x5
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，
从而作出判断．
【解答】解：A、x5+x5＝2x5，故此选项不符合题意；
B、（x3y2）2＝x6y4，故此选项不符合题意；
C、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
D、x2•x3＝x5，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
5．某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取
15名学生在五月份的测评成绩如表：
成绩 90 91 95 96 97 99
（分）
人数 2 3 2 4 3 1
（人）
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．95，95 B．95，96 C．96，96 D．96，97
【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
【解答】解：将这15名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第 8个数
是96，因此中位数是96，这15名学生成绩出现次数最多的是96，共出现4次，因此众数是96，
故选：C．
6．某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项
成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主
测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（ ）
A．83分 B．84分 C．85分 D．86分
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：他的最终成绩为80×40%+90×60%＝86（分），
故选：D．
7．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（
）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标
就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答】解：∵线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），
∴2＝2m，
∴m＝1，
∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，
故选：B．
8．如图，在 O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，
∠AED＝80⊙°，则∠COB的度数为（ ）A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据圆周角定理得出∠D＝ COB，求出
∠COB＝2∠D，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°，
∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°，
∴∠COB＝2∠D＝120°，
故选：C．
9．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，
用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单
价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总
价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即
可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得： ＝ ．
故选：A．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相
交于点 F，点 M 从 A 出发，沿 A→B→F 的路线匀速运动到点 F 停止．过点 M 作
MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关
系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【分析】先证明△ADE≌△FCE得到，BF＝8，由勾股定理求出AF＝10．当点M在AB
上时，根据三角函数求出NM＝ ，
从而得到△AMN的面积S＝ ＝ ；当点M在BF上时，先利用三角函数
求出MN，再求出此时S关于x的函数关系式，即可得到答案．
【解答】解：如图，∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（SAS），
∴CF＝AD＝4，
∴BF＝CF+BC＝8，
∴AF＝ ，当点M在AB上时，
在Rt△AMN和Rt△AFB中，
tan∠NAM＝ ，
∴NM＝ ，
∴△AMN的面积S＝ ＝ ，
∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；
当点M在BF上时，如图，
AN＝x，NF＝10﹣x，
在Rt△FMN和Rt△FBA中，
tan∠F＝ ，
∴ ＝﹣ ，
∴△AMN的面积S＝
＝﹣ ，
∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 98990000 农村贫困人口全部脱贫，将数据 98990000 用科学记数法表示为
9.899×10 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：98990000＝9.899×107，
故答案为：9.899×107．
12．27的立方根为 3 ．
【分析】找到立方等于27的数即可．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
13．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是 （ 2 ，﹣ 4 ） ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【解答】解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
14．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他
差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ，则袋中黄球的个数为 7 ．
【分析】设有黄球x个，根据概率公式得： ＝ ，解得x的值即可．
【解答】解：设有黄球x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
故答案为：7．
15．如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别
以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径画弧两弧相交于点E，作射线CE，交AB于点
F，FH⊥AC于点H．若FH＝ ，则BF的长为 2 ．【分析】过F作FG⊥BC于G，由作图知，CF是∠ACB的角平分线，根据角平分线的
性质得到FG＝FH＝ ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥BC于G，
由作图知，CF是∠ACB的角平分线，
∵FH⊥AC于点H．FH＝ ，
∴FG＝FH＝ ，
∵∠FGB＝90°，∠B＝30°．
∴BF＝2FG＝2 ，
故答案为：2 ．
16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接
BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 2 ．
【分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重
合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝ ＝3，BC＝BF+CF
＝8，根据折叠可知OH是△ABC的中位线，故BH＝ BC＝4，OH＝ AB＝2，在
Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2 ．
【解答】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，
∴AF＝CF＝5，
在Rt△ABF中，BF＝ ＝ ＝3，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，
∴O为AC中点，OH∥AB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BH＝CH＝ BC＝4，OH＝ AB＝2，
在Rt△BOH中，OB＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
17．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E
为CD上任意一点，连接 AE，OE，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过点 A．若
△AOE的面积为2，则k的值是 4 ．
【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE ＝S△AOD ＝2，应用|k|的几何
意义求k．【解答】解：
如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AO∥CD，
∴S△AOE ＝S△AOD ＝2，
∴k＝4．
故答案为：4．
18．如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝
2cm ， DC ＝ 1cm ． 则 下 列 四 个 结 论 ： ① △ ACD∽ △ BCE ； ② AD⊥ BE ；
③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2
+2）cm2.其中正确的是 ①②④ .（填写所有正确结论的序号）
【分析】先证明△ACD∽△BCE，再用对应角∠EBC＝∠DAC，即可判断①②③，再
由D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（ +1）cm，即可求得△ABD面积的最大值为
＝（2 +2）cm2，故可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，
∴tan∠BAC＝ ＝ ，tan∠BAC＝ ＝ ，∴BC＝2 cm，CE＝ cm，
∴ ＝ ＝2，
∴△ACD∽△BCE，故①正确；
∵△ACD∽△BCE，
∴∠EBC＝∠DAC，
如图，记BE与AD、AC分别交于F、G，
∵∠AGF＝∠BGC，
∴∠BCG＝∠BFA＝90°，
∴AD⊥BE，故②正确；
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误；
如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ABC＝30°，
∴CH＝ BC＝ cm，
∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（ +1）cm，
∴△ABD面积的最大值为 ＝（2 +2）cm2，故④正确．
故答案为：①②④．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19先化简，再求值： ，其中m＝ ．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂．
【专题】分式；运算能力．
【答案】 ， ．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 m的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：
＝ •
＝
＝
＝ ，
当m＝ ＝4时，原式＝ ＝ ．
20某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生
必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校
的调查结果如图：
图中信息解答下列问题（1）本次被调查的学生有 人；
（2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 ，请补充条形统计图．
（3）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取
两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰
好都是男生的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）50；
（2）72°；
（3） ．
【分析】（1）用最喜欢“诗歌”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用360°乘以“散文”类的人数所占的百分比得到“散文”类所对应的圆心角的度
数，然后计算最喜欢“绘画”类的人数后补全条形统计图；
（3）通过树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选的两人恰好都是男生的结果数，
然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），
所以本次被调查的学生有50人；
故答案为50；
（2）“散文”类所对应的圆心角的度数为360°× ＝72°；
最喜欢“绘画”类的人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人），
条形统计图补充为：故答案为72°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，
所以所选的两人恰好都是男生的概率＝ ＝ ．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型
号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型
公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费
用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；推理能力；
应用意识．
【答案】（1）A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
（2）该公司最多购买80辆A型公交车．
【分析】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购买1辆A
型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270
万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意：购买
A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得： ，
解得： ，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，
由题意得：45m≤60（140﹣m），
解得：m≤80，
答：该公司最多购买80辆A型公交车．
22某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．
观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，
测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．
大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：
≈1.414， ≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】（1）300 m；
（2）204m．
【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根
据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝ AC＝300（m），AD＝ AC＝300 （m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝ CD＝300 （m），
答：景点B和C处之间的距离为300 m；
（2）由题意得．
AC+BC＝600+300 ≈1024（m），
AB＝AD+BD＝300 +300≈820（m），
1024﹣820＝204（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约204m．
五、解答满分12分
23某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的
销售量y（个}与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的
销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每填的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的
销售润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+540；（2）当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260
个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性
质可求解．
【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得： ，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）
2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．
六、解答题（满分12分）
24如图，在 O中，∠AOB＝120°， ＝ ，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC
的延长线于⊙点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为2，求线段DF的长．
⊙
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；模型思想．
【答案】（1）详见解答；
（2） ．
【分析】（1）由 ＝ ，可得AC＝BC，进而可证出△OAC≌△OBC，从而得出四边
形OACB是菱形，由OA∥BD，AD⊥BD，可得出OA⊥DE，得出DE是切线；
（2）根据特殊锐角的三角函数值，可求出CD、AD，进而在Rt△AOD中，由勾股定理
求出OD，再根据△CFD∽△AFO，可得 ＝ ＝ ，进而得到DF＝ OD即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵ ＝ ，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB＝60°，
∴△AOC、△BOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝CB＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BD，
又∵AD⊥BD，
∴OA⊥DE，
∴DE是 O的切线；
（2）由（⊙1）得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2，
∴DC＝ AC＝1，AD＝ AC＝ ，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OD＝ ＝ ＝ ，
∵OA∥BD，
∴△CFD∽△AFO，∴ ＝ ，
又∵ ＝sin30°＝ ，AC＝OA＝2，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即DF＝ OD＝ ．
七、解答题（满分12分）
25如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C
重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并
说明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
【考点】三角形综合题．【专题】作图题；推理能力．
【答案】（1）EF＝EB．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2，证明见解析部分．
（3）AF的长为 或1．
【分析】（1）结论：EF＝BE．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，如图3﹣2中，当点E在线段
BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．
【解答】解：（1）结论：EF＝BE．
理由：如图1中，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，在△AJD和△BED中，
，
∵△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．
（3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE＝CF2+CE2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝ ，
∴AF＝ ．
如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE＝CF2+CE2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为 或1．
八、解答题（满分14分）
26直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，
B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点
E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H
作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边
形是正方形时，请直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（2，3）；（5，2）或（﹣1，2）或（1，2+ ）
或（1，2﹣ ）．
【分析】（1）令x＝0，求点B（0，3），令y＝0，求点A（3，0），将点A、点B代入
抛物线y＝ax2+2x+c即可求解；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），由DE∥y轴交AB于点E，则E（m，﹣m+3），再由
OA＝OB，可知∠OAB＝45°，则有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点
T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3
﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出 FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣
m2+2m+3＝﹣3m+9，即可求D（2，3）；
（3）先求出C（﹣1，0），直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M
（1，2），分两种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定
H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，K（3，4），P（5，2）；当H（0，3）时，
K（0，1），P（﹣1，2）；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H（1+ ，2）或H
（1﹣ ，2），当H（1+ ，2）时，P（1，2+ ）；当H（1﹣ ，2）时，P
（1，2﹣ ）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，
∵H点在抛物线上，
∴H（3，0）或H（0，3），
当H（3，0）时，MH＝2 ，
∴KH＝4，
∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝ ，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），
∴P（﹣1，2）；
②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，
∴H（1+ ，2）或H（1﹣ ，2），
当H（1+ ，2）时，MH＝ ，
∴P（1，2+ ）；
当H（1﹣ ，2）时，MH＝ ，
∴P（1，2﹣ ）；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或
（﹣1，2）或（1，2+ ）或（1，2﹣ ）．
