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2021年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借
助直尺判断该线段是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．不一定相等的一组是（ ）
A．a+b与b+a B．3a与a+a+a
C．a3与a•a•a D．3（a+b）与3a+b
3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
4．与 结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
5．能与﹣（ ﹣ ）相加得0的是（ ）
A．﹣ ﹣ B． + C．﹣ + D．﹣ +
6．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）A．A代 B．B代 C．C代 D．B代
7．如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边
形ANCM▱为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
8．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液
面AB＝（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．若 取1.442，计算 ﹣3 ﹣98 的结果是（ ）
A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442
10．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO ＝8，S△CDO ＝2，则S正六边
的值是（ ）
边ABCDEF
A．20 B．30
C．40 D．随点O位置而变化
11．（2分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为
a ，a ，a ，a ，a ，则下列正确的是（ ）
1 2 3 4 5
A．a ＞0 B．|a |＝|a |
3 1 4
C．a +a +a +a +a ＝0 D．a +a ＜0
1 2 3 4 5 2 5
12．（2分）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关
于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2A．0 B．5 C．6 D．7
13．（2分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器测量所得）
又∵135°＝76°+59°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
14．（2分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图 1及条形
图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图 2中“（ ）”应填
的颜色是（ ）A．蓝 B．粉 C．黄 D．红
15．（2 分）由（ ﹣ ）值的正负可以比较 A＝ 与 的大小，下列正确的是
（ ）
A．当c＝﹣2时，A＝ B．当c＝0时，A≠
C．当c＜﹣2时，A＞ D．当c＜0时，A＜
16．（2分）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在 O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作⊙AB的垂直平分线与 O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，⊙N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ： O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM ＝S扇形AOB ．
对于结论⊙Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）
17．（4分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片 1块，再取乙纸片4
块，还需取丙纸片 块．
18．（4分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，
∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应
（填“增加”或“减少”） 度．
19．（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝ 与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a
＝8时的视窗情形．
（1）当a＝15时，l与m的交点坐标为 ；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 ，
其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图
2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B
之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的 ，则整数k＝
．三、解答题（本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购
进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
（1）用含m，n的代数式表示Q；
（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．
21．（9分）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x
个．
（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：
101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明
A品牌球最多有几个．
22．（9分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每
走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
23．（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保
持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转
为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]
24．（9分）如图， O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A
n
（n为1～12的整⊙数），过点A 作 O的切线交A A 延长线于点P．
7 1 11
（1）通过计算比较直径和劣弧 ⊙ 长度哪个更长；
（2）连接A A ，则A A 和PA 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
7 11 7 11 1
（3）求切线长PA 的值．
7
25．（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且
AO＝2，在ON上方有五个台阶T ～T （各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1
1 5
和1.5，台阶T 到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发
1出一个带光的点P．
（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最
大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T 有交点；
5
（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．
在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包
括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必写x的取值范围]
26．（12分）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首
尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角 （ ＞0°）到某一位置时，
BC，CD将会跟随出现到相应的位置． α α
论证：如图1，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角 ＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
尝试：取线段CDα的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；
拓展：①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，
直接写出BP的长（用含d的式子表示）；
②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出a的余弦值．
