文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D B C A B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AD ACD ABD AD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． / 14． 15． 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【详解】（1）证明：设数列 的公差为 ，则 ，
即 ，
解得 ，所以原命题得证.
（2）由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ,
由 ， ，故 ，即 ，所以满足等式的解 ．
故集合 中的元素个数为6.
18．(12分）
【详解】（1）在 中， ，
，
，
，
则 ，
化简得 .
在 中， ，
.
又 ，
.
（2）由余弦定理，得 ，即 .
若选①，
，即 ，且 ，
， ，
此时 的周长为 .
若选②，
，
，即 ，
又 ，
，
此时 的周长为 ．
19．(12分）【详解】（1） ，
用水量在 的频率为 ， （户）
（2） ，
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为 吨，因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
20．(12分）
【详解】（1）设 为 中点，连接 ，
又 分别是 中点，
所以 ， ，
又底面 是正方形，
所以 ， ，故四边形 为平行四边形，则 ，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）因为PB与平面ABCD所成角为45°，所以 ，以 为原点，构建空间直角坐标系，由于 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
令 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，即 ，
令 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，即 ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值 ．
21.(12分）
【详解】（1）由 ，即 ，
将 代入双曲线方程得 ；（2）
当直线 的斜率存在时，不妨设直线 ， ，
联立双曲线方程 ，
其中 ，
，
易知
，
化简得
所以 或 ，
当 时，直线 过P，不符题意舍去，
故 ，则此时直线 ，过定点 .
如图所示，易知 ，
则 ；
当直线 的斜率不存在时，可设 ，
与双曲线方程联立，则 ，可令 ，
此时 ，
此时 重合，不符题意舍去.
综上可知 .
22． (12分）
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值 ，无极大值；
（2）由题意得 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，与 矛盾；
②当 时，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，记 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ；
（3）证明：先证 ，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
再证 ，
由（2）可知 ，当 时等号成立，
令 ，则 ，
即 ，
所以 ， ， ，
累加可得 ，所以 .
