文档内容
贵州省 2024 年初中学业水平考试（中考）试题卷
数 学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷．
2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效．
3．不能使用计算器．
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其
中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1. 下列有理数中最小的数是（ ）
.
A B. 0 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数大小的方法．根据有理数的大小比较
选出最小的数．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数是 ，
故选：A．
2. “黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个
图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B． 是轴对称图形，符合题意；
C． 不是轴对称图形，不符合题意；
D． 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
3. 计算 的结果正确的是（ ）
1A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，
字母和字母的指数不变即可得．
【详解】解： ，
故选：A．
4. 不等式 的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据小于向左，无等号为空心圆圈，即可得出答案．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键．
【详解】不等式 的解集在数轴上的表示如下：
．
故选：C．
5. 一元二次方程 的解是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴ ，
2∴ 或 ，
∴ ， ，
故选∶B．
6. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”
“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为 ， ，
则“技”所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，
故选A．
7. 为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月
阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（
）
A. 100人 B. 120人 C. 150人 D. 160人
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用样本反映总体，利用样本百分比乘以总人数计算即可解题．
3【详解】解： （人），
故选D．
8. 如图， 的对角线 与 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的
关键．
【详解】解：∵ 是平行四边形，
∴ ，
故选B．
9. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中
C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大
小，机会大也不一定发生，据此求解即可．
【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义
可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；
小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误
故选；A．
10. 如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则 的长为（ ）
4A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶ 求解即可．
【详解】解∵ ， ，
∴ 的长为 ，
故选∶C．
11. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如
图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式 ， ，
然后化简代入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得 ，即 ，
由乙图可得 ，即 ，
∴ ，
故选C．
512. 如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，顶点坐标为 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数图象的对称轴是直线
的
B. 二次函数图象与x轴 另一个交点的横坐标是2
C. 当 时，y随x的增大而减小
D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增
减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项
D．
【详解】解∶ ∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
6设二次函数解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13. 计算 的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．
【详解】解：原式= = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则 （a≥0，b＞0）是
解题关键．
14. 如图，在 中，以点A为圆心，线段 的长为半径画弧，交 于点D，连接 ．若 ，
则 的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出 ，即可求解．
7【详解】解∶由作图可知∶ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为∶5．
15. 在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150
里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走的总
路程，列方程求解即可．
【详解】解∶设快马追上慢马需要x天，
根据题意，得 ，
解得 ，
为
故答案 ：20．
16. 如图，在菱形 中，点E，F分别是 ， 的中点，连接 ， ．若 ，
，则 的长为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】延长 ， 交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明 ， ，
过E点作 交N点，根据三角函数求出 ， ， ， ，在 中利用勾股定理
8求出 ，根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】延长 ， 交于点M，
在菱形 中，点E，F分别是 ， 的中点，
， ， ， ，
在 和 中
，
，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
，
过E点作 于N点，
9， ，
， ，
，
，
在 中
，
即 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，
正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）在① ，② ，③ ，④ 中任选3个代数式求和；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）见解析 （2） ，1
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可；
（2）先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化为最简分式，最后代入数值解题即可．
【详解】（1）解：选择①，②，③，
10；
选择①，②，④，
；
选择①，③，④，
；
选择②，③，④，
；
（2）解：
；
当 时，原式 ．
18. 已知点 在反比例函数 的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
11【答案】（1）
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解
析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
（1）把点 代入 可得k的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较
大小．
【小问1详解】
解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴函数图象位于第一、三象限，
∵点 ， ， 都在反比例函数的图象上， ，
∴ ，
∴ ．
19. 根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等
次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：
秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
（1）男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______；
（2）判断下列两位同学的说法是否正确．
12（3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树
状图或列表的方法求甲被抽中的概率．
【答案】（1）7.38，8.26
（2）小星的说法正确，小红的说法错误
（3）
【解析】
【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的
关键．
（1）利用中位数和众数的定义解题即可；
（2）根据优秀等次的要求进行比较解题即可；
（3）列表格得到所有可能的结果数 ，找出符合要求的数量 ，根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38，
女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26，
故答案为：7.38，8.26；
【小问2详解】
解：∵用时越少，成绩越好，
∴7.38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确；
∵女生8.3秒为优秀成绩， ，
∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误；
【小问3详解】
列表为：
甲 乙 丙
甲， 甲，
甲
乙 丙
乙， 乙，
乙
甲 丙
13丙， 丙，
丙
甲 乙
由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种，
故甲被抽中的概率为 ．
20. 如图，四边形 的对角线 与 相交于点O， ， ，有下列条件：
① ，② ．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形 是矩形；
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
（1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明 是平行四边形，然后根据矩形的定
义得到结论即可；
（2）利用勾股定理得到 长，然后利用矩形的面积公式计算即可．
【小问1详解】
选择①，
证明：∵ ， ，
∴ 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
选择②，
14证明：∵ ， ，
∴ 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ．
21. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联
系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩
甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？
（2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？
【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生
（2）至少种植甲作物5亩
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27
名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；
（2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物 亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即
可．
【小问1详解】
解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，
根据题意，得 ，
解得 ，
15答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；
【小问2详解】
解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物 亩，
根据题意，得： ，
解得 ，
答：至少种植甲作物5亩．
22. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽
内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点E处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射光线，
为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N， 在同一平面内，测得 ， ，折射角
．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
16（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出 长，然后根据 计算即可．
【小问1详解】
解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
【小问2详解】
解：由题可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
23. 如图， 为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在 的延长线上， 与半圆相切于点C，与
的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．
17（1）写出图中一个与 相等的角：______；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1） （答案不唯一）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角可得出 ，即可求解；
（2）连接 ，利用切线的性质可得出 ，利用等边对等角和对顶角的性质可得出
，等量代换得出 ，然后利用三角形内角和定理求出 ，
即可得证；
（3）设 ，则可求 ， ， ， ，在
中，利用勾股定理得出 ，求出x的值，利用 可求
出 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
18故答案为： （答案不唯一）；
【小问2详解】
证明：连接 ，
，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去）
∴ ， ， ，
∵ ，
19∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用
以上知识是解题的关键．
24. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售
量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖
果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】（1）
（2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的
性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用
二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解∶设y与x的函数表达式为 ，
20把 ， ； ， 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
【小问3详解】
解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴ ，
化简得
21解得 ， （舍去）
∴m的值为2．
25. 综合与探究：如图， ，点P在 的平分线上， 于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作 于点C，根据题意在图①中画出 ，图中 的度数为______度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段 上，连接 ，过点P作 交射线 于点N，求证：
；
（3）【拓展延伸】
点M在射线 上，连接 ，过点P作 交射线 于点N，射线 与射线 相交于点
F，若 ，求 的值．
【答案】（1）画图见解析，90
（2）见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形 是矩形，即可求解；
（2）过 P 作 于 C，证明矩形 是正方形，得出 ，利用 证明
，得出 ，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；
22（3）分M在线段 ，线段 的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可；
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为：90；
【小问2详解】
证明：过P作 于C，
由（1）知：四边形 是矩形，
∵点P在 的平分线上， ， ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
23∴ ，
∴ ，
∴
；
【小问3详解】
解：①当M在线段 上时，如图，延长 、 相交于点G，
由（2）知 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当M在 的延长线上时，如图，过P作 于C，并延长交 于G
24由（2）知：四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
25∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性
质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理
分类讨论是解题的关键．
26
