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武威市 2024 年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试数学试卷
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列各数中，比 小的数是（ ）
A. B. C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大
其值越小进行求解即可．
【详解】解；∵ ，
∴ ，
∴四个数中比 小的数是 ，
故选：B．
2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看得到是图形是：
故选：C．
3. 若 ，则 的补角为（ ）
A. B. C. D.
1【答案】D
【解析】
【分析】根据和为 的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】 。
则 的补角为 ．
故选：D．
4. 计算： （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：A．
5. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点O， ， ，则 的长为（
）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形 的性质，得 ，结合 ，得到
2是等边三角形，结合 ，得到 ，解得即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】根据矩形 的性质，得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故选C．
6. 如图，点A，B，C在 上， ，垂足为D，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 得到 ，根据 得到 ，根据直角三角形的两个锐
角互余，计算即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
3∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
7. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有
七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图
形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为
y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ，再根
据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ，
∴ ，
故选：B．
8. 近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年中国农村网络零售额情况．
根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
4A. 2023年中国农村网络零售额最高
B. 2016年中国农村网络零售额最低
C. 2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D. 从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计图提供信息解答即可．
本题考查了统计图的应用，熟练掌握统计图的意义是解题的关键．
【详解】A. 根据统计图信息，得到 ，
故2023年中国农村网络零售额最高，正确，不符合题意；
B. 根据题意，得 ，
故2016年中国农村网络零售额最低，正确，不符合题意；
C. 根据题意，得 ，
故2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加，正确，不符合题意；
D. 从2021年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元，原说法错误，符合题意；
故选D．
的
9. 敦煌文书是华夏民族引以为傲 艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它
以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提
高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域
表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ，那么有序数对记为 对应
5的田地面积为（ ）
A. 一亩八十步 B. 一亩二十步 C. 半亩七十八步 D. 半亩八十四步
【答案】D
【解析】
【分析】根据 可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
【详解】根据 可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故 对应的是半亩八十四步，
故选D．
10. 如图1，动点P从菱形 的点A出发，沿边 匀速运动，运动到点C时停止．设点P的
运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 中点时， 的长为（
）
A. 2 B. 3 C. D.
6【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，得到当 时， ，当点P运动到点B时， ，根据菱形
的性质，得 ，继而得到 ，当点P运动到 中点
时， 的长为 ，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，
直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当 时， ，
当点P运动到点B时， ，
根据菱形的性质，得 ，
故 ，
当点P运动到 中点时， 的长为 ，
故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为： ．
712. 已知一次函数 ，当自变量 时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即
可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据 ，选择 ，此时 ，解得即可．
本题考查了函数值的计算，正确选择自变量是解题的关键．
【详解】根据 ，选择 ，此时 ，
故答案为： ．
13. 定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且 ）．例：
，则 ________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据定义，得 ，解得即可．
本题考查了实数新定义计算，正确理解定义是解题的关键．
【详解】根据定义，得 ，
故答案为：8．
14. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方
如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，
B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A##C
【解析】
8【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
15. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单
位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系 的
图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高
的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大于 ，
则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
16. 甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇
面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形 和扇形 有相同的圆心O，且圆心角
，若 ， ，则阴影部分的面积是______ ．（结果用π表示）
9【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了扇形面积公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵圆心角 ， ， ，
∴阴影部分的面积是
故答案为： ．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算： ．
【答案】0
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算计算即可．
本题考查了二次根式 的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】 ．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
10【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
19. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，
再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
20. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，
图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人
民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分
点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知 和圆上一点M．作法如下：
11①以点M为圆心， 长为半径，作弧交 于A，B两点；
②延长 交 于点C；
即点A，B，C将 的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写
作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接 ， ， ，若 的半径为 ，则 的周长为______
．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2）连接 ，设 的交点为D，根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到 ，根据
的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，计算即可．
本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握作图和圆的性质是解题的关键．
【小问1详解】
根据基本作图的步骤，作图如下：
12则点A，B，C是求作的 的圆周三等分点．
【小问2详解】
连接 ，设 的交点为D，
根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到 ，
∵ 的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
21. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙
两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；
若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：
（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概
率计算公式求解即可；
13（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有7种，
∴甲获胜的概率为 ；
【小问2详解】
解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有5种，
∴乙获胜的概率为 ，
∵ ，
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
22. 习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能
资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重
要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已
知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧， ，点C与点E相距
（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的
仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据： ， ， ．）
14【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点 作 于G，连接
，则四边形 是矩形，可得 ， ，再证明四边形 是矩形，则
， ，进一步证明 三点共线，得到 ；设 ，解
得到 ；解 得到 ；则 ，解得 ，即
，则 ．
【详解】解：如图所示，过点 作 于G，连接 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
15∴ ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∴ ；
设 ，
在 中， ，
∴
∴ ；
在 中， ，
∴
∴ ；
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴风电塔筒 的高度约为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手
的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
16信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是 ；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手
统计 甲 乙 丙
量
平均
m
数
中位
n
数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值： _______， _______；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
为
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认 应该推荐哪位选手，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）甲 （3）应该推荐甲选手，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差与稳定性之间的关系：
（1）根据平均数与众数的定义求解即可；
（2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；
（3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可．
【小问1详解】
解：由题意得， ；
把丙的五次成绩按照从低到高排列为： ，
∴丙成绩的中位数为 分，即 ；
17故答案为： ； ；
【小问2详解】
解：由统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
【小问3详解】
解：应该推荐甲选手，理由如下：
甲的中位数和平均数都比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，
∴应该推荐甲选手．
24. 如图，在平面直角坐标系中，将函数 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数 的
图象，与反比例函数 的图象交于点 ．过点 作x轴的平行线分别交
与 的图象于C，D两点．
（1）求一次函数 和反比例函数 的表达式；
（2）连接 ，求 的面积．
【答案】（1）一次函数 的解析式为 ；反比例函数 的解析式为
；
（2）
18【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律 ，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析
式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出 的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵将函数 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数 的图象，
∴ ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴一次函数 的解析式为 ；
把 代入 中得： ，解得 ，
∴反比例函数 的解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵ 轴， ，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在 中，当 时， ，即 ；
在 中，当 时， ，即 ；
∴ ，
∵ ，
19∴ ．
25. 如图， 是 的直径， ，点E在 的延长线上，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 的半径为2， 时，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，证明 垂直平分 ，得出 ，证明 ，得
出 ，说明 ，即可证明结论；
（ 2 ） 根 据 是 的 直 径 ， 得 出 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出
， 根 据 三 角 函 数 定 义 求 出 ， 证 明
，得出 即可．
【小问1详解】
证明：连接 ， ，如图所示：
20∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点O、B在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ 的半径为2，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
21∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，
平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
26. 【模型建立】
（1）如图1，已知 和 ， ， ， ， ．用等式写出线
段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在对角线 和边 上， ， ．用等
式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图 3，在正方形 中，点 E 在对角线 上，点 F 在边 的延长线上， ，
．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ，理由见详解，（2） ，理由见详解，（3）
，理由见详解
【解析】
22【分析】（1）直接证明 ，即可证明；
（2）过E点作 于点 M，过E点作 于点 N，先证明 ，可得
，结合等腰直角三角形的性质可得： ， ，
即 有 ， ， 进 而 可 得
，即可证；
（3）过A点作 于点H，过F点作 ，交 的延长线于点G，先证明 ，
再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1） ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
23过E点作 于点M，过E点作 于点N，如图，
∵四边形 是正方形， 是正方形的对角线，
∴ ， 平分 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ 是正方形 对角线， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
24∵ ，
∴ ，
即有 ；
（3） ，理由见详解，
过A点作 于点H，过F点作 ，交 的延长线于点G，如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
25∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的
性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数
量关系，是解答本题的关键．
27. 如图1，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为 ．点C为 的中点．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长．
（3）点D为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
26②如图3，连接 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）① ②
【解析】
【分析】（1）根据顶点为 ．设抛物线 ，把 代入解析式，计算求
解即可；
（2）根据顶点为 ．点C为 的中点，得到 ，当 时， ，
得到 ．结合 ，垂足为H，得到 的长．
（3）①根据题意，得 ，结合四边形 是平行四边形，设 ，结合点F落在抛物线
上，得到 ，解得即可；
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连接 ，
， ，利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
【小问1详解】
∵抛物线的顶点坐标为 ．
设抛物线 ，
把 代入解析式，得 ，
27解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
∵顶点为 ．点C为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
∴E的横坐标为1，
设 ，
当 时， ，
∴ ．
∴ ．
【小问3详解】
①根据题意，得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设 ，
∵点F落在抛物线上，
∴ ，
解得 ， (舍去)；
28故 ．
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连接 ，
， ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
故当 三点共线时， 取得最小值，
∵ ，
∴ 的最小值，就是 的最小值，且最小值就是 ，
延长 交y轴于点M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
29故 的最小值是 ．
【点睛】本题考查了二次函数待定系数法，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，
勾股定理，轴对称，三角形不等式求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称，三角形不等
式求线段和的最小值是解题的关键．
30
