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1989年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) 已知 厂(3) =2,则恤八3_策_〃3)=
h_o Zn
(2) 设/'(工)是连续函数，且广(工)=2十2〔 则f(z)= .
J 0
(3) 设平面曲线L为下半圆y = — J \ 一 x1，则曲线积分J (j:2 + j/2 )ds =________ .
(4) 向量场 u(x ,y ,z) ~jcy2i ~\~yezj ln(l + z2 )k 在点(1,1,0)处的散度 div u =________ .
/3 0 0\ /I ° 0]
(5)设矩阵A= 1 4 0 ,E = 0 1 0 ，则逆矩阵(A -2E)
'0 0 3' '00 r
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) 当 2>0 时，曲线 y = j; sin 丄( ).
x
(A) 有且仅有水平渐近线
(B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线，也有铅直渐近线
(D) 既无水平渐近线，也无铅直渐近线
(2) 已知曲面z=4 — /— J/上点P处的切平面平行于平面2工+ 2夕+ z — 1 = 0,则点P的
坐标为( ).
((Al,) -1,2) (B)(- 1,1,2)
(0(1,1,2) (D)(- 1, —1,2)
(3) 设线性无关的函数％，夕 ‘夕 都是二阶非齐次线性微分方程y" + p=fG )
2 3
的特解,C1?C2为任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( ).
(AC) 1j/1 +C23/2
(E) G_yi + C2y2 — (Ci + C2 )^3
(OCqi + C2j/2 —(1 一Ci — C2 )j/3
(D)C1j/1 + C2y2 + (1 — Ci — C2 )y3(4) 设函数 /(j：) = 2 (0 j; V l),S(z)=另 b” sin n (— 00 V 工 V+ °°),其中
n = 1
b„ =2 j" /Xz )sin "兀 zdz (" = 1,2,…)，则3(----)=( ).
(A)_ 当 (B) -4- (C) 3 (D) 2
2 4 4 2
(5) 设A为4阶矩阵，且| A | = 0,则A中( ).
(A) 必有一列元素全为0
(B) 必有两列元素对应成比例
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)
(1)设z = f〈2工—y)+g(z,zy),其中二阶可导，g(“，p)具有二阶连续偏导数，求
djc dy
(2)设曲线积分f xy2 da: (p{x )ydy与路径无关9其中卩(工)具有连续的导数，且爭(0) =0,
J c
r(i,i)
计算 jcy2(\x 的值.
J (0,0)
(3)计算三重积分(jc +z)dv ,其中0是由z =Vx2 + y2与z =^1 — x2 — y2所围成的区域.
n四、（本题满分6分）
1 —I— y
将函数于（工）=arctan尸三 展开成工的幕级数.
1 —
X
五、（本题满分7分）
设于（2 ） = sin x —1
-Of（r）dn其中/（^）为连续函数，求/Q）.
0
六、（本题满分7分）
=------f \/1 — cos 2工dx在区间（0? + °°）内有且仅有两个不同的实根.
证明：方程In工=
e J o
七、（本题满分6分）
+ 工 =入，
■Z 1 3
问A为何值时，线性方程组丿4孙+厂+2g =入+2,有解，并求出解的一般形式.
1 + g 2 + 4z 3 = 2入 + 3八、(本题满分8分)
设入为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明:
(1) _为A】的特征值；
人
(2) 字为A的伴随矩阵A *的特征值.
人
九、(本题满分9分)
设半径为R的球面丫的球心在定球面^:2 +y2+z2 =a2(a > 0)上，问当R取何值时，球
面工位于定球面内部的那部分面积最大？
十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分)
(1) 已知随机事件A的概率P(A)=0. 5,随机事件B的概率P(E)=0. 6,以及条件概率
P(B | A) =0.8,则 P(A U B) =________ .
(2) 甲、乙两人独立对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,已知目标被击中，则它是
甲击中的概率为________.
(3) 若随机变量£在(1,6)上服从均匀分布，则方程工2+%十1=0有实根的概率为________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差为施的正态分布，而Y服从标准正
态分布，试求随机变量Z =2X — Y + 3的概率密度函数.
