文档内容
1991年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
⑴设r =1 + z2
t
=COS 9
(2)由方程心 +丿工2 +夕2 +/ =扼所确定的函数z=z (工，夕)在点(1,0, -1)处的全微分
dz = ・
⑶已知两条直线方程为0：三二=千=工二等丄2：王尹=+，则过L］且平行
1 U ——1 Z 1 1
于 l2的平面方程是________ .
2
(4)已知当工―0时，(l+a工巧丁一 1与cosh — 1是等价无穷小，则常数a
5 2 0 0
2 1 0 0
(5)设4阶矩阵A = ，则A的逆矩阵A-】=
0 0 1 -2
0 0 1 1
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
e_j2
(1)曲线y = 1 + 十 —八 ).
1 — e
(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线
(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2)若连续函数f(x)满足关系式_/(工)彳：”*)曲+ ln 2,则f(x)等于( ).
(A)eTn 2 (B)e2jln 2
(C)ex +ln 2 (D)e2x +ln 2
⑶已知级数工(一1)"一0” =2,»2”t =5,则级数工a”等于( )•
n = l n = 1 n = 1
(A)3 (B)7 (08 (D)9(4)设D是平面JcOy上以(1 9 1) 9 (— 1 9 1) 9 (— 1 ? — 1)为顶点的二
角形区域,Di是D在第一象限的部分，则(攵》+cos x
D
sin Ay 等于( )・
(A)2 cos sin ydx dy (B)2jj xydx dy
jc
Di Di
(C)4jj(
jcy + cos x sin y) dr (D)0
Di
(5)设"阶矩阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E为n阶单位矩阵，则必有( ).
(A)ACB =E (B)CBA =E
(C)BAC=E (D)BCA =E
三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)
(1)求 lim (cos T.
z—o+
(2)设"是曲面2工2 + 3夕2 + / =6在点P( 1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u =
丿6工2+8声 在点p处沿方向"的方向导数.
Z
(3)求JJ(^2+j/2+z)dv,其中。是由曲线二绕z轴旋转一周而成的曲面与平面n=4
所围成的立体.四、（本题满分6分）
在过点0（0,0）和点A（兀，0）的曲线族夕=asin夂（<2>0）中，求一条曲线L ,使沿该曲线从
O到A的曲线积分［（1 + J/3） da- + （2x + y）dj/的值最小.
五、（本题满分8分）
将函数于（工）=2+ |h |（—1 £工£ 1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数
Y —的和.
九
n = 1
六、（本题满分7分）
设函数于（工）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且3［：于（工）dr =于（0）,证明：在（0,1）内存
J T
在一点C,使得=0.
七、（本题满分8分）
设 a】=（1,0,2,3） ,a2 =（1,1,3,5）,a 3 =（1, — 1 ,a +2,1） ,a4 =（1,2,4,a + 8）及
P =（1,1』+ 3,5）.
（1） a ,b为何值时,0不可由a】 ‘a?皿3 5 线性表示？
（2） a ,b为何值时,0可由a】,a2 ,a3 »a4唯一线性表示？并写出该表达式.八、（本题满分6分）
设A为"阶正定矩阵,E为"阶单位矩阵，证明：|A+E|> 1.
九、（本题满分8分）
在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P（x,y ）处的曲率等于此曲线在该点的法线
段PQ长度的倒数（Q是法线与工轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与工轴平行.
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）
（1） 设随机变量X服从均值为2、方差为/的正态分布，且P{20）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该
区域的面积成正比，则原点与该点的连线与工轴的夹角小于手的概率为
4 -------------
十一、（本题满分6分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
. 、工 >0,夕>0,
心八1。， 其他，
求随机变量Z =X + 2Y的分布函数.
