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2014年数学（一）真题解析
一、选择题
(1)【答案】(C).
【解】对y + sin —,
x
由 lim — = lim (1 + —sin —) = 1, lim (3/ — x) = limsin — = 0
得曲线y =x + sin —有斜渐近线y =x，应选（C）.
x
（2）【答案】（D）.
【解】 方法一 令 = /(j?) —g(j?) = /(a-) —/(0)(l —j?) —/(l)jr
且爭"（h ） = f "〈工）,
当f"〈工）$ 0时，申"（z ） = f"（工）$0,曲线y =（p （工）为凹函数,
因为卩（0）=0,甲（1）=0,所以当z G [0,1]"时，卩（z） W0,
即7"（工）£ g （工），应选（D）.
方法二 如图所示，当f"（工）A 0时,y =/（jc ）为凹函数，
因为y=gQ）为连接A（0,/（0））与B（l,/（1））的直线，
所以/（攵）M g （工），应选（D）.
方法点评：本题考查函数大小比较.
利用凹凸性证明不等式是不等式证明的重要方法，设函数/（^）在[a,b]上二阶可导，且
/"（•r）$0（W0）,若 f （a） =/（6） =0,则当工 G \_a ,b~\ 时，/'（工）=0（$0）.
（3）【答案】（D）.
A = rcos 9 ,
【解】 令 .
b = r sin 9 ,
]
则0
sin 6 + cos 0
O2 = ^(r ,(9) | 守 ,
则]j、~ = JZ d^JroU，+，nS/(rcos 0 ,rsin (9)rdr H-Jn /(rcos 9 ,rsin (9)rdr,
应选(D).
(4)【答案】(A).
【解】 令 F(a,b) = [ (jr — a cos x — bsin x )2 dj?
(jc2 +a2cos2jr + 62sin2a： — 2ax cos x — 2bg sin x +2absin x cos jc )dz
=2 (o'2 + a2cos2jc + 62sin2jr — 2bx sin 工)d_z
J o_A 3
3 71 + 2a2 cos2jc dx + 21)1 sin2 jc dr — 4b jc si
0 0 J 0
_A 3 + 4/ 2 cos2 j; dj? + 462 rf si . n 2 x dj? 一 4b •— 7T sin x dx
3兀 0 'o 2 - o
2
=—7t 3 + 兀az + id, 一 4k6 ,
3
F： = 2iza = 0 9
由 . 得 a = 0 9 b = 2 9
Fb = 2tcZ? 一 4tu = 0
A =F： 2tt , B = F鴛=0, C =F；b = 2 兀，
由 AC-B2 =4兀？ > 0且 A >0 得 a = 0 ,b =2时，F(a,b)取最小值，故5 = 0,山=2,
应选(A).
(5)【答案】(B).
0 a b 0
a 0 1) a 0 h
a 0 0 b
【解】 =——a 0 d 0 0 c 0
0 d 0
c 0 d c 0 d
0 0 d
=一 ad {ad 一 be ) + be {ad 一 be )
=一a1 d.2 + 2a bed 一 b2 c2 = 一(ad — be)2 ,
应选(E).
(6)【答案】(A).
【解】 若线性无关,
I1 0
由(a】+ Z?a3 ,a2 + /a3) = (a】,a2 -a3) 0 1
為秩相等，因为
因为(«! .a2 ,a3)可逆9所以a} 十ba 3, a 2 + /a 3的秩与矩阵0
1 0\ 1 °\
0 1两列不成比例，所以 r 0 1=2,故 a ] + ba3 皿 2 +心 3 线性无关.
k I '
k
反之，若a】 +kaA,ai +加 线性无关,a】,a2 .«3不一定线性无关，
3
如a{ ,a2线性无关,a 3 =0.显然a( + ka3, a 2 + /a：j 线性无关，但a { ,a,,a,线性相关,
应选(A).
(7) 【答案】(E).
【解】 由F(B) =0. 5得P(巨)=0.5,
由 A 相互独立及减法公式得 P(A -B) =P(AB) =P(A)P(B) =0. 5P(A) =0. 3,
则 P(A) =0. 6,从而 F(A) =0. 4,
于是 P(B - A) -P(AB) =P(A)P(B) =0. 4 X 0. 5 =0. 2,应选(E).
(8) 【答案】(D).
1 1
f+°°
【解】£(¥,) = ^：/1(j；)+/2(^)]d3；=y[E(X1)+E(X2)],E(Y2) =*[E(X1)+E(X2)],显然 E(YQ =E(Y2).
i r+°° i
E(Y!)=- y2LfAy)+f2(y)ldy =-[E(Xh + ，
Z J —8 Z
1 1 1 1
D(Y1)^j[E(XD+E(Xl)]--[E(X1)T ~-[E(X2)T --ECXJECX,)
= ^D(Xi)+^0(X2)+*|：E(XD +E(X；)]-*E(Xi)E(X2),
-jDCXJ + jD(X2) +*E(Xi -X2)2,
D(y2) = jEDCXj) +D(X2)J,显然 DCYJ > D(Y2),应选(D).
二、填空题
(9)【答案】— y — z — 1 = 0.
【解】 F =jj2 (1 — sin y ) + j/2 (1 — sin x ) — z ,
n = (2h (1 — sin y) — j/2 cos ,2^ (1 — sin 工)一工'cos y , — 1),
在点(1 9 0 9 1 )处的法向量为II = (2 9 — 1，一 1)9切平面为
7T ： 2(.z 一 1) 一 y 一 (n 一 1) =0,1 卩 2工—y 一 z — 1=0.
(10)【答案】1.
【解】 由 /'‘(工)=2(工一1)口 G [0,2]得/ (工)=(工一1)2 + C9J： G [0,2],
因为 /(0) = 0,所以 C = — 1,故/'(7 )=力2 — 2鼻 M G [0,2]，
/(7)=/(-1)=-/(1)=1.
(11)【答案】工尹+】.
【解】xyf + 3/ (In 工—\ny ) =0 化为岁 + —In — = 0 ,
djr x y
令“ =2,则“十工典—“in " =0,变量分离得-石…血_,、=主
x ax 况(Inzz 一 1) x
积分得 ln(ln w — 1) = In jc + In C，艮卩 In u = Cx + 1,
原方程通解为 y = x eCj +1，由 j/ (1) = e3 得 C = 2 ,故 3/ =xex+x.
(12)【答案】Tt.
Lz = cos t,
【解】 方法一 令5j/ = sin ,(起点t = 0 9终点t = 2tt),则
〔n = — sin 19
2n f n
6.x + y dz = sinLck + sin t (— cos t)dt = sin2zdz + sin t (— cos £)df
L 0 J —7T
=2 sin2 tdt = 4 2 sin2 tdt =n
J 0
J 0
方法二 设截口面上侧为工，则
n =(0,1,1) ,cos a = 0 ,cos =丄,cos 7 =丄，由斯托克斯公式得
V2 V20 1 1
3
do- + 3/ dz = — 11
3x
L
0
而 dS = a/1 + z^.2+ z'y djr dj/ =麗d_z djy ,
所以djr + j/dz =丄『dS = 『dx dj/ = k.
L 7
(13)[答案】[—2,2].
/I 0
【解】A= 0 -1 2 ,\A \ =a2 — 4,
'a 2 0丿
因为A的负惯性指数为1,所以|A|<0.
由 |A|<0 得一2 o,故X = \为函数y = /(^)极小值点9极小值为y = —2.
y = —2 cLz 9
（17）【解】
3 j：
azz
—= e" cos y • ff e2j cos y • ff，, —e工 cos y ■ /' + e2r sin2 y ■/〃 9
3x 3y2
带z I 32 z _ 2工胃
=e f，
dx oy
a2 Z d2z
令况=e" cos y 9 由-_7 ------7 = ( 4z + eT cos y ) e2'J 得
3jc dy'
f"2 =4/(") +”，或 y〃(")—V(“) 9
U
解得/(“)=Ge"" +C2J" — 土"，
[G +c2 =0,
由 /(o)= 0,yz(0)= 0 得丿 G=_ C=
1 解得 寺 命,
I— 2 C i + 2 C 2
故 f(u) = 7-(e2u — e~2u)----u.
Io 4
方法点评：本题考查偏导数与二阶常系数非齐次线性微分方程.
偏导数与微分方程结合问题是一种综合和重要的题型，首先按题目要求计算出相应的偏
导数，根据给定的等量关系式将偏导数代入等式中，整理得微分方程，再根据微分方程的类型
对微分方程求解.
（18）【解】 方法一 令X0：z=l（^2+j/2 < 1）,取下侧，其中X与/围成的几何体为0,
由高斯公式得
@ （工一1）3dj^dz + （j/ — 1）3dzda;十（z — 1）djr Ay = —Jjj"[3（工 一 1 ）2 + 3（.y — 1 ）2 + l]dv
n
由三重积分的对称性与奇偶性性质得]J_zch=0, ]]JydQ=0,
n n
从而 /=—』[3（于+夕2）— 6工—6j/ + 7]dp=—JJ[3（工彳+夕?）+ 7]血
n nodZ f [3(jc 2 + J/') + 7]du = — [ dz [ de]'臥
(3 厂3 +7r)dr
J o J o0 J o<
T
3 2丄
+7
7
Z dz = — 2兀 T + I =一 4开 9
o
由于II x 一 l)3dj/dz + (y 一 1)3 dzdjr + (z — Ddx dy =jj z 一 1) djr dj/ = 0 ,
故/ =jj (jc — 1 )3dj/dz + (3/ — l)3dNcLr + (z — 1)djr dj/ = —4兀・
2
方法二 由z — x2 + y2得字=2z,字=2》，曲面的法向量为"=(—2z, — 2y,l),
dx dy
2oc _ 2y _______1
cos a = 9 cos ,cos 7
\/1 + 2 + 4j/2 %/1 + 4jc2 + 4y2 丿1 + 4工 2 + 4j/2
cos a
dy dz = cos a dS cos y dS = — 2工 dr djy ,
cos y
cos y dS = — 2j/djr dy 9
令 D = {(z，jy) | x2 y2 < 1},则
x — 1)3 (— 2jc ) + (，一 1 )3 (— 2J/) + (n — 1 )]cLz dy
2
Jj [(j? 一 1 )3 (— 2jc ) + (y — l)3 (— 2y ) + (jc 2 + y2 — l)]dzdy
D
:jj(- 2工4 - 2j/4 - 5jc2 - 5j/2 — 1)djr dj/
D
f 2ndO f (2r°cos4(9 + 2r5sin°0 + 5厂3 + r)dr
J o
0
cos"0 + £sii?0 + # + y-)
do
8 r 5tt 外
------1 4----------7T = 一 47T.
3 2
(19)【证明】(I )由 cos an — an = cos b n 得 a ” = cos an 一 cos b„ ,
因为5〉0,所以s cos a —cos bn〉()9 故 OVa” V»9
又因为工X 收敛，所以»”收敛，故lima” =0.
n = l n = l "f°°
(Il )方法一由 an = cos an 一 cos bn 得
(a„ + bn \ . (a„ ~b„\
2sm --------- sm --------- 2 2
an cos an 一 cos bn \ 2 / \ 2 / o n — a n
b„ b„ bn 2b”
7 2 _ 2 1 8 8 » 2 __ 2
因为o w七严 且工X收敛,所以工七产收敛，
力。"
厶b n / n = \ n = \
由正项级数比较审敛法得工 护收敛.
n = 1 ° na
...b„ a„ 1 — cos b„ 5
方法二 lim — = lim — = lim--------------
“foo b” ”fg b n ”f°° b n 1 — cos bn
1 [• 5 1 [. 5 1
刃黑 l-cos-6； = H 匹 s+l —coss = 1
且级数工久收敛，根据正项级数比较审敛法得级数Y 严收敛.
n = l n = 1 n
方法点评：本题考查正项级数的比较审敛法.
在判断正项级数收敛时，若存在另一个正项级数且知其敛散性，一般使用比较审敛法.
I1 一2 3 —4 \ /I — 2 3 _4\ /I -2 3 -4
(20)[解】(I)A= 0 1 -1 1 -> 0 1 - 1 1—0 1 一 1 1
'1 2 —3， 'o 4 - 3 1 / 'o 0
0 1 -3
I1 -2 0 0 0 1
0
1 0 10-2
♦
0 1 0 1-3
则方程组AX-0的一个基础解系为§ =（—1,2,3,1）1
（n）方法一
I1 -2 3 -4 1 0 °\ I1 -2 3 -4 1 0 0
由(A ： E)= 0 1 -1 1 0 1 0 ~» 0 ] -1 1 0 1 0
1'
4 2 0 -3 0 0 '0 4 -3 1 -1 0 1
-2 3 -4 : 1 0 °〕 I1 -2 0 5 : 4 12 -3
1 -1 1 0 1 () - 0 1 0 -2^-1 -3 1
1丿
0 1 -3 i -1 -4 '0 0 1 -3 i -1 -4 1
0 0 1 ；2 6 T、
1 0 -2 -1 -3 1
•
0 1 -3 1 -1 -4 1
2 — k [ 6 — ^2 -^3-1
2局一 1 2k 2 — 3 2孔+ 1
得3 = （紅，紅，力为任意常数）.
3k 1 — 1 3紅一4 3k 3 + 1
ki k2
方法二 令 B =(X] ,X2,X3),
则 AB —E 等价于 AX】=ex , AX2 =e?, AX3 = e3 ,
方程组AX】=e】的通解为
（铝为任意常数），方程组AX2
=e2
的通解为
-r '6 ' —紅+ 6
2 -3 2k 2 — 3
+ = Ck2为任意常数），
3 -4 3紅一 4
.1 、0 , 、
k2 ,
方程组AXs =e3 的通解为
g为任意常数），
一為 1 + 2
2b、— 1
故B = 为任意常数）.
3k! — 1
方法三
JC ! — 2x 4 + 7 — 4工 10 = 1，
J7 2 — 5 + 3工 8 — 4工 11 = 0 9
JC 3 — 2乂 6 + 3工 9 — 4无 12 = 0 9
工1 工2 力3 + 0,
X 4 ——3C. 7 JC io =
工4 力5 工6
令B = 9由AB = E得』x 5 —工8 +工11 = 1,
S ^8 工9
久6 —力9 +2 12 = 0,
工12
+ 2工 4 --3jcio =0,
^2 + 2工 5 - -3x I】 =0,
玄3 + 2工6 ~- 12 = 1,
解得一《i+2 — 怡2+6 -k3-l'
2k.、— 1 2k 2 — 3 2孔+ 1
故B = (紀，紅也3为任意常数).
3k 1 — 1 3怡 2 — 4
b\ k2
方法点评：求未知矩阵一般有如下三种情形：
(1) 矩阵方程经过化简得AX =B或XA =B,其中A可逆，则X =A XB或X =BA 1 ；
(2) 矩阵方程经过化简得AX=B,其中A不可逆或A不是方阵，则一般将AX=B拆成几
个方程组，求每个方程组的通解，将通解合成矩阵X；
(3) 矩阵对角化法
设A的特征值为入1,入2，…，入”，其对应的线性无关的特征向量为a〕‘a?,…，a”，
右 0 … 0 '
0 A 2 …0
令 P — (a x ,a 2 ,••• ,a,,) ,P 可逆，且 P AP =. . .,
0 0
A] 0 ・・・ 0
0入2
・・♦
0
于是A =P P \
:
0 0 …
(21)【证明】
1 1 … 1 '0 … 0 1
1 1 … 1 0 … 0 2
令A = 9 B =
: : : :
1 1 … 1 0 … 0 n
由丨入E—A | = 0得A的特征值为入］=•••=入”_i=0,入”=”，
由|入| = 0得B的特征值为入］=•••=入”_i=0,入
因为A
t=A,
所以A可对角化；
因为r(OE-B) =r(B) =1,所以B可对角化，
因为特征值相同且都可对角化，所以A〜B.
方法点评：本题考查矩阵相似.
设为两个“阶矩阵，若A〜B,则的特征值相同；反之，若A,B的特征值相同，
两矩阵不一定相似，即特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件.
注意如下结论：
(1) 若特征值相同，且A,B都可相似对角化，则A〜於；
(2) 若A』特征值相同，但A ,3中一个可相似对角化，另一个不可相似对角化，则两矩阵
一定不相似.
(22)【解】(I )Fy(y) =P{Y^y}
= P{X =1}P{Y y | X =1} +P{X=2}P{YWy I X =2}= jP{Y^y \ X=l}+^P{Y^y \ X=2},
当 _yV0 时,Fy(y) = 0；
0£_y V 1 时，Fy(y)=* ・2丰丄.2 =型.
当
• 了 7 * T _ 4 ；
2. =2十丄.
当 lWjy <2 时，Fy(y) =— + — • ¥
4 2'
当 y > 2 时，Fy（）） 1,
0, 夕V0,
0 < 3； < 1,
故Y的分布函数为Fy（y）=V
1 J V2,
1, 夕$ 2.
2
I 0 < y < 1,
（n ）几（夕）=乂丄
1 1 <夕 < 2,
0, 其他.
‘1 3工, + '2 T
E(Y)= ——dj- —d_z g
o 4 i 4 飞十 =区
2工
工2
-r-e •T > 0 ,
（23）【解】（I ）总体X的密度函数为=< o
0,
X2
*-|-00 °。+°° X尹 2 T *4-°°
E(X)= xf {jc )cLr = 2 2 Ze_z
0 2#
\!兀0
=4^
2
E(X2)= +°° 专e一方dz =e X 2 =0『(2) =9.
0 u 0
（11 ）设工
i 2
， •，工”为样本x1,x2,-,x„的观察值，似然函数为
L（0）=y（,；0）/•（工2；0"丁（工”；。）=< 亦 © ，工],工2,…，工”'，
k 其他.
当E ,工 ，…口"〉0时9
1 2
, 占 、 ・・・+云
In L（0） = n In 2 + 工 In x z 一 nln 9---- • - z -- [ - + -- « -- z -- ： -- + --------------,
/ = i &
由吕lnL（0）=_# +，十孔打…十= 0得0的最大似然估计值为0” =丄工云，
e e n Z=1
的
故0的最大似然估计量为0=丄Sxt
« ,=1(ID)因为{X：}是独立同分布的随机变量序列，且E(Xj) =E(Xb =0,
所以根据辛钦大数定律依概率收敛于E(xb =e,
",=1
故存在a —9，使得对任意的£ > 0,有limP { \ 9 — a丨$ € } = 0.
”f 8
