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2018年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】 方法一 对/'（工）=cos / H | ,
心）_ /（0） =讪 cos/T 订- 1 = _£恤 Ll!不存在，即 /（^）=cos^TT 在z =0
X X Z x
0 Lo lo
处不可导，应选（D）.
方法二
当/（jc） = |工| sin | |时,f（jr）-/（0）〜工2,/（工）在工=0处可导且导数为0,不选（A）；
3
~2
当/（X）= |工I sin/工I时，/（^） -/（0）〜I I '，/'（工）在工=0处可导且导数为0,不
选（E）；
当/（x）-cos| JC I时〜一*攵2,于（工）在工=0处可导且导数为0,不选（C）,
应选（D）.
⑵【答案】（E）.
【解】 设切点为（工0，九，6）,则
( 之0 =无2 0 十I 夕0 2 ，
y (2jc 0 9 2y0 — 1) • (1 — 1 ?0) = 0 9
|(2Ho,2j/o，—1) •(工
0—1,
夕
0,20)=0,
[•To =0, 卜0 = 1 ,
解之得屮y o = 0，或屮y o = 1,
〔J =0, 〔J = 2,
故所求切平面为z = 0或2x +2》—z = 2.应选(E).
（3）【答案】（B）.
2n + 3
【解】
(2/? + 1) !
n = 0
=cos 1 + 2sin 1,
应选（B）.
（4）【答案】（C）.
(1+工) 2 2工 \
【解】 1 +川丿
1 +工
2
当—守冬工w守时,i + ycosx > i >
[(l+T^TT)^ >〕[1山 >[\ 即 K >M>N.应选(C).
e
~~2 J ~~2 J ~~2（5）【答案】（A）.
【解】方法一
I1 1 0\ /I 1 /I 0 -1\
令M = 0 1 】 ,A = 0 ] B = 0 1 1
'o I1 1 / 'o
0 0 0 1
/I 1 一1\ I1 0 -1
C = 0 1 0 ,D = 0 1 0
'o 0 1丿 'o
0 1
显然矩阵A,B,C,D的特征值都是4 =入2 =入 3 = 1 9
-1 0 \ /O -1
0 - 1 ,E - A = 0 0
'o
0 0 ' '0 0
,-cJ： -1 /0 0 1
0 0 ,E -D = 0 0 0
'o 0 o' 'o 0 0
因为 r(E -M) =r(E -A) =2,所以应选(A).
方法二
z1 —1 °\ z1 1 °\
1 _
取p = 0 1 0 ,则P (1 1 0 ,
J 'o 1'
'o 0 0
I1 1 1 0\ /! 1 °\ I1 ；相似，应选（A）.
因为pT 0 1 1 P = 0 1 1 ，所以 （， 1 与0
'o 0 1 1 0 1> '0 0 J '0 0 1 '
（6）【答案】 (A).
【解】 (A ,AB) = A(E,B) 9
显然r（A ,AB) =r[_A(E,B )] W 厂(A ) 9
又 r(A,AB) > r(A),
于是厂(A ,AB) = r (A),应选(A).
（7）【答案】（A）.
【解】f / (jr ) da- = f / ( jc ) djr = £[ /Udz — 0. 3 ,
Jo J 1 2 J 0
PCX V0) = I /(j? )djr = I f(j2)dx 一 I / ( jc ) djr = 0. 5 一 0. 3 = 0. 2 ,应选(A).
J —OO J —OO J 0
⑻【答案】(D).
【解】 若/已知，则假设的接受域：\u\ 0时,/z(jr ) = jt eJ > 0,函数/(x )在[0, + °°)上单调增加，
所以a =0是方程ae° = eu — 1在[0, +*)上的唯一解，故”l 一 i►m8 g =0.
(20)【解】(I ) / (Jf 1 ,jC 2 ,JC 3)=(X ! — JC 2 + 3 )2 + (攵2 +鼻3)' + (工 1 aX =0 的充分必
卜1 一工2 +攵3 =0,
要条件是(攵2 +工3 =0,
对齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得
[x 1 + ax 3 = 0.
Z1 -1 (1 -1 1 \,/I -1 1 \
P °
A = 0 1 1 -» 0 1 I 1 1，
J 'o
4 0 、0 1 a -1' 0 a — 2
a 2 日寸 9 f (工]9乂 2 9*2?3)==0只有零解X =(JC ! ,JC 2 ，攵3厂==(0,0,0)T,
1 0 2
<2=2 时，1 1 I ,
'o 0 Q)'
f(JT ! ,乂2，乂3)= 0 有非零解 x =(JC !，工2,攵 3)T =k(— 2 , — 1,1)T,其中 k # 0.
卩/I -1 1\ /^1\
(Il)aH2 时，令 3^2 = 0 1 1 br2 ，
J 1 0 a '工
31 -1 1 1 -1 1 Z1 -1
0 1 1 = 0 1 1 =a —2工0,则矩阵0 1 1可逆,
1 0 a 0 0 a 一 2 4 0 a
所以f{xx ,X2 ,JC3) 的规范形为/(歹1，»2，夕 3)= 式+工+工.
Q = 2 时 9
f(X
!，工 29 乂 3)=(壬1 —工2 +乂 3尸 + (无 2 +工3)' +(力1 + <2 JC 3)?
=2jc 1 + 2x 2 + 6jc 3 — 2工 1 工 2 + 6n
3 3
=2(工］一无：+工彳)？ + —JC \ + —x \ + 3jC2^3
3
=2(工1 — x2 + 工3)2 +》(工2 + 3)2
所以/(, 口
2
宀)的规范形为f(yi ^y2 ^3)=y\ + yl-
(21)【解】(I )显然厂(A) =2,因为初等变换不改变矩阵的秩，所以厂(〃)=2,
而门：； 2 \ /I a 2\ /I a
1 -* o 1 I —。1
r 'o a +13， '0 0
1 1 2 _ a
I1 2 2 \ / 1 2 2\
(n)a = 1 3 0 .B = 0 1
'2 -2/ 1'
7 1 1
令 P = (X| ,x2,x3),
I1 2 2 1 2 2\ I1 0 6 3 4 4 \
1 k
由(A *)=1 3 0 0 1 » 0 1 -2 -1 -1 _ 1得
I。
7 -2 -1 1 0 0 0 0 0 '
—6k 2 + 4
2& — 1
2
I — 6^! + 3 -6k2 +4 一6怂+4\
则所求的可逆矩阵为P= 2R—1 2紅一1 2孔一1 (紅，紇，孔为任意常数且
k2 k3
k2 H 怂).
(22)【解】(I )因为E(X) =O,E(X2) =1,E(Y)=入，以及X ,Y相互独立，故
Cov(X,Z)= Cov(X,XY)= E(X?Y)—E(X)E(XY)= E(X2 )E(Y)-E2 (X)E(Y) = A.
(H )由Y服从参数为入的泊松分布"即P (V =j ) = e A (j =0,1,2 , •••),于是，Z的所
J !
有可能取值为全体整数.故Z的概率分布为
1)当怡为正整数时，有
P(Z=b)=P(XY = b)=P(X=l,Y=b)=P(X=l)P(y=b)1 z k
=—• (k =1,2,3,…)，
z k !
2)当怡为负整数时，有
P(Z =k) =P(XY = b) = P(X = —1,Y = T) =P(X = — l)P(Y = T)
1 } ~k
= C •/ 7、■ e (k = 1 9 2 , 3，・・・)9
6 (— k ) !
3)当怡为0时，有
P(Z =0) =P(XY = 0) =P(X = —l,Y = 0) +P(X =l)P(Y = 0) =P(X = —l,Y = 0)
1 -A I 1 -A _ -A
=7e +7e
[i P f
k = 1，2 9 3 9 …
7TFe 5
故 p(z=e)=丿「，
b = 0 9
i 厂 f
k = — 1, — 2，一 3,…
〔2 (―厂！
(23)【解】(I)似然函数为
丄「牘Z
n
L (工1 9工2，…9工 “)=11心 (J) —oo < J? i <+ °o,z = 1,2,•••
i = 1 2”c"
于是 In L = 一 n In 2 — 7? In cr 一 -Sl-.-l
° 1 = 1
人 din L 1
令 I 2 丨広i I = 0 '得C的最大似然估计量为c =—I Xi | .
n =
d(7 c C 2=1 "
(H)EG)=丄£e(|x, |)=e(
M
+oo
I 工 I y
1
-e
丨工
°
丨
djr = —
x
e
— —
° cLr
n z = i —8 厶O 0 CT
f+°° + °+°° _王
=— jc de a =一 x e a e a =o.
J o 0 o
dG) =1£d( |x, |) D(|X|) _E[|X|2-E2(|X|)]
兀 1 n n
i =
京 1 _ 1j_L dj -^ ) 4 ( r X— 丁 2 e _7 x ai x 一 a2
n a
T»+<00
x2 de ° —(72
n \J o<
T 2jc e ° djr -一 CT2 )=—(2(72 一 CT2 )=—
n 'J < / n n
