2018年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】 方法一 对/'（工）=cos / H | ,
心）_ /（0） =讪 cos/T 订- 1 = _£恤 Ll!不存在，即 /（^）=cos^TT 在z =0
X X Z x
0 Lo lo
处不可导，应选（D）.
方法二
当/（jc） = |工| sin | |时,f（jr）-/（0）〜工2,/（工）在工=0处可导且导数为0,不选（A）；
3
~2
当/（X）= |工I sin/工I时，/（^） -/（0）〜I I '，/'（工）在工=0处可导且导数为0,不
选（E）；
当/（x）-cos| JC I时〜一*攵2,于（工）在工=0处可导且导数为0,不选（C）,
应选（D）.
⑵【答案】（E）.
【解】 设切点为（工0，九，6）,则
( 之0 =无2 0 十I 夕0 2 ，
y (2jc 0 9 2y0 — 1) • (1 — 1 ?0) = 0 9
|(2Ho,2j/o，—1) •(工
0—1,
夕
0,20)=0,
[•To =0, 卜0 = 1 ,
解之得屮y o = 0，或屮y o = 1,
〔J =0, 〔J = 2,
故所求切平面为z = 0或2x +2》—z = 2.应选(E).
（3）【答案】（B）.
2n + 3
【解】
(2/? + 1) !
n = 0
=cos 1 + 2sin 1,
应选（B）.
（4）【答案】（C）.
(1+工) 2 2工 \
【解】 1 +川丿
1 +工
2
当—守冬工w守时,i + ycosx > i >
[(l+T^TT)^ >〕[1山 >[\ 即 K >M>N.应选(C).
e
~~2 J ~~2 J ~~2（5）【答案】（A）.
【解】方法一
I1 1 0\ /I 1 /I 0 -1\
令M = 0 1 】 ,A = 0 ] B = 0 1 1
'o I1 1 / 'o
0 0 0 1
/I 1 一1\ I1 0 -1
C = 0 1 0 ,D = 0 1 0
'o 0 1丿 'o
0 1
显然矩阵A,B,C,D的特征值都是4 =入2 =入 3 = 1 9
-1 0 \ /O -1
0 - 1 ,E - A = 0 0
'o
0 0 ' '0 0
,-cJ： -1 /0 0 1
0 0 ,E -D = 0 0 0
'o 0 o' 'o 0 0
因为 r(E -M) =r(E -A) =2,所以应选(A).
方法二
z1 —1 °\ z1 1 °\
1 _
取p = 0 1 0 ,则P (1 1 0 ,
J 'o 1'
'o 0 0
I1 1 1 0\ /! 1 °\ I1 ；相似，应选（A）.
因为pT 0 1 1 P = 0 1 1 ，所以 （， 1 与0
'o 0 1 1 0 1> '0 0 J '0 0 1 '
（6）【答案】 (A).
【解】 (A ,AB) = A(E,B) 9
显然r（A ,AB) =r[_A(E,B )] W 厂(A ) 9
又 r(A,AB) > r(A),
于是厂(A ,AB) = r (A),应选(A).
（7）【答案】（A）.
【解】f / (jr ) da- = f / ( jc ) djr = £[ /Udz — 0. 3 ,
Jo J 1 2 J 0
PCX V0) = I /(j? )djr = I f(j2)dx 一 I / ( jc ) djr = 0. 5 一 0. 3 = 0. 2 ,应选(A).
J —OO J —OO J 0
⑻【答案】(D).
【解】 若/已知，则假设的接受域：\u\<ua，其中一为正态分布的斗（上）分位数.
7 7 2
若<7 2未知，则假设Ho的接受域：|z|<z„（7? — 1）,其中Z „ （ 72 — 1 ）为自由度是n — 1的
7 T
I分布的守ry （上）分位数.显然检验水平a变小，接受域都变大.应选（D）.二、填空题
(9)【答案】 一 2.
1 一 tan x —1) = lim t \ —2tan 攵 _ 2z
【解】 因为lim— lim-—
j-*o sin kx 1 + tan jc / lo sin kx 1 + tan x ■r-*o kx 1 + tan jc ~k
]
1 — tan x _2_
故lim =e k =e，艮卩怡=—2.
H-*0 1 + tan x
(10)【答案】2(ln 2-1)・
【解】/(l) =(2-r)，|J = 1 = 21n 2,
[xff\x )dj? = [ x (jc ) = jr/z (j? ) I — [ ff (x )d:r = /z (1) — / (1) + /(0)
J J I o Jo
0 0
=21n 2 — 2 = 2(ln 2 — 1).
(11)[答案】i_k.
i j k
a a
=(yi — zj 一 jck ) |
【解】rot F(1,1,0)= =i — k
齐
1,1,0)
—yz zx
(1,1,0)
(12)【答案】一寻
【解】 (工》+ yz 十 hz )ds = [(z+夕+z)2 — (j: 2 y2 + z2)Ud.s'
(13) 【答案】—1.
【解】5,02是A的线性无关的特征向量，则a}.a2是的线性无关的特征向量.
由A2 (a t +a2)=5 + a2,得ai+a?也为 < 的特征向量，因此"有二重特征值入=1.
因为A有两个不同的特征值，所以A的特征值为右=—1,入2 =1，于是|A | = -1.
(14) L答案】
4
【解】由 BC=0,得 P(BC) = 0,因为 ABC CZ BC,所以 P(ABC) =0.
P^ACCAB U C)] PiCABC) U (AC)] P(AC)
P(AC | AB U C)=
P(AE U C) PCAB U C) PCAB U C)
和©
P(A)P(C) _1
P(A)P(B) + P(C) — P(ABC) |x| + P(C)-0 I
解得p(c)=4
三、解答题
(15)【解】 j e2a arctan Jez — 1 djr
丄 -^-e2 r arctan Jez — 1----
arctan J er — 1 de2r e2r darctan』€ 一 ]
= _2
2jc -j i r
=-^-e2j arctan yer — 1----
—-------dx = — e2 r arctan Je'r — 1----eJ d J— 1
2 4. 艮 一 1 2 2 J] ______ ] ______ r ______
=—e2j arctan』€ 一 ]-- (e^ Ve—1 — J」€ — \ de")
] __________ i __________ 9 -
=—e2r arctan J € — ]----[er \/er — 1------(er — 1)2 ] + C
=-^-e2j arctan %/ er — 1----(e7 +2) J € — ] + C.
Z 6
(16)【解】 设铁丝分成的三段长分别是x ,y ,z ,则e+jz+n = 2 9且依次围成的圆、正方形与
正三角形三个图形的面积之和为
2 + (汀+毎)Y+召+符
2 /o'
2
构造拉格朗日函数：L(h ) = + —z2 +入(工+ y + z —2)
4兀 16 36
L： = - A = 0 9 2 k
Z7C 无0
兀 + 4 + 3"/3
匸=寻+入
0, 8
I
令』 L：=豊乂 + A =0, 得』y o 兀 + 4 + 3 ^/3 '此时/(工 0 ，夕 0，Zo) tt + 4 + 3 站
6^3
No
=j： + y + z — 2 0, 7t + 4 + 3
8 1
又当x+y + z= 2 ^xyz = 0时,/(jf ,y ,z)的最小值为/IO,
4 + 3始 4 + 373 / 4 + 3®
1
所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为f(a:0,y0,z0)=
7t + 4 + 3 ^[3
工=0,
(17)【解】 补曲面£：
37 +
拧=］取后侧，。为丫与5所围成的立体•利用高斯公式可得
x d^dz + (y3 + 2)dzdj? + z3 d.r dj/ 一 Lr d^dz + (3/3 + 2)dzdx + z3 djr dj/
工+工]
”(1 + 3丿$ + 3^2 )d:r dydz 一 0=^(1 + 3夕'+ 3^2 )djr dj/dz
Q Q
利用柱坐标变换y =厂cos 0 9之—rsin 9 = x得
(1 + 3y2 + 3于)djr dydz = f d0「dr f /一3/
(1 + 3r2 )rd:r
J o J o J I
0 0
Q
3 J\ 一 3厂2 (1 + 3r2 )rdr =牛[： (・)九1445tc
=2tc
3 J(
o
(18)【解】(I)当/(j? ) =x时，方程化为yf y =x，其通解为
y =e"J(C + j? djr ) = e_ r ( C j: ex 一 eJ ) = C e_J + jc 一 1.
-加 reJ°d7(^)d^ ,
(II )方程y/ y = f(^c)的通解为y=e C +
即夕=e C + j ez/(f )drj .得 y (工 + T) 一 y (z ) =e_' [(丁 一 1) C + e f (t )d/ — J e1 f (t) dz
若于(工)是周期为T的连续函数，则
1 C-t-r 1 rr i p + T
— e f (t) dt =节 e f Ct) dt —下 e f(Z ) dz
e J o eJo e J t
= ^fTe,f(i)d^ + -^fJ eu+Tf(u + T)du
J o e J o
Tef(u)du =占
e + e f(t)dt
e 0 o
c + t]Te'f(t)dt ,
e J <0
9y (jc + T) — y(j?) = C)9即方程存在唯一的以T
为周期的解.
(19)【证明】因为xx 工o, 所以 L =D
工
1
由微分中值定理，存在乂(")，使得叮十即—因此05 Vs
工卄1 _ j
假设 0 <工”+1 <工”，则 e'”+2 =—— =eV0 < 7] <s+Q,得 0 <工”+2 < 工”七.故
工”+1
&”｝是单调减少的数列，且有下界，从而&”｝收敛.
设limj? n =a 9在等式x n e',,+l = e 一 1两边取极限9得 q e" = ea — 1，显然a =0为其解.
”f 8
又令心)=2 —于+1,则=xe .
当x > 0时,/z(jr ) = jt eJ > 0,函数/(x )在[0, + °°)上单调增加，
所以a =0是方程ae° = eu — 1在[0, +*)上的唯一解，故”l 一 i►m8 g =0.
(20)【解】(I ) / (Jf 1 ,jC 2 ,JC 3)=(X ! — JC 2 + 3 )2 + (攵2 +鼻3)' + (工 1 aX =0 的充分必
卜1 一工2 +攵3 =0,
要条件是(攵2 +工3 =0,
对齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得
[x 1 + ax 3 = 0.
Z1 -1 (1 -1 1 \,/I -1 1 \
P °
A = 0 1 1 -» 0 1 I 1 1，
J 'o
4 0 、0 1 a -1' 0 a — 2
a 2 日寸 9 f (工]9乂 2 9*2?3)==0只有零解X =(JC ! ,JC 2 ，攵3厂==(0,0,0)T,
1 0 2
<2=2 时，1 1 I ,
'o 0 Q)'
f(JT ! ,乂2，乂3)= 0 有非零解 x =(JC !，工2,攵 3)T =k(— 2 , — 1,1)T,其中 k # 0.
卩/I -1 1\ /^1\
(Il)aH2 时，令 3^2 = 0 1 1 br2 ，
J 1 0 a '工
31 -1 1 1 -1 1 Z1 -1
0 1 1 = 0 1 1 =a —2工0,则矩阵0 1 1可逆,
1 0 a 0 0 a 一 2 4 0 a
所以f{xx ,X2 ,JC3) 的规范形为/(歹1，»2，夕 3)= 式+工+工.
Q = 2 时 9
f(X
!，工 29 乂 3)=(壬1 —工2 +乂 3尸 + (无 2 +工3)' +(力1 + <2 JC 3)?
=2jc 1 + 2x 2 + 6jc 3 — 2工 1 工 2 + 6n
3 3
=2(工］一无：+工彳)？ + —JC \ + —x \ + 3jC2^3
3
=2(工1 — x2 + 工3)2 +》(工2 + 3)2
所以/(, 口
2
宀)的规范形为f(yi ^y2 ^3)=y\ + yl-
(21)【解】(I )显然厂(A) =2,因为初等变换不改变矩阵的秩，所以厂(〃)=2,
而门：； 2 \ /I a 2\ /I a
1 -* o 1 I —。1
r 'o a +13， '0 0
1 1 2 _ a
I1 2 2 \ / 1 2 2\
(n)a = 1 3 0 .B = 0 1
'2 -2/ 1'
7 1 1
令 P = (X| ,x2,x3),
I1 2 2 1 2 2\ I1 0 6 3 4 4 \
1 k
由(A *)=1 3 0 0 1 » 0 1 -2 -1 -1 _ 1得
I。
7 -2 -1 1 0 0 0 0 0 '
—6k 2 + 4
2& — 1
2
I — 6^! + 3 -6k2 +4 一6怂+4\
则所求的可逆矩阵为P= 2R—1 2紅一1 2孔一1 (紅，紇，孔为任意常数且
k2 k3
k2 H 怂).
(22)【解】(I )因为E(X) =O,E(X2) =1,E(Y)=入，以及X ,Y相互独立，故
Cov(X,Z)= Cov(X,XY)= E(X?Y)—E(X)E(XY)= E(X2 )E(Y)-E2 (X)E(Y) = A.
(H )由Y服从参数为入的泊松分布"即P (V =j ) = e A (j =0,1,2 , •••),于是，Z的所
J !
有可能取值为全体整数.故Z的概率分布为
1)当怡为正整数时，有
P(Z=b)=P(XY = b)=P(X=l,Y=b)=P(X=l)P(y=b)1 z k
=—• (k =1,2,3,…)，
z k !
2)当怡为负整数时，有
P(Z =k) =P(XY = b) = P(X = —1,Y = T) =P(X = — l)P(Y = T)
1 } ~k
= C •/ 7、■ e (k = 1 9 2 , 3，・・・)9
6 (— k ) !
3)当怡为0时，有
P(Z =0) =P(XY = 0) =P(X = —l,Y = 0) +P(X =l)P(Y = 0) =P(X = —l,Y = 0)
1 -A I 1 -A _ -A
=7e +7e
[i P f
k = 1，2 9 3 9 …
7TFe 5
故 p(z=e)=丿「，
b = 0 9
i 厂 f
k = — 1, — 2，一 3,…
〔2 (―厂！
(23)【解】(I)似然函数为
丄「牘Z
n
L (工1 9工2，…9工 “)=11心 (J) —oo < J? i <+ °o,z = 1,2,•••
i = 1 2”c"
于是 In L = 一 n In 2 — 7? In cr 一 -Sl-.-l
° 1 = 1
人 din L 1
令 I 2 丨広i I = 0 '得C的最大似然估计量为c =—I Xi | .
n =
d(7 c C 2=1 "
(H)EG)=丄£e(|x, |)=e(
M
+oo
I 工 I y
1
-e
丨工
°
丨
djr = —
x
e
— —
° cLr
n z = i —8 厶O 0 CT
f+°° + °+°° _王
=— jc de a =一 x e a e a =o.
J o 0 o
dG) =1£d( |x, |) D(|X|) _E[|X|2-E2(|X|)]
兀 1 n n
i =
京 1 _ 1j_L dj -^ ) 4 ( r X— 丁 2 e _7 x ai x 一 a2
n a
T»+<00
x2 de ° —(72
n \J o<
T 2jc e ° djr -一 CT2 )=—(2(72 一 CT2 )=—
n 'J < / n n
