(146)--基础综合测试卷（三卷合一）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

2026 年全国硕士研究生招生考试 基础摸底测试（高数、线代）（三卷合一） 一、选择题:1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是最符合题目要求的. 1.当 1 x  0 时， f ( x )  x  s i n a x 与g(x) x2ln(1bx)是等价无穷小量，则 1 1 （A）a1,b . （B）a1,b . 6 6 （C） a   1 , b   1 6 . （D） a   1 , b  1 6 . 2.函数 f ( x )  x s i  n x  3 x 的可去间断点的个数为 （A） 1 . （B） 2 . （C）3. （D）无穷多个. 3.使不等式  x 1 s i n t t d t  l n x 成立的 x 的范围是 （A） ( 0 , 1 )     . （B） 1, . （C） , . （D）(,).  2 2  4.（数二）若 f ( x ) 不变号，且曲线 y  f ( x ) 在点 (1 , 1 ) 上的曲率圆为 x 2  y 2  2 ，则函数 f ( x ) 在区间 (1 , 2 ) 内 （A）有极值点，无零点. （B）无极值点，有零点. （C）有极值点，有零点. （D）无极值点，无零点. （数一、三）设有两个数列  a n  ,  b n  ，若 ln i m  a n  0 ，则 （A）当  n  1 b n  收敛时， a b 收敛. （B）当 n n n1  n  1 b n  发散时， a b 发散. n n n1 （C）当  n  1 b n  收敛时， a2b2 收敛. （D）当 n n n1  n  1 b n  发散时， a2b2 发散. n n n1 5.设函数y  f(x)在区间[1,3]上的图形如图所示，则函数 2 F ( x )   x 0 f ( t ) d t 的图形为 （A）. （B）. （C）. （D）. 6.设函数z  f(x,y)的全微分为dz  xdx ydy，则点 ( 0 , 0 ) （A）不是 f ( x , y ) 的连续点. （B）不是 f ( x , y ) 的极值点. （C）是 f ( x , y ) 的极大值点. （D）是 f ( x , y ) 的极小值点. 7.如图，正方形  ( x , y ) | x  1 , y  1  被其 对角线划分为四个区域 D k ( k  1 , 2 , 3 , 4 ) ， I k  D k y c o s x d x d y ，则maxI  k 1k4 （A） I 1 . （B）I . 2 （C） I 3 . （D） I 4 . 2 2 2 4y 8.设函数 f(x,y)连续，则 dx f(x,y)dy dy f(x,y)dx  1 x 1 y2 4x 2 4x （A） dx f(x,y)dy. （B） dx f(x,y)dy. 1 1 1 x 2 4y （C） dy f(x,y)dx. （D） 1 1 3  2 1 d y  2 y f ( x , y ) d x . 9.设 A , B 均为 2 阶矩阵， A * , B * 分别为A,B的伴随矩阵，若 A  2 , B  3 ，则分块矩阵  O B A O  的伴随矩阵为 （A）  2 O A * 3 B O *  . （B）  3 O A * 2 B O *  .  O 3A*  O 2A* （C） . （D） . 2B* O  3B* O  10.（数二、三）设 A , P 均为 3 阶矩阵， P T 为 P 的转置矩阵，且 P T A P   1 0 0 0 1 0 0 0 2  .若 P  ( α 1 , α 2 , α 3 ) , Q  ( α 1  α 2 , α 2 , α 3 ) ，则 Q T A Q 为 2 1 0   （A） 1 1 0 . （B）     0 0 2    1 1 0 1 2 0 0 0 2  . （C）  2 0 0 0 1 0 0 0 2  . （D）  1 0 0 0 2 0 0 0 2  . （数一）设 α ,α ,α 是 1 2 3 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 α 1 , 1 2 α 2 , 1 3 a 3 到基 α 1  α 2 , α 2  α 3 , α 3  α 1 的过渡矩阵为 （A）  1 2 0 0 2 3 1 0 3  . （B）  1 0 1 2 2 0 0 3 3  .  1 1 1  1 1 1        2 4 6 2 2 2      1 1 1   1 1 1 （C）  . （D）   2 4 6   4 4 4     1 1 1 1 1 1           2 4 6   6 6 6 二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分. 11（. 数一）若二阶常系数线性齐次微分方程 4 y   a y   b y  0 的通解为 y  ( C 1  C 2 x ) e x ， 则非齐次方程 y   a y   b y  x 满足条件y(0)2,y(0)0的解为 y  . （数二）设 y  y ( x ) d2y 是由方程xyey  x1确定的隐函数，则 = . dx2 x0 eecosx （数三）lim  . x0 31x2 1 12.（数一、二）曲线  x y =   1 0 t  2 t e l n 2  u ( 2 d  u , 2 t ) 在 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为 . （数三）设某产品的需求函数为 Q  Q ( p ) ，其对价格 p 的弹性 0.2，则当需求量为 p 1 0 0 0 0 件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 13.（数一）设函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数， z  f ( x , x y ) ，则   x 2  z y  . （数二、三）函数 y  x 2 x 在区间 ( 0 ，1 ] 上的最小值为 . 14.（数一）设  (x,y,z) x2  y2 z2 1  ，则z2dxdydz  .  （数二）已知      e k x d x  1 ，则k  . （数三）设 z  ( x  e y ) x ，则   z x 1 ,0   . 15.（数一）已知曲线 L : y  x 2 ( 0  x  2 ) ，则 xds  . L 1 （数二）lim exsinnxdx . n 0 （数三）幂级数  n  1 e n  n (  2 1 ) n x n 的收敛半径为 . 16.（数一）若3维列向量α,β满足 α T β  2 ，其中 α T 为α的转置，则矩阵 β α T 的非零特征 值为 .（数二）设 5 α , β 为 3 维列向量， β T 为 β 的转置.若矩阵 α β T 2 0 0   相似于 0 0 0 ，则     0 0 0   β T α  . （数三）设α (1,1,1)T， β  ( 1 , 0 , k ) T . 若矩阵 α β T 相似于  3 0 0 0 0 0 0 0 0  ，则 k  . 三、解答题:17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分10分) （数一）求二元函数 f ( x , y )  x 2 ( 2  y 2 )  y l n y 的极值. （数二）求极限 l i m x  0 ( 1  c o s x )  x s i  n 4 l n x ( 1  t a n x )  . （数三）计算不定积分  l n  1  1  x x  d x ( x  0 ) . 18.(本题满分12分) （数一）设 a n 为曲线 y  x n 与 y  x n  1 ( n  1 , 2 , )  所围成区域的面积，记S a ， 1 n n1 S 2   n  1 a 2 n  1 ，求 S 1 与 S 2 的值. （数二）设非负函数 y  y ( x ) ( x  0 ) 满足微分方程 x y   y   2  0 ，当曲线 y  y ( x ) 过原 点时，其与直线 x  1 及 y  0 围成平面区域 D 的面积为 2 ，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体 积. （数三）设曲线 y  f ( x ) ，其中 f ( x ) 是可导函数，且 f ( x )  0 . 已知曲线 y  f ( x ) 与直 线y0， x  1 及xt (t 1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲 边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程. 19.(本题满分12分)（数一）椭球面S 是椭圆 1 6 x 4 2  y 3 2  1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点 ( 4 , 0 ) 且与椭圆 x 4 2  y 3 2  1 相切的直线绕 x 轴旋转而成. （Ⅰ）求S 及S 的方程； 1 2 （Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积. （数二）设y y(x)是区间(,)内过    2 ,  2  的光滑曲线.当    x  0 时，曲线上 任一点处的法线都过原点；当 0  x   时，函数 y ( x ) 满足 y   y  x  0 .求 y ( x ) 的表达式. （数三）设 z  f ( x  y , x  y , x y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 d z 与   x 2  z y . 20.(本题满分12分) （数一）计算曲面积分 I    x d y d ( z x  2  y d y z 2 d  x  z 2 z ) d 32 x d y ，其中  是曲面2x2 2y2 z2 4 的外侧. （数二、三）计算二重积分  D ( x  y ) d x d y ，其中 D   ( x , y ) ( x  1 ) 2  ( y  1 ) 2  2 , y  x  . 21.（本题满分12分） 设 A   1  0 1  1  1 4  1  1 2  ， ξ 1    1  1 2  （Ⅰ）求满足Aξ ξ ，A2ξ ξ 的所有向量 2 1 3 1 ξ 2 , ξ 3 ； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ ,ξ ，证明ξ ,ξ ,ξ 线性无关. 2 3 1 2 3 22.（本题满分12分） 设二次型 f(x ,x ,x )ax2 ax2 (a1)x2 2x x 2x x 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3（Ⅰ）求二次型 7 f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 21  y 22 ，求 a 的值.